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【中图分类号】G301
【文献标识码】A 【文章编号】1671-7287(2004)02-0068-05
非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科，产生于20世纪六七十年代。其标志是：1963年美国气象学家洛伦兹发表的《确定论的非周期流》论文，揭示确定性非线性方程存在混沌(Chaos)；1965年数学家查布斯基和克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton)；1975年美籍数学家芒德勃罗发表《分形：形态、机遇和维数》一书，创立了分形(Fractal)理论。混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类，构成非线性科学的三大理论。[1]
非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。非线性科学中的混沌理论被认为是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命；分形几何是继微积分以来的又一次革命；孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。
一、线性科学与非线性科学
所谓线性，是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时是一条直线。在数学上，主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。如果算子Y满足：
其中，α为常数，u、v为任意函数，则称算子为线性算子，否则称为非线性算子。[2]线性系统中部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解。线性理论是研究线性系统的理论，主要包括：牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论和量子力学理论等，它有成熟的数学工具，如线性方程、曲线，以及微积分等数学方法。[3]
虽然非线性问题自古以来就有，但人们开始只能解决线性问题，随着科学技术的发展，在解决非线性问题方面才逐步取得进展。当代所有的科学前沿问题几乎都是非线性问题。从物理现象来看，线性现象是在空间和时间上光滑和规则的运动，非线性现象则是从规则运动向不规则运动的过渡和突变。非线性科学贯穿了自然科学、工程科学、数学和社会科学的几乎每门学科。[4]
二、非线性科学的起源[5]
现代科学研究在15世纪初处于萌芽状态时，由于生产力水平限制，面临的实际问题大多是能量密度较低、相对稳定、变化不快、干扰不大的问题，象动能、运动速度、力的大小等都正好属于这种领域，在初步近似下都可以用线性模型处理。那时数学家们也只能解决线性问题，解决非线性问题的数学方法还很不成熟，尤其是非线性的微分方程只有很有限的一些方程可以求解。直到19世纪末，大量的经典物理理论都是线性的，线性的数学方法也得到了充分发展。20世纪以后，随着对物质运动观测的深入，特别是在量子力学的研究中，发现很多关系都是非线性的；同时，物理和化学中涌现了很多非线性的问题。随着原子能和航空航天技术的发展，把人们带进了能量密度高、变化较快和外部干扰较大、控制精度要求高的研究领域，很多情况下甚至需要解决突变问题。所有这些新兴研究领域以及新材料、新技术、新工艺的发展，都使得建立非线性模型成为必要。
三、非线性科学的主要内容及应用
在目前对非线性问题还没有完全获得系统的处理方法的情况下，不同的研究领域里分别出现了自己独特的研究方法，如混沌运动；分形；奇异摄动理论；分岔、突变理论；孤立子理论等。但一般认为非线性科学的三大普适类包括混沌、分形以及孤立子。
（一）混沌
1.混沌理论的发展历程[6]
19世纪末20世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题。发现如太阳、月亮和地球三者之间的相对运动与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的，多年来这成了牛顿力学中的遗留难题。1903年庞加莱在《科学与方法》一书中提出了庞加莱猜想，把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使其成为世界上最先了解混沌可能存在的第一人。
