隐Markov链驱动关联性和波动性的传染分析，本文主要内容关键词为：波动性论文,关联性论文,Markov论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
自20世纪90年代以来，世界范围内爆发了多次金融危机，对危机传染性的分析也成了研究的热点。美国次贷危机在短期内迅速席卷全球，并对世界经济造成了强烈冲击；当下的欧洲债务危机亦愈演愈烈，这使人们再次意识到危机传染范围和程度的难以预料性；在此期间内，诸多应对措施的出台又让我们不得不关注应该何时以及采取何种应对措施。然而，如果不对危机及其传染出现的时间和区间进行准确的判断，将无法为上述问题提供合理的解决方案。另一方面，对于金融市场中广为应用的联动性（comovement）概念，一直以来缺乏一个直观的表述方式，这一问题又涉及GARCH模型的二阶矩，进一步会影响其在资产定价、投资组合选择、风险管理等众多领域应用的精确性。本文将致力于对上述问题的考察，构建一个可以对波动性、相关性、危机传染性之间的关系进行衡量的方法，为联动性提供一个直观的描述，并避免诸多有关研究对样本进行武断分割的做法。
危机与波动性分析密切相关，危机的到来往往使金融市场产生剧烈的波动。自Engle[1]提出ARCH理论、Bollerslev[2]进而将其扩展为GARCH之后，一系列的扩展及实证分析被应用于对金融市场波动性的研究，并获得了极大成功。当从单变量GARCH向多元GARCH扩展时，随着资产个数的增加，需估计的参数急剧增加，因而多元GARCH面临着如何解决维数灾难的问题。Bollerslev等[3]提出了VEC多元GARCH模型，不仅考虑了条件方差、协方差受自身滞后项的影响，而且考虑了与其他条件方差、协方差之间的交互影响，具有良好的弹性，但其所需估计的参数过多、且需要严格的条件来保证协方差阵的正定性。此后有大量关于多元GARCH的研究。Engle和Kroner[4]提出的BEKK模型，虽然比较容易保证协方差阵的正定性，但是参数估计负担仍然较重、且不方便对参数进行解释。基于对转换矩阵的不同设定形式以及异方差因子的个数是否少于资产的个数的不同假设，形成了不同的因子模型，它们假设随机向量是由不可观察到的因子所生成，如Engle等[5]的因子模型、Alexander和Chibumba[6]的正交GARCH模型等，由于它们嵌套于BEKK模型，所以特征相似。Bollerslev[7]将条件协方差矩阵分解为条件方差阵和条件相关阵，构建了常条件相关（constant conditional correlation，CCC）多元GARCH模型；Engle[8]进一步将其扩展为动态条件相关（dynamic conditional correlation，DCC），此类GARCH模型构建了波动性和相关性分析之间的联系，因而近年来有大量学者投入了DCC类模型的研究。
对DCC模型有众多扩展，如Franses和Hafner[9]的广义DCC、Cappiello等[10]的非对称DCC、Billio等[11]的弹性DCC、Feng[12]的局部（local）DCC、Audrino和Trojani[13]门限DCC、Asai和McAleer[14]的Wishart-DCC等等，但这些模型不便于对关联结构非连续性变化的特征进行捕捉，这在Pelletier[15]的机制转换动态相关（regime switching dynamic correlation，RSDC）模型中得以考察。但RSDC不允许相关性改变符号，然而这无法基于先验信息来进行排[16]。虽然Billio和Caporin[16]的Markov转换DCC模型允许相关性改变符号，但其算法负担过重，并且对于冲击影响参数的解释也不方便。Lee[17-18]则在Hass等[19]的基础上，改进了Billio和Caporin[16]的算法，但模型失去了考察关联结构非连续性变化的优势。
