构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展，本文主要内容关键词为：为主题论文,对称论文,进展论文,概念论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一
传统的数学课程与教学带给学生的真实情感是害怕、不懂、难学、枯燥、无用.认为数学只不过是数学家闲来把玩的一种符号游戏，并希望自己早日摆脱数学的桎梏，摆脱这种高度形式化、演绎化的思维折磨，已成了大多数尚在“数学苦海”中煎熬的学子的直接心声.说到底，什么教科书的改良、教学方法的更新、教学手段的现代化等，对于根治这种心理顽疾，均有治标不治本之嫌.从深层的意义上看，现有的数学课程在一定程度上真正背离了数学本身所依托的深刻的数学文化乃至整个人类文化.大数学家M·克莱因说过[1]：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素.”可以说，传统数学课程只是抽取了数学中理性的公理、结构等骨架，而舍弃了数学文化的经验性、实践性、创新性等丰富血肉.这种保守、自缚、僵化的“茧式”数学课程文化，既直接影响了数学这一“科学的女王”在广大学生甚至是教师心目的形象与地位，甚至也削弱了数学课程本身所具有的创新培养、思想净化和文化再造等诸多教育功能.数学的文化性要求我们必须重构一种新的数学课程文化，通过这种课程形态，要让学生领悟到[2]：数学是传播人类思想的一种基本方式，数学是人类所创造的语言的高级形式，数学是自然与社会相互联系的一种工具，数学具有相对的稳定性和延续性，数学具有高度的渗透性和无限的发展可能性.但同时，学生也必须在这样的文化浸染之下，感受到数学学习的开放性及其向其他各个领域的广泛渗透性，体验到资源对其经验的支撑，领悟到学习者之间的协商、互动、交流对于知识构建的意义，最终目标是达到对数学学习的深刻文化陶醉与心灵提升.我们认为，构建这样的一种全新数学课程文化，从而达到对传统的数学课堂教学的深刻变革的基点应是创建一种新型的数学学习文化.也正是基于这一思考，由华东师范大学高文教授、徐斌艳教授、吴刚教授所率领的研究团队选取了基于对称的主题探究案例作为整个研究的切入点，试图通过理论和实践的不断交互，通过实践中的不断反思，寻求复杂学习中的真实问题，并构筑在经验给养、理性支撑下的理论框架.
二
如果将视角落在构建一种全新的数学学习文化之上的话，那么，传统数学教育强框架下的合理性背后的诸多合法性因素将被最终颠覆.认同学习的多层次性、丰富性、复杂性并非否认其所具有的某种规律性与脉络化.寻求这种具有一定普遍意义的脉络框架是我们这个研究团队共同追求的目标，我们认为，无论是对于数学学习，抑或其他科目的学习，都应持有一种整合的学习观，即在如下四个层面上把握学习的经验性、开放性、社会性直至文化性（见图1）.对于这个框架的理解，我们认为可以用以下几句话做出解释，即课程内容和学习者的经验是一根主线，贯穿整个学习过程的始终；要为这种内容经验营造出开放的、不断生成的学习环境；同时打破生生之间、师生之间、老师和老师之间、学生和家长之间、学生与社区之间等等的固有僵化关系，试图构建学习者共同体；正是在这彼此互动、相互渗透的过程中，将自然地孕育出一种新型的学习文化.
图1 建立在不同水平的学习基础上的实验设计框架
从这个角度而言，我们的整个实验将把研究视角放在三个层面：课程与教学的设计、开放的学习环境的设计、学习者共同体的培育.可以说，任何一个方面都离不开其他方面的支撑与渗透，并且三个方面都处于新型学习文化的浸染之中，而同时也为这种新型文化的构筑与丰富提供给养.本文试图在课程与教学的设计层面展开分析，重点关注课程内容的设计、对学生理解的预测与观察、课堂微观分析等方面.
三
课程与教学设计层面的总体思路是：本次实验以“对称”为主题，试图使学生通过对这样一个具有明显数学指向的概念做深刻的数学理解，在此基础上，将对称的概念拓展到艺术、科学、生活等各个领域，力图使学生呈现出一种对“对称”概念的延展性、动态性的理解过程.此外，实验的一个重要理念是，学生学习“对称”概念，不仅仅是一个知识理解、建构的过程，更是一个依托“对称”，获得对数学、科学、艺术等各领域的文化认同与感受，并进而使学生建立对各领域之间的联系、交融的深刻感悟.