1954年，前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫发表《哈密顿(Hamilton)函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文，这篇文章表述了在混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌，是KAM定理的雏形。1963年该文所述内容获得严格的数学证明，为确认不仅耗散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。
1963年，洛伦兹在《确定性的非周期流》一文中指出：在三阶非线性自治系统中可能会出现混乱解。这是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例。2000年《自然》杂志发表论文《The Lorenz Attractor Exists》，首次从数学上严格证明了Lorenz吸引子在自然界中的存在。KAM定理讨论的是保守系统，而洛伦兹方程讨论的是耗散系统，他们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动力系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。
1964年，法国天文学家伊侬(Henon)从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了henon映射，并用它建立了“热引力崩坍”理论，揭示了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。
1971年，法国数学物理学家D.Ruelle和荷兰学者F.Takens联名发表了著名论文《论湍流的本质》，发现动力系统中存在着特别复杂的新型吸引子，并描绘了它的几何特征，证明了与这种吸引子有关的运动即为混沌，并命名这种新型的吸引子为奇怪吸引子。
2.混沌运动的特点[7]
混沌一词是由美籍华人学者李天岩和美国数学家约克于1975年首先提出。当年他们在《周期3意味着混沌》的文章中给出了混沌的一种数学定义，由于该定义存在缺陷，1989年，Devaney R.L.从混沌所具有的特性出发，又给出了混沌的一种描述性的定义。然而迄今为止，混沌还没有一个公认的数学定义。一般认为，混沌是确定性系统中出现的貌似无规则的有序运动，混沌运动的特点可以概括为：(1)内在随机性。描述混沌系统的演化方程确定，但演化行为不确定；系统短期行为确定，但长期行为不确定。系统的这种行为既不同于传统的确定性现象也不同于传统的随机性现象，而是系统确定性与随机性的有机结合。研究表明，产生混沌的本质原因在于确定性系统的非线性。(2)对初值的敏感依赖性。混沌运动的振荡解不是渐近稳定的，它的解在一定范围内表现出整体的稳定性，但是系统的非线性使进入吸引子内部的轨线不断彼此互相排斥，反复分离和折叠，使得系统的局部不稳定。这种局部不稳定就是对初始条件的敏感依赖性，即使系统初始值出现小的偏差，也会引起轨道按指数分离，这就是所谓的“蝴蝶效应”。系统对初值敏感性依赖的根源仍然在于系统内的非线性相互作用，对于一维迭代系统就表现为非线性迭代方程。(3)奇异性。从整体上看系统稳定；从局部上看系统不稳定。其解轨道在有限范围内作无数次的分离、折叠和靠拢，形成一种称为奇怪吸引子或混沌吸引子的结构。系统吸引子内部具有无穷层次的自相似结构，奇怪吸引子的维数一般为非整数。
3.混沌的主要应用领域
由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制和混沌时间序列的短期预测就成为混沌应用的主要内容。
混沌控制是指混沌的控制与诱导。这是非线性动力系统与非线性控制的新理论与新方法，是智能控制的重要组成部分。1989年胡柏勒(A.Hubler)发表了控制混沌的第一篇文章。1990年奥特(E.Ott)、格锐柏基(C.Crebogi)和约克(J.A.Yorke)提出的控制混沌的思想（OGY控制）产生了广泛响应。同年，佩考拉(L.M.Pecora)和卡罗尔(T.L.Carroll)提出混沌同步的思想，接着迪托(W.L.Ditto)和罗意(R.Roy)等完成了控制混沌的实验。以后十年，混沌控制与混沌同步的研究得到了蓬勃的发展，并成了混沌研究领域的重要热点。其间，人们提出了各种控制混沌的方法，并在光学、等离子体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中得到验证。目前，混沌控制的目标是人为地影响混沌系统，使之演化到需要的状态。这包括：(1)混沌有害时，成功地抑制混沌；(2)混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产生出特定的混沌轨道；(3)在系统处于混沌状态时，通过控制，产生出人们需要的各种输出。总之，尽可能地利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的，是所有混沌控制的共同特点。[8]