国内对DCC类模型的研究比较薄弱。谷耀、陆丽娜[20]利用DCC考察了沪、深、港股市间的关系；马超群等[21]]基于DCC分析了美国次贷危机的传染性；游家兴和郑挺国[22]借助DCC对中、美、中国香港股市间的相关性做了考察；蔡风景和李元[23]运用RSDC模型研究了中国股票市场的板块指数。但如前所述，DCC不便于分析市场关联结构的非连续性变化，而RSDC则不允许相关性改变符号。此外，国内还有诸多关于危机传染的研究，如叶五一和缪柏其[24]、吴吉林和张二华[25]分别基于Copula、机制转换Copula方法对次贷危机的研究，但由于DCC类模型之外的方法不便于在波动和相关分析之间建立直接的联系，因此不再赘述。
基于上述的文献梳理可以发现，国内外有关的DCC类模型，要么缺乏算法的优势、要么缺乏考察市场关联结构非连续性的变化的优势，并且至今没有关于联动性概念的直观表述方法。本文研究的意义在于：为Engle[8]的DCC模型提供一个新的扩展，改进已有的基于Markov转换DCC模型的算法；借助隐Markov链对波动性和相关性的驱动，考察市场不同阶段的波动和相关机制的转换轨迹，为联动性提供一个直观的表述方式；用多元t分布替代DCC类模型中广为采用的多元正态分布的假设，以更好的刻画金融市场数据的厚尾性；以隐Markov转换的方法避免诸多有关研究中对样本进行的武断分割。
2 模型的构建及算法
2.1 模型的改进
在有关研究中，存在多种关于危机传染性的定义，并且学界至今没有形成一致意见。根据世界银行的划分标准，可将有关研究划归到三类定义之下：广义的传染，指冲击在地区间（或市场间，下同）的一般传递过程，这一定义无法对市场间的相互依赖性和传染性进行区分；严格的传染，指冲击在地区间的传递超出了经济的基本面和共同冲击导致的联动性所能解释的那部分，这个定义涉及选取哪些指标来对基本面进行衡量的问题；更为严格的传染，指在危机期间传导机制发生了变化，研究中多借助市场间的关联结构进行分析。最广为采用的是第三类定义，它的优越性，可以参考Forbes和Rigobon[26]以及后续的许多有关论述。本文采用Forbes和Rigobon[26]对传染更为严格的定义，即，冲击到来时，跨市场关联水平的显著增加表明了传染的发生。
基于传染的定义，我们需要对市场间的关联结构进行考察。Engle[8]在CCC的基础上提出的DCC模型，不仅更加合理地考虑了市场间关联性的时变特征，而且其两阶段估计法也有效地解决了多元GARCH模型的维数灾难问题，其设定如下：
但是，DCC把无条件相关设为恒定不太合理，不便于考察无条件（长期）相关的非连续性变化，也就不便于对危机的传染性进行分析。为此，Billio和Caporin[16]构建了基于Markov转换的DCC（Markovswitching DCC，MS-DCC）模型，并且仅对相关性引入机制变量，把DCC的
方程改写如下：
其中，
与前面的机制变量相对应。这一设定不仅降低了算法的复杂性，而且对α、β参数的解释也更合理。进一步，为同时考察波动性的不同状态，Lee[18]又将机制变量纳入对波动性的分析，其将波动方程设定为：
此时，模型将易于估计和便于传染分析；同时，冲击对相关动态的量化分析也准确、方便。
至此，（1）、（5）、（6）式共同完成了我们对改进模型的构建。该模型可以对波动性、相关性分析建立起直接的联系，并可以方便地通过关联结构的变化来考察危机的传染性。相对于只在相关性中引入机制变量的MS-DCC模型而言，我们把波动性和相关性中都引入机制变量的模型简记为MFIS-DCC（Markov full independent switching DCC）。并且我们以多元t分布来替代DCC类模型中的多元正态分布，以更加合理地考察金融市场的厚尾性。