整个实验的课程内容设计主要分为三个阶段：感受对称阶段、对称的数学化理解阶段、对称的拓展性理解阶段.实验的知识目标设计、活动设计、研究策略设计等见表1.
表1 实验的阶段以及每阶段具体内容、策略的设计┌─┬───────────────┬──────────────────────┬───────────────────┐│ │感受对称阶段
│对称的数学化理解阶段
│对称的拓展性理解阶段
│├─┼───────────────┼──────────────────────┼───────────────────┤│理│
│
│
将对称主题渗透进物理、化学、生
││念│
│
试图通过各种活动参与，使学生理解：
│
││与│
引发学生对“对称”的前概 │
1.对称的数学分类以及由浅入深的类型辨
│物、艺术、生活等各个领域之中.使学生借 ││知│念以及个人的真实理解，激发学 │析力、直觉洞察力直至一种审美感受力.
│助数学的理解，深刻认识其他领域中的对 ││识│
│
│称现象，试图依托对称，让学生感受到数学││目│生的内在深层次的学习渴望、好 │
2.对“对称”作为一种数学思想的领悟、理解.│是与科学、艺术、生活等紧密联系的，并发││标│奇心、探究欲.
│
通过这个阶段，学生对对称将产生深刻的
│
││设│
│数学化理解.
│自内心地感悟到数学本质上是一种深刻的 ││计│
│
│人类文化，这是高层次的数学理解.
│├─┼───────────────┼──────────────────────┼───────────────────┤│ │
以导入课、学生课后作业、 │
通过各种活动渗透对“对称”各种类型、特 │
││ │小组分头设计、作品展示等形式 │
│
活动主要是通过讲座、查找并阅读
││实│展开.导入课的主要活动是：学
│征的学习与理解，并试图拓展到对对称作为一
│资料、讨论研究等形式展开.
││验│生对“对称”的头脑风暴、我是镜│种思想方法的理解.主要活动为：
│
具体内容主要涉及：化学中的晶体
││活│中人（肢体语言）、剪纸与对称、│
1.再看剪纸与对称；
│
││动│对称图片展示.学生课后的作业
│
2.对称类型的鉴别练习；
│结构的对称性、建筑与对称、对称与不对 ││设│是：画出自己对对称分类理解的 │
3.打破对称活动；
│称、对称与运动等.更重要的是，希望学
││计│结构图、小组合作设计对称作品 │
4.变换中的对称；
│生能自己找主题、找研究方向，并自主地 ││ │（形式不限）.展示课将展示各小 │
5.各种体现对称思想的问题解决（概率、几 │进行研究.这在真正意义上使学生成为
││ │
│
│自主建构、合作探究的学习者.
││ │组的对称作品.
│何、代数等），试图展现对称思想的广泛渗透性.│
│├─┼───────────────┼──────────────────────┼───────────────────┤│ │
主要是通过大量的活动分
│
关注学生对对称理解上的各种明显的与细
│
││研│析学生对对称概念的前理解，分 │微的变化，分析学生在课堂上的表现，研究学生 │
拓展性阶段主要关注学生对对称作
││究│析学生对“对称”这一主题的思 │
│为一种贯穿各个领域的文化索引的理
││策│
│理解发生变化的原因.对精选的个案做持续性
│解；关注学生以一种主动探究、合作探
││略│维结构究竟是什么样的.跟踪学
│的观察、分析、研究，做不断的对比分析研究.研 │
││设│生的整个活动、设计、展示过程，│究的重点有：课堂整体参与（讨论、交流、合作、│究的学习方式展开学习的状况；关注
││计│对设计小组给予各种支撑、帮
│
│学生对数学作为一种文化渗透进各个
││ │助，尽可能借助于直观、动作，让│对话、协商等）对理解发展的影响，学生个体理 │
││ │
│解的变化机制探索.
│领域的理解.
││ │学生多元化地表征对称概念.