由于非线性系统的混沌现象是由某些关键参数的变化引起的，因此，关于控制或诱导混沌的一种十分自然的想法是直接控制或调整这些参数。基于Von Neumann的思想，Pettini在1988年用计算机模拟，通过观察最大Lyapunov指数的方式观察到：适当的参数扰动可以达到消除Duffing系统混沌现象的目的。之后，Ott,Grebogi和Yorke提出了一种比较系统和严密的参数扰动方法，亦称OGY方法。这种方法通过逐次局部线性化，配合小参数调整的手段来实现控制混沌的目的。目前关于混沌控制（或诱导）的方法主要有：参数扰动法、纳入轨道和强迫迁徙法、工程反馈控制法及混沌同调法。[9]
以上讨论的是关于时间混沌的控制，在时空混沌控制方面，主要有变量反馈法、定点注入法、局部模式反馈法等。
另一方面，从时间序列的角度研究混沌，始于Packard等在1980年提出的重构相空间理论。该理论揭示了决定性系统中任一变量的长期时间演化序列，均包含了该系统所有变量长期演化的信息。因此，可以通过系统中任一单变量时间序列来研究系统的混沌行为。而吸引子的不变量——关联维（系统复杂度的估计），Kolmogorov熵（动力系统的混沌水平）、Lyapunov指数（系统的特征指数）等在表征系统的混沌性质方面一直起着重要作用。
混沌现象的发现开创了科学模型化的一个新典范：一方面，混沌现象所固有的确定性表明许多随机现象实际上是可以预测的；另一方面，混沌现象所固有的对初值的敏感依赖性又意味着预测能力受到根本性限制。实际上，混沌现象是短期可以预测，而长期不可预测的。混沌时间序列的预测方法包括：全域法、局域法、基于Lyapunov指数的预测法和基于神经网络的预测法等。混沌时间序列的预测具有非常广阔的应用前景，如电力系统短期负荷预测、股市行情预测、转子剩余寿命的预测、天气预报等。[10]
（二）分形
1.分形理论的发展历程[11]
分形(Fractal)理论是由美籍法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelrot)创建的。1967年他发表在美国《科学》杂志上的论文《英国的海岸线有多长》中，首次阐明了分形的思想。1973年在法兰西学院讲学时他又正式提出了分形几何的概念。1975年他的法文专著《分形：形状、机遇和维数》的出版，是分形学理论诞生的标志。在其著作中总结了一系列在19世纪后期与20世纪初曾困惑着大量数学家的病态曲线或几何体，如1883年由德国数学家康托尔所构造的康托尔三分集、由法国数学家魏尔斯特拉斯在1872年7月18日向柏林科学院报告中提出的在分析数学中的一条处处连续又处处不可微的Weierstrass函数。
2.分形集的特点[12]
芒德勃罗在1982年曾给分形下过定义：若一个集合的Hausdorff维大于其拓扑维，则该集合属分形。1986年，他认为上述定义不完善，又重新定义为：分形是一种由许多个与整体有某种相似性的局部所构成的形体。其后不久，他于1987年又声称，至今尚未找到一个简洁、完整地刻划分形的定义。尽管如此，分形的基本特征是明确的，即：(1)该集合整体与局部间有某种自相似性；(2)该集合有无穷细微的结构（无限可分）；(3)该集合具有分数维，即分形集合的维数一般不是整数，而是分数。
3.分形的主要应用领域[13]
分形理论诞生之后，发展甚为迅速，并在自然科学、社会科学、人文科学等各个领域中获得了广泛应用。如今，分形和分维的概念早已从最初所指的形态上的几何自相似性这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。出现了诸如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等，发现了材料学、化学、天文学中的分形以及思维分形、艺术分形、情报分形等等。
