刘磊[1]2008年在《裂纹尖端场的有限元分析与裂尖结构演化行为》文中研究表明金属材料的强度与裂纹扩展行为密切相关。裂纹扩展过程中裂纹尖端存在着应力、应变集中,这使得裂纹尖端的局部应力、应变大于材料中其它区域的应力和应变。因此,在裂纹扩展的过程中,其尖端将会发生微结构演化。相关实验和原子尺度模拟的结果表明:裂纹扩展过程中裂尖微结构演化有多种形式,包括位错发射、孪晶形成以及裂尖相变等,而且这些微结构演化行为又与裂尖场的分布密切相关,可能对控制裂纹的扩展起到决定性作用。本文应用有限元和连续介质力学的方法计算了平面应变条件下体心立方铁中不同取向裂纹的裂尖应力和应变场,从宏微观相结合的角度分析了裂尖场分布与裂尖微结构演化的相互关联。研究表明:{100}<110>Ⅰ型裂纹和{110}<110>Ⅰ型裂纹是正交各向异性材料,裂尖场关于裂纹面对称,开裂角分别为30°和330°。以及43°和317°。最大分切应力方向为54°和306°以及72°和288°。这种裂尖场的对称分布导致裂尖微结构演化也关于裂纹面对称分布。而{111}<110>Ⅰ型裂纹的裂尖场关于裂纹面不对称,开裂角为280°,最大分切应力方向为54°和306°。由于裂尖上部的分切应力分布与下部的分切应力不同,裂纹面上部将发生相变,而下部则发生孪晶。所以,裂尖塑性变形的方式与裂尖场的分布密切相关。由于裂尖塑性变形的产生,可能导致裂纹扩展路径的改变。对于裂纹扩展行为的分析,必须综合考虑裂尖场以及裂尖塑性变形的影响。此外,运用弹塑性状态下{110}<110>Ⅰ型裂纹的有限元分析,我们研究了裂尖马氏体相变对裂纹扩展的影响。研究发现:当外载荷大于80N时裂尖发生局部的马氏体相变,bcc晶体结构转化为hcp晶体结构。这种局部马氏体相变吸收了裂尖部分弹性能,裂尖高应力集中得到释放,从而改善了断裂韧性。
崔引弟[2]2014年在《各向异性与各向同性双材料界面裂纹应力分析》文中认为随着科技的日新月异,各种复合材料、功能材料等先进材料的应用范围不断扩大，由不同材料组成的双材料及其可设计性、刚度大、抗疲劳等一系列的性能被广大科研和工程技术人员重视.双材料界面力学的研究中,许多学者已经在正交异性双材料及各向同性双材料界面端裂纹的研究中取得了一系列的硕果.但是对于各向异性和各向同性结合双材料的特性研究却比较少.本文研究了一种各向异性和一种各向同性材料复合而成的双材料的I型界面断裂裂纹问题,根据弹性力学知识和各向同性、各向异性的本构方程,建立各向异性与各向同性双材料Ⅰ型界面裂纹的力学模型.利用复变函数微分方法和断裂力学理论,将复合材料界面裂纹问题转化为偏微分方程组的边值问题.构造含实指数的应力函数,结合边界条件,研究了八阶齐次线性方程组的非零解，从而对各向异性与各向同性双材料裂纹尖端应力场进行了分析.并得到：（1）各向异性与各向同性双材料半无限界面裂纹的应力场、位移场及应力强度因子的表达式.（2）各向异性与各向同性双材料I型中心穿透界面裂纹的应力场、位移场及应力强度因子的表达式.（3）当各向异性材料退化成正交异性材料时,得到正交异性与各向同性双材料I型裂纹尖端附近的应力场,与已有的文献结果一致，验证了上述结果的正确性.本文得到的各向异性与各向同性双材料界面裂纹的应力场理论公式显示：应力具有实数奇异性，裂纹尖端附近应力场无振荡奇异性，位移没有裂纹面相互嵌入现象.
高鑫, 王汉功, 康兴无[3]2008年在《各向异性材料动态裂纹扩展特性和动态应力强度因子》文中进行了进一步梳理基于各向异性材料力学,研究了无限大各向异性材料中Ⅲ型裂纹的动态扩展问题.裂纹尖端的应力和位移被表示为解析函数的形式,解析函数可以表达为幂级数的形式,幂级数的系数由边界条件确定.确定了Ⅲ型裂纹的动态应力强度因子的表达式,得到了裂纹尖端的应力分量、应变分量和位移分量.裂纹扩展特性由裂纹扩展速度M和参数alpha反映,裂纹扩展越快,裂纹尖端的应力分量和位移分量越大;参数alpha对裂纹尖端的应力分量和位移分量有重要影响.