│
│
│└─┴───────────────┴──────────────────────┴───────────────────┘
四
目前本次实验刚完成第一阶段，即感受对称阶段.我们研究团队长期深入实地进行跟踪研究、记录体会，并反复观摩与分析现场实拍的各种录像资料，我们主要得到如下一些初步的观点：
1.学生对于对称概念的理解更多地以多元的方式进行表征.比如，有的学生通过人体造型摆出对称的汉字、对称的英文字母等；有的学生通过小品中的语言等表达对对称概念的理解；还有的学生自制包含对称的美术图案，并表达一个明确的主题；还有的学生展示一些图片，并就对称性主题对图片进行分析.
2.学生对对称概念的理解主要还是局限于轴对称与镜像对称，还未对旋转对称有较清晰的认识.比如，有的学生或独自、或与他人合作摆出多样的人体汉字造型，如“出”、“凹”、“凸”等，但这些汉字都是轴对称汉字.再如，有的学生摆出了英文字母“M”、“Y”等，同样也都是轴对称字母.
3.学生的前概念中有一些错误的概念.因此，为了转变这些错误概念，必须在下一阶段的课程设计中对其加以着重考虑.一个学生在解释“S”的对称性时，首先过“S”的中心作一条横线，进而指出，上下两部分关于这条横线是对称的，其错误之处在于，此时的对称不是轴对称，而是180°的旋转对称.还有一个同学说了这么一段话：“正方形共有4条对称轴，除此以外任何过中心的直线都将正方形分成不对称的两个图形.”这段话的错误之处在于，除了4条原本的对称轴外，任意过中心的直线也能将图形分成两个对称的图形，只不过这两个图形不是呈轴对称，而是180°的旋转对称.这也从另一个侧面证实了学生对旋转对称尚未形成深刻的认识.
4.学生已经开始对某些较前沿的科学概念有模糊、朦胧、初步、粗浅的意会与认识.比如，学生甲在大屏幕投影上展示了一棵树，并向学生乙发问：“请问这棵树是对称的吗？”学生乙回答说：“远看是对称的，因为左右两边看似一样，但近看由于每个树杈、每个树杈上的树叶都不相同，所以又不是对称的.”透过这一问题，可以看到，学生实际上已经开始触摸到分形学的一些核心思想，即在第二级、第三级……意义下图形的变化.这一问题和数学上著名的雪花曲线问题有本质上的相同之处.
5.学生对概念已经能够通过交互讨论，辨析、判断自己或他人在概念理解上的偏误，并能初步形成一种辩证化的思维和看待问题的方式.比如在学生自己组织的一场“五角星是否是对称的？”的小型辩论会上，这个有趣的辩题引发了全班同学的热烈讨论.以下是争论的一个片段：
正方生1：五角星的对称是相对的，而不是绝对的，在大多数情况下是对称的.
反方生1：如果对五角星随便划一刀的话，你能说它是一定对称的吗？如果说五角星是左右对称的，那么上下就是不对称的啊.
反方生2：五角星上面有3个角，下面有2个角，那么上下就是不对称的啊.所谓对称，就是不管怎么看都是对称的.如果只要有一点点不对称，那就是不对称的.
（反方的观点引发其他同学的激烈反驳）
听众生1：如果按照你们这么说，世界上就没有对称图形了.因为本是对称的图形，你们随便剪一刀，如果是歪的，就又不是对称图形了.
听众生2：我认为辩题不应该是“五角星是不是对称图形”，而是说“五角星通过某种变换能否变成两个完全重叠的图形”.任何图形只要有对称的话，它就是对称图形，而不是随便划一刀、剪一下，如果不对称就不是对称图形了.我觉得反方的概念不是太清楚.
这个争论的片段非常有意思，且不说其中所包含的循环论证等逻辑谬误，仅就学生在争论中所反映的思想认识上的转变看就有很多值得深思的地方.学生对对称的认识与理解也是具有复杂性的，他们所想的常常超出我们所预料的.尽管话语表述、经验表征等还较为粗糙并且借助直观，但他们也开始展示出一种辩证的思维倾向.相信读者朋友能从学生辩论的真实话语中体悟到更多的东西.就学生在辩题中所反映的核心内容来说，我们想引用德国数学家H·外尔在其经典著作《对称》中的一句意蕴深刻的话作为本文的结束语[3]：“不对称不是没有对称，不对称只有在罕见的情况下才等于没有对称.”