首先，分形理论为自然界中复杂的形状、结构、功能等的定量刻画和描述提供了新的方法。因而自从其诞生，就迅速地在地质、地震、石油、材料断裂等应用科学中获得了广泛的应用。其次，分形理论为混沌理论的研究提供了重要的数学工具。分形几何一经产生，立即就成为研究混沌学的基本工具之一，至其常被称为混沌几何学。分形集就是动力系统中那些具有不稳定轨迹的初始点的集合，即混沌集，混沌吸引子就是分形集。再次，分形理论及其方法为研究自组织现象提供了一种重要的思路和方法。许多事实都表明分形与自组织现象确有内在联系，可以说，分形代表一种自组织机制。像人体这种复杂巨系统，数量多得惊人的细胞能够组成一种有机整体并协同地自组织地工作，这与人体内许多器官和组织等都具有分形结构是分不开的。最后，分形理论及其方法为人们对思维科学的研究，尤其是对大脑奥秘的探索提供了新的视角、思路和方法。
（三）孤立子
1.孤立子理论的发展历程[14]
孤立子的发现可追溯到1834年，英国科学家、造船工程师Scott Russell在运河上观察到光滑突出水面且以恒定速度传播的巨大孤立波峰，这一现象的物理本质当时引起了广泛的争执。1895年，两位年轻的荷兰科学家Korteweg和de Vries建立了单向运动浅水波的数学模型，即著名的KDV方程，并得到了与Russell的观察一致的形状不变的孤立波解。然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波碰撞后是否变形，这一直是科学家们感兴趣而又无法证实的问题。
直到1965年美国科学家Zabusky等人用数值模拟法详细地考察了等离子体中孤立波相互间的非线性碰撞过程。计算表明，两个孤立波碰撞后仍以它们碰撞前的同一速度和形状离开，孤立波这种经碰撞不改变波形和速度的非常稳定的奇特性质，正像物理上的粒子一样。于是孤立子这个词被用来生动地表示孤立波的粒子行为。从此，孤立子作为应用科学中的新概念诞生了，并在广泛的范围内被引用。
2.孤立子的特点[15]
通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度（或许相位发生变化）。在物理领域，孤立子被理解为经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波，或者被理解为非线性演化方程能量有限的解，就是能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到无限区域中去。
以非线性薛定愕方程的包络形孤立子为例，它明显地显示出具有局域性、稳定性、波粒二象性三大特征。其局域性指孤立子的能量集中在空间有限区域。不会随时间的增加而扩散到无限区域中去。它的稳定性和波粒二象性体现在孤立子具有明显的波动性，即它是一个孤立的行波，但同时它还具有另一特点：当两个孤立子相碰时，它们以经典粒子一样的规律运动，碰撞后，各自保持自己原有的形状和速度继续运动（最多只有一个相移），表明其仍十分稳定，其粒子性在实际相互作用中明显地表现出来。
3.孤立子的主要应用领域[16]
由于孤立子所具有的特性，孤立子理论在等离子体物理、凝聚态、生物学、非线性光学等方面有着广泛的应用。
Kingnep等人认为强烈的等离子体扰动可用具有相互作用的孤立子气体来描述。Ikeji等人的实验证实，在弱色散等离子体中有离子声孤立子存在，它们满足KDV方程。近年来，理论研究和实验结果都表明神经冲动传递的确表现为一种孤立子。从分子水平上，运用传递生物能量和信息的孤立子模型，可以较完整地说明横纹肌的收缩问题。由蛋白质被污染后的孤立子变化（传递生物能量与信息的孤立子被反射、散射、发射能量，衰减、陷落消失等）可以说明生命体发病的微观机理。显然，这些研究工作对于发展和揭示生物奥秘都有至关重要的意义。
利用孤立子具有稳定性或保真性，1973年，贝尔实验室的Hasegawa提出了有关光纤中光孤立子传输的概念。1984年Mollenauer等人研制成功光孤立子激光器，并运用于光纤通讯上。其后不久，实现了以每秒10千兆位的传递速度，进行100万公里超高速光通讯技术，测得100万公里后的波形毫无变化，从而使得光纤通讯事业得到迅速的发展。磁单极子是1931年由Dirac首先提出的物理概念，1974年荷兰的G.thoof发现磁单极子也是非线性方程的一种解，是一种孤立子。随着对孤立子深入的研究，磁单极子这一悬而未决的难题将有望获得解决。
四、非线性科学主要的研究方法
历史上，为解决各门科学中的线性问题，已经形成了一整套方法。例如，对于线性微分方程，可以通过求基本解、作傅里叶变换等方法来处理。对于线性的函数空间和算子，已研究得比较透彻，有了许多应用。对于非线性问题，也已积累了许多经验，有不少有效的方法，但同时又面临许多难以解决的问题。