汤笑之[4]2009年在《铁中Ⅰ型裂纹裂尖场与裂尖形变机制分析》文中指出金属材料的强度与裂纹扩展行为密切相关。裂纹扩展过程中裂纹尖端存在着应力、应变集中,这使得裂纹尖端的局部应力、应变大于材料中其它区域的应力和应变。因此,在裂纹扩展的过程中,其尖端将会发生微结构演化。相关实验和原子尺度模拟的结果表明：裂纹扩展过程中裂尖微结构演化有多种形式,包括位错发射、孪晶形成以及裂尖相变等。而且这些微结构演化行为又与裂尖场的分布密切相关,可能对控制裂纹的扩展起到决定性作用。本文应用有限元方法计算了平面应变条件下体心立方铁中不同取向裂纹的裂尖弹性应力场和弹性应变能密度分布。三种不同取向的裂纹将体心立方铁的刚度矩阵转化为不同形式,导致裂尖应力场和弹性应变能密度分布不同。由此出发,从宏微观相结合角度分析了裂尖场分布与裂尖微结构演化的相互关联。研究表明：裂尖微结构演化与裂尖弹性应变能密度分布密切相关。裂尖应力集中所导致的局部弹性应变能密度增高可以由裂尖塑性变形所释放。同时,应用连续介质力学及有限元的方法验证了裂尖塑性变形的具体形式与体心立方铁晶体结构中滑移面上的分切应力大小密切相关。分切应力大则易发生相变,分切应力较小易发生孪晶或位错。并分别比较了弹性应力场和HRR裂尖应力场与有限元模拟结果,结合分子动力学模拟结果尝试探讨了裂尖应力场的奇异性区域。此外,运用弹塑性状态下{110}<110>Ⅰ型裂纹的有限元分析,从裂纹系统整体能量变化以及裂尖应力场两个角度分析裂尖塑性变形与裂纹扩展行为的关系。研究发现,相对于单纯的裂纹扩展,裂尖塑性变形的存在更有助于降低裂纹系统整体的弹性应变能总量。在较大载荷或较快加载速率条件下,裂尖附近区域弹性应变能密度增高为马氏体相变提供了必需的驱动力。同时本文也考察了此类裂纹滑移面上分切应力随载荷的变化,指出距裂尖一定距离的滑移面上分切应力平台对应着裂尖相变产生的区域。并验证了非局部弹塑性连续体模型所确定的裂纹尖端附近应力分布,结果显示此类型裂纹裂尖应力最大值发生在距裂尖约1纳米处。
尚伟[5]2008年在《定向有机玻璃力学性能的实验和数值模拟研究》文中研究表明近年来由于飞机舱盖有机玻璃部件断裂破坏造成的爆舱事故屡次发生,以及空中飞行可视范围扩大的需要,飞机透明件定向有机玻璃材料的力学性能逐渐得到研究人员的重视。本文分别沿不同方向在定向有机玻璃板材中取出两种试件,并运用等达因法测试定向有机玻璃的应力状态。通过分析不同试件沿不同方向入射的等达因条纹图可以得出定向有机玻璃具有各向异性力学行为,并建立定向有机玻璃的各向异性力学模型,其由六个独立的弹性常数所确定。运用数字图像频域图像相关分析法测试定向有机玻璃各个方向上的弹性常数。数字图像频域图像相关分析法的原理为记录被测物体加载前后的灰度图像,并运用逐点或全场分析方法求得被测物体表面的变形,本文选用逐点分析方法。通过分析测得的各个方向上的弹性常数,得出定向有机玻璃沿取向方向上的力学性能要比在与取向垂直的方向力学性能强,此结论也能反映定向有机玻璃各向异性的力学行为,进而验证所建立的模型的正确性。由于定向有机玻璃具有各向异性的力学行为,本文分别测试在两个不同平面内开裂的断裂韧性,一是裂纹在取向平面内,另一是裂纹在与取向平面垂直的平面内。由于受到试件尺寸的限制,没有足够的空间置入引伸计,故本文运用数字图像频域相关分析法代替引伸计来测裂纹张口位移V。测试出的在取向平面内开裂的断裂韧性要比在与取向平面垂直的平面内开裂的断裂韧性大,由此可得在与取向平面垂直的平面内开裂表面裂纹比在取向平面内开裂的孔周裂纹更容易开裂,因此必须更加关注飞机舱盖上的表面裂纹。为了与实验结果进行比较,根据建立的模型和测得的弹性常数运用有限元方法测试出在不同平面内开裂裂纹尖端的应力应变分布,并在matlab平台上进行显示。通过分析应力应变数值可以得出与实验方法相同的结论,即表面裂纹比孔周裂纹更容易开裂。此结论对飞机舱盖有机玻璃部件使用寿命的预测有着重要的指导意义。最后,测试出反映有机玻璃温度特性的热-光曲线,它是研究有机玻璃不同温度下的力学性能的基础。