2.2 MFIS-DCC的算法实现
为实现模型的估计，我们借助Hamilton[28]滤波，当考察的机制个数为两个（机制1和2）时，算法如下：
其中，P为服从一阶Markov链的转移概率矩阵，满足无后效性，Pr代表概率。
（2）获得机制依赖的条件密度函数，
其中p代表资产的个数，v为自由度参数。
其中，1为元素均为1的列向量，′代表转置，°代表对应元素相乘。
（4）更新滤波概率：
（5）从（1）-（4）迭代到样本结束，作为滤波迭代的副产品，获得似然函数如下：
为初始化第（1）步中的滤波，可令其等于无条件概率。同时，在样本期内任一时刻，机制所处的状态对于传染的分析也至关重要，为获得基于全样本信息的平滑概率，可利用Kim[29]的算法，即
其中，T代表全样本信息，（÷）代表元素对元素的除法。
3 实证分析
3.1 数据及预处理
为考察美国次贷危机、欧洲债务危机的影响，我们选取2005年5月9日至2010年10月29日五个证券市场的数据，指标为上证综指（SZ）、伦敦金融时报100指数（FTSE）、香港恒生指数（HS）、日经225指数（NIKK）、标准普尔500指数（SP）的日收盘价。由于国有股在中国股市具有特殊地位，因此我们的样本从中国股权分置改革正式实施开始，样本期末则是截止到研究时所搜集到的数据，期间爆发了美国次贷危机以及之后的欧洲债务危机。数据来自于Wind资讯数据库。由于时差以及开、收盘时间的不同，不便于对以日历时间为基础的这些股指进行直接的分析，因此，借鉴Forbes和Rigobon[26]以及Billio和Caporin[16]采用的方法，对各市场指数计算两日移动平均的对数收益率。并且由于各国的节假日不同，使得不同证券市场之间会缺失一部分数据，为避免谬误相关，我们借鉴Billio和Caporin[16]的方法，对这部分数据以收益率0进行代替（即使删除这部分数据也并不影响我们的结果），最终有1425个观测值。
3.2 估计结果的初步分析
MFIS-DCC模型估计的似然值为-8848.5，多元t分布自由度参数的估计值为46.183。
制2衡量的是高波动和高相关，并且图2的平滑概率显示这主要出现在次贷危机和欧洲债务危机期间。这表明危机期干扰信息较多，市场需要不断修正对各方面更为复杂的信息的识别，以至于市场被过多地干扰而更多地偏离其长期关系，一旦市场对各方面复杂的信息进行了准确地识别并将干扰信息过滤掉，受冲击而偏离的波动性和相关性将逐渐回复到其长期水平。有关分析，将进一步结合后面的平滑概率和无条件相关矩阵进行说明。
由表3可知，DCC估计的单位冲击对下一期Q的影响（α）约为0.11，而对未来Q的总影响
约为0.24。MFIS-DCC估计的机制1和机制2的单位冲击对下一期Q的影响分别约为0.3和0.09，而对未来Q的总影响分别约为0.43和0.20。由于DCC无法对不同状态下的冲击进行区分，使得其估计的冲击影响可能高于或低于MFIS-DCC不同机制下的表现。
3.3 动态条件相关分析和平滑概率分析