用数学来处理非线性问题，往往需要解各种形式的非线性方程，通常有以下几类算法：(1)求准确解，即试图运用各种技巧（如利用对称性或一些巧妙的变换）来求得问题的准确解，例如，对二维的理想流体的定常运动，做出无旋的假定后，可以通过引进势函数，再利用复变函数就可求出大量的准确解。但实际上只有极少数的非线性问题能够求得准确解。(2)定性分析，即对解的存在性和惟一性问题进行讨论。对某些复杂问题，如空气动力学中的粘性流问题，有关的偏微分方程除特殊情况外很难求出准确解，但可对解作定性分析。如果一个非线性问题的解不存在或不惟一，则要对问题的模型作重新考察。数学中对解的存在性，通常有构造性和非构造性两种证明方法。(3)数值解法。由于求非线性问题的准确解是很困难的，因此采用数值方法求解是不可避免的。事实上，大量的非线性问题已经能够用数值计算来解决，特别是当要解决的问题需要数字结果时。但在数值计算中常会遇到算法的稳定性问题，例如当差分方程的步长取得不恰当，会产生振荡解；另外，计算中也有许多技巧，如遇到病态方程等等。例如，对于Lorenz混沌吸引子，通常可以采用四阶龙格库塔算法进行迭代计算进行求解。(4)渐近展开法。采取多次线性逼近方法，通过解若干次线性问题得出非线性问题的近似解。在这类问题中，往往含有一个小参数，对方程作关于小参数展开，得到无限个线性问题，逐次求出若干个线性问题，即可求得很好的近似解。[17]
此外，近年来，非参数建模理论得到了飞快的发展。与传统建模理论相比，非参数建模不要求建立精确的数学模型，例如近年来发展迅速的人工神经网络理论。人工神经网络是由大量简单的处理单元——神经元按照某种方式连接而成的自适应的非线性系统。它没有运算器、存储器、控制器，其信息是存储在神经元之间的联结上的。鉴于神经网络的并行处理及强大的非线性映射能力，对于未知的动力系统，可以通过它来学习混沌时间序列，然后进行预测和控制。由于混沌时间序列在内部有着确定的规律性，表现为时间序列数据在时间延迟状态空间中的相关性，这种特性使得系统似乎有着某种记忆能力，同时又难于用通常的解析方法把这种规律表达出来。而这种信息处理方式正好是神经网络所具备的。
Owens和Filk最先应用感知器模型来考察1990年以前5年的全球总降水量。这实际上是一个最简单的神经网络模型，它通过前5年的降水量对该网络进行研究，然后用它来预测1990年的降水量。
在其后的数十年里，神经网络模型有了长足的发展，不仅有了误差逆向传播神经网络模型（简称BP神经网络模型）、径向基神经网络模型（简称RBF神经网络模型）等数十种神经网络模型，有些学者更是构造了混沌神经网络模型，将非线性系统的体系结构考虑进神经网络模型中，因而具有更高的预测精度。
五、非线性科学研究的意义[18]
近20年来非线性科学在探求非线性现象的普遍规律、发展处理它们的普适方法方面已取得了明显的成就。在自然科学领域，孤立子揭示了非线性作用引起的惊人有序性；确定性系统中的混沌使人们看到了普遍存在于自然界中的一种运动形式；分形和分维的研究把人们从线、面、体的常规几何观念中解放出来，而面对更为多样而真实的自然；自组织现象反映了耦合在一起的大量单元和子系统，由于有序和混沌的竞争而形成时空组织或时空过程。这些在不同学科领域内发现的非线性现象的共同特征，使一个学科内的进展能够很快向其他领域转换，同时也证实了非线性科学促进学科间互相渗透的跨学科特征。
非线性科学不仅具有重大的科学意义，而且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展、信息与决策等都产生了巨大影响，对社会的进步与发展有着积极的推动作用。非线性科学对哲学也带来了巨大的冲击，混沌研究很可能有助于消除对于统一的自然界确定论和概率论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些哲学范畴的认识。而分形结构和自组织现象及图形生成的研究则为量变引起质变、有序和无序的相互转换提供了丰富事例，同时简单性与复杂性、局部与整体、有限与无限等重要的哲学、范畴及其相关内容也受到非线性科学发展的冲击，需要重新认识和深化。非线性科学还将通过一系列重大发现和成果直接影响人们的思维方法，从而推动哲学的变革。
有人认为，非线性科学将成为继量子力学、相对论之后的又一次新的科学革命。非线性科学所引入的基本概念，对自然科学、人文社会科学乃至哲学产生的影响将会持久地影响人类文化的进程。
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