韩智铭[6]2018年在《基于数值流形方法的节理岩体强度特性研究》文中认为节理岩体是岩体工程中最普遍的施工对象之一,其力学性质是岩体工程支护设计和稳定性分析必须考虑的重要影响因素,正确认识节理岩体的强度特性,进而合理评价实际工程中的岩体强度,对于诸如隧道、边坡、采矿等工程的安全和稳定具有重要的意义。由于长期复杂的地质构造作用,岩体中存在着大量尺寸不等、方向各异的不连续面,这些不连续面的存在使岩体的破坏过程伴随着连续性变形和非连续性破坏。岩体的这种连续和非连续介质共存的结构特征给理论分析和数值计算带来了极大的困难,传统基于连续或非连续介质力学的方法不能很好地模拟节理岩体的破坏过程。数值流形方法将数学分析中的有限覆盖技术引入数值计算,实现了连续和非连续问题的统一求解。它采用两套相互独立的网格——数学网格和物理网格,在模拟裂纹扩展问题时避免了大量的网格重构工作。由于上述独特优势,数值流形方法可以有效地模拟节理岩体的破坏过程,从而在岩体工程领域得到了快速发展和广泛应用。依托于国家自然科学基金项目,本论文基于数值流形方法,对含贯通和非贯通节理岩体的强度特性开展研究。为此,从扩展数值流形方法的求解能力入手,实现贯通节理岩体弹塑性求解和非贯通节理岩体裂纹扩展模拟,并通过与经典算例进行对比来验证扩展后数值流形方法计算结果的准确性和合理性。然后,分别对含一组贯通节理、两组贯通节理以及断续节理岩体的抗压试验进行数值模拟,分析节理岩体的强度和破坏特征,重点研究节理空间分布对岩体强度的影响。通过上述研究工作,主要取得以下几方面的研究成果:1、揭示了一组贯通节理岩体的强度特性及破坏机理,建立了一组节理岩体的强度预测模型。(1)采用弹塑性数值流形方法模拟了含一组贯通节理岩体的抗压试验,结果表明,一组节理岩体的强度特性具有显著的各向异性特征,岩体的强度-节理倾角曲线是非对称“勺形”曲线。随着节理间距减小,岩体强度逐渐减小,并趋向于某一定值,节理间距对岩体强度的影响也具有各向异性。(2)通过对数值计算结果进行回归分析,提出新的节理分布参数,建立了适用于一组贯通节理岩体的强度预测模型。该模型能够准确反映节理倾角、节理间距和围压对岩体强度的影响规律,并且拟合系数均有明确的物理意义,可以通过常规的岩石力学试验确定。2、揭示了两组贯通节理的强度和破坏特征,建立了相应的强度预测模型。(1)采用弹塑性数值流形方法模拟了含两组交叉贯通节理岩体的抗压试验,结果表明,节理倾角、节理间距、围压以及节理组夹角是岩体强度的重要影响因素;依据节理状态,总结了两组节理岩体的3种破坏模式;通过定性分析得出节理组之间存在相互作用,由此判定依据叠加原理将单弱面理论模型的结论推广应用到多组节理岩体有一定的缺陷。(2)通过对数值计算结果进行回归分析,在一组节理岩体强度预测模型基础上,建立了适用于两组交叉贯通节理岩体的强度预测模型。该模型不仅能够反映节理倾角、节理间距和围压对岩体强度的影响规律,还引入了量化的节理组影响系数,并用它来反映不同破坏模式下节理组之间的相互影响。3、针对断续节理岩体的强度特性,建立了能够模拟裂纹扩展过程的数值流形方法。将裂纹尖端位移场的关键项作为强化函数引入数值流形方法的基函数,以此考虑裂纹尖端应力场和位移场的奇异性;采用最大周向拉应力准则作为Ⅰ-Ⅱ型混合裂纹起裂条件和起裂方向的判定准则;采用J积分法求解裂纹尖端的应力强度因子。数值流形方法还考虑了多裂纹扩展、裂纹交汇等情况,单元积分仍然采用单纯形积分。通过对原有数值流形方法中的有限覆盖系统、单元矩阵、单纯形积分进行扩展,采用Visual C++编制计算程序,建立了能模拟裂纹扩展过程的数值流形方法。4、揭示了断续节理岩体的强度特性和裂纹扩展特征。针对含Ⅰ-Ⅱ型混合裂纹岩体的强度特性,采用扩展后数值流形方法模拟断续节理岩体的抗压试验,分析了节理空间分布对岩体强度的影响规律。结果表明,节理倾角、节理间距和节理连通率对断续节岩体强度特性具有显著影响;随着节理倾角变化,岩体裂纹扩展方式会发生改变;随着节理间距减小,岩体强度逐渐减小;随着节理连通率增大,岩体强度逐渐减小。