图1（见下页）对上证综指和标普500指数收益率的动态条件相关特征进行了描绘。从中可以发现，上证综指和标普500指数基于DCC的相关系数主要位于区间（0，03）。当对MFIS-DCC机制2的两市场相关系数进行分析时，发现其在2007年8月份（特别是2007年年初）之前更为集中，基本位于（0.1，0.2）之间，随后有稍大的浮动，但更多的是高于0.1，而在机制1时则更多的位于0.1以下。还应该注意到，虽然上述三个子图的相关性水平高低不同，但它们的走势却是基本一致的。而MFIS-DCC将DCC模型的动态条件相关系数更为形象地区分为不同机制下的表现，对分析市场运行中的变化更为方便；且不同机制下的动态条件相关系数也为后文的无条件相关系数分析提供了基础。图1只给出了相关性较低的中美股市间的动态相关系数，其他各对市场间的动态相关图有类似的结论，也都符合各市场间的表现，不再赘述。虽然对动态条件相关图进行考察可以为传染分析提供一定的基础，比如观测到的相关系数较大的点（如2007年2月份左右），但更为准确的分析需要借助平滑概率图和无条件相关系数矩阵。
平滑概率基于全样本的信息，对各市场的波动水平和市场间的关联结构在每一时刻所处的机制给出了判断；基于此，我们可以获悉，在市场运行过程中，各机制（波动水平和相关水平）分别在哪一时刻处于支配地位、它是怎样向其他机制转变的。
从表1波动性的估计结果和表5无条件相关的估计结果可知，机制2代表了市场处于高波动和高相关的状态，而机制2的这一高波动高相关组合可以看作是对联动性概念的一个直观表述。与平滑概率图结合起来，我们可以发现，在次贷危机和欧洲债务危机爆发较为集中的时候，市场表现出了高波动性和高相关性。图2（见第63页）的平滑概率对市场在危机前后的高波动性和高相关性进行了刻画，可以将其分为三个阶段。
第一阶段从样本期初到2007年年初，可以看作是从平静期到有证据显示美国次贷市场出现了问题的时期。在从2004年6月到2006年6月的两年时间内，美联储连续17次加息，将联邦基金利率从1%提高到5.25%，这大大增加了次级债市场购房人的还贷负担；而在2006年美国房地产市场也大幅降温，到2006年8月，美国房地产开工指数同比下降40%。从图2可以发现，机制2在2006年5月到6月中旬处于支配地位，市场从低波动和低相关水平转向了高波动和高相关水平。然而，此时市场对危机严重性的认识不足，开始回调。
第二阶段从2007年2月份到2009年5月上旬，可以看作是从次贷危机逐渐浮出水面到集中爆发的时期。在经受了美联储的连续加息以及房地产市场的逐渐冷却所带来的压力之后，美国次贷危机从2007年2月份开始逐渐表现出来：美国最大次贷公司减少放贷、第二大次级抵押贷款公司发布盈利预警、汇丰控股为在美次级房贷业务增18亿美元坏账准备，等等。机制2在2007年2月到3月份之间，有一短暂支配市场的时间，而此时次贷所显现出的问题还主要集中在美国，其他市场还没有意识到问题的严重性，市场间的波动水平和相关水平都开始回调。然而，随着次贷各链条问题的逐渐暴露，其他各国对次贷市场的投资损失也被逐渐披露出来：直到2007年8月份，贝尔斯登、巴黎银行、沃尔玛、家得宝等等对次贷投资重大损失的披露；金属原油期货和黄金现货等的大幅跳水；美联储、欧洲央行、澳联储、日本央行等多次对金融系统大额注资，次贷危机全面爆发。而从2007年8月份到2008年5月中旬，虽然两个机制的支配地位有少许反复，但基本是机制2处于主导地位，而机制间的交替也说明了这段时间各市场对危机的严重性还没有完全形成共识，市场也在对各方面复杂的信息进行不断地识别和过滤。从2008年5月下旬到2009年5月上旬，则完全由高波动和高相关支配着市场的运行，次贷危机的影响在这一时期得以比较充分的显现。
第三阶段从2009年5月下旬一直到样本期末，这一时期由机制1与2交替支配着市场，在没有证据显示市场是否走出了次贷危机影响的情况下，又爆发了欧洲债务危机，并且新危机在2010年4月份开始充分显现：欧元区成员国财长同意必要情况下第一年拿出300亿欧元支持希腊，希腊被迫向欧盟和国际货币基金组织请求启动救助机制，标普下调希腊、葡萄牙和西班牙的信用评级，等等。而机制2也是2010年4月中旬之后两个月左右的时间完全占据了支配地位，虽然此后市场的波动水平和相关水平开始回调，但还不能表明市场已经走出了次贷危机和欧洲债务危机的影响。
以上分析也表明，在次贷危机和欧洲债务危机爆发比较集中的时候，市场会展现出高波动性和高相关性，即联动性；并且有证据表明美国的次贷市场在2006年年中已出现了问题，有关国家贻误了应对危机的时机。至于上述相关水平的增加能不能被认定为传染，还需要借助下面的无条件相关矩阵进行分析。
3.4 传染显著性分析
表4和表5分别为DCC和MFIS-DCC的无条件相关系数矩阵，MFIS-DCC两机制下的相关系数都是高度显著的。第一，将上证综指与标普500指数的无条件相关系数与图1的动态条件相关系数进行对比，可以发现它们是一致的。第二，基于中国与中国香港间的密切联系，无论是DCC还是在MFIS-DCC的不同机制之下，两市场间的相关性都明显高于中国与其他经济体的相关性；而其他市场间的相关性也都具备符合实际的良好解释力，不再赘述。第三，为检验不同机制之间转换时市场相关水平的增加是否显著，先对每对相关系数进行Fisher转换以保证其渐近正态性。这里只选取两机制之下差别最小的中美股市间的相关系数进行说明：两市场在机制1和机制2之下的相关系数经Fisher转换后分别为0.0797和0.1622；基于机制2大于机制1时两市场间的相关系数这一原假设，计算得检验统计量约为2.2，因此当从机制1向机制2转换时，市场间相关水平的增加是显著的。其他各对市场相关系数可类似地进行分析，机制2都显著高于机制1的相关系数，不再赘述。
将这些结果与前述的平滑概率分析结合起来可以发现，每当次贷危机、欧洲债务危机爆发比较集中的时候，市场的波动性和相关性都从机制1转向机制2，而这种转换是市场相关水平的显著增加、是跨市场关联结构的非连续性变化，表明发生了传染。并且还应该注意到传染的两个特征：第一，结合对平滑概率的分析可以发现，传染期是以不同的区间形式出现的，这源于市场对危机期间各方面复杂的信息有一个不断识别和过滤的过程；第二，表5还表明，机制2的每对相关系数都显著高于机制1的，次贷危机、欧洲债务危机的传染在所考察的证券市场之间是系统性的。随着经济全球化的进展，各主要经济体在越来越多的领域建立了紧密的联系，而诸如美国次贷危机和欧洲债务危机的冲击更易扩散到其他有关市场，这也就要求应对危机时需要加强各国政策间的协调配合，否则效果将大打折扣。
4 结语
基于隐Markov链对波动性和相关性的驱动，本文构建了Markov独立转换的DCC多元GARCH分析框架，将波动性和相关性分析进行了融合，为联动性构建一种直观的表述方式，并进而对美国次贷危机和欧洲债务危机的传染性进行了考察。
首先，次贷危机、欧洲债务危机期间，市场展现出了高波动性和高相关性，这可以由代表高波动高相关的机制在危机期间处于支配地位来进行说明，而这一机制也为联动性概念提供了一种直接的表述方式，并且为资产定价、投资组合选择、套期保值、风险管理等涉及二阶矩应用的诸多金融领域提供了新的视角。
其次，次贷危机、欧洲债务危机的到来，使得市场向高波动高相关机制转换，且相关水平的增加是显著的，表明危机存在传染性，且传染在所考察的市场之间具有系统性，有效地应对危机需要各国政策间的协调配合，否则效果将大打折扣。同时，有证据显示美国次贷市场在2006年年中已出现问题，各有关国家贻误了深入分析和应对危机的时机。
第三，次贷危机、欧洲债务危机的传染期是以区间的形式出现的，并非某一危机事件后的每一时刻都有传染发生，隐Markov转换的方法有效地避免了事先分割样本的武断行为；危机初期表现为各机制间较为频繁的交替转换，如果政府应对危机的措施能够减少或避免产生干扰信息，那么对稳定市场、提升信心、应对危机将是有帮助的。