冯西桥[7]1995年在《脆性材料的细观损伤理论和损伤结构的安定分析》文中认为材料的宏细观破坏理论是当前固体力学和材料科学研究的一个重要课题。本文在对脆性和韧性材料的连续损伤理论和细观损伤理论进行评述的基础上，研究了弹脆性材料的细观损伤和断裂问题以及含损伤的弹塑性结构的安定问题。 本文建立了一套完整的脆性材料细观损伤模型──微裂纹扩展区模型，用以分析材料在三轴拉伸和压缩情况下从初始无损状态到最终宏观裂纹形成的各个阶段的细观损伤和本构关系。建议用微裂纹扩展区的概念来描述脆性材料的各向异性损伤状态，从而方便地解决了复杂加载路径下材料的细观损伤演化和宏观本构关系问题。将材料的本构关系分成包括线弹性、非线性强化、应力突然跌落和应变软化的四个阶段，分别讨论了各个阶段的细观损伤机制，指出应力跌落和应变软化是从连续分布损伤到损伤局部化过渡的结果。在拉伸和压缩情况下微裂纹损伤机制和材料破坏模式都不相同，本文对张开微裂纹的自相似扩展和闭合微裂纹的摩擦滑移、自相似扩展、弯折扩展进行了详细的研究，分别给出了它们对材料的宏观力学性质的影响。并提出了一种柔度等效的损伤测量方法，用以确定脆性材料中各向异性的微裂纹损伤状态。 本文研究了脆性材料中Ⅰ型宏观裂纹尖端的损伤和断裂行为。对于用微裂纹扩展区模型描述的含损伤饱和段的材料，采用基于细观损伤力学的等效弹性介质方法研究了宏观裂纹尖端的微裂纹屏蔽效应，得到了裂纹尖端的应力和应变场。提出了一种修正J积分的方法，用以计算微裂纹损伤的屏蔽比，并将计算结果与以往的J积分守恒方法进行了比较。指出由于应力跌落和应变软化的原因，在脆性材料的宏观裂纹尖端将产生损伤局部化，并给出了损伤局部化带长度的计算方法。 本文还发展了弹塑性损伤结构的安定理论。揭示了材料损伤和结构安定性之间的联系，建议采用延性损伤因子作为弹塑性结构在变载作用下的失效准则的控制参数，建立了理想弹塑性结构和应变强化结构在安定过程中损伤因子的上限以及安全载荷范围的下限的数学规划方法。
孟礼成[8]2014年在《含孔电致伸缩介质力电耦合问题研究》文中研究说明电致伸缩介质因其具有低老化、迟滞小、响应快等优点,广泛应用于微位移传感器、驱动器,能量采集器等智能器件。由于器件在制造过程中难免会有缺陷,例如微裂纹,孔洞、夹杂等,因此电致伸缩介质的失效行为历来多受学者关注。本文应用理论和数值的方法,系统地研究了电致伸缩介质的机-电耦合理论,以及含缺陷电致伸缩介质的机电耦合问题。论文主要工作如下:(1)本文第一章主要介绍了电致伸缩效应,以及电致伸缩介质力电耦合行为的研究现状,并指出了其中有待进一步研究之处。(2)基于诸多电介质力电弹性理论,以及各向同性电致伸缩介质力电弹性理论,本文第二章详细讨论了各向异性电致伸缩介质的力电弹性理论。首先基于电磁场方程组的Minkowski四维张量表述与Lorentz变换,给出了电磁场作用在电介质上的体积力、力偶矩,以及能量。随后将所得结果退化到三维非相对论的情形,仿照传统纯弹性连续介质力学的构建方法,研究了各向异性电致伸缩介质在有限变形下的平衡方程、几何方程、能量方程,以及本构方程,且对本构方程的客观性作了验证,并讨论了介质不同对称性对本构方程的影响。(3)在此基础之上,本文第三章回顾了含单个椭圆孔无限大各向同性电致伸缩介质的广义平面应力问题。对此经典问题的回顾主要是为了:(a)对比本文所提出的本构方程与传统本构方程所得到的结果;(b)讨论广义平面应力问题的两种不同定义;(c)讨论在引入电磁场体积力后实验测量中不同零应力状态的定义,以及相应电致伸缩系数的计算;(d)讨论电场直接作用在电致伸缩介质上和电场作用在环境介质上这两种边界条件对应力集中的影响;(e)讨论应力应变引起的极化,并与传统解耦做法中电场本身引起的极化作对比,估算解耦做法所产生的误差。(4)随后,本文又研究了含单个椭圆孔无限大各向异性电致伸缩介质的广义平面应力问题。其所采用的方法依然是解耦的做法和复变函数法。与各向同性不同的是,即使是在解耦的情形下,Cauchy应力张量与Minkowski应力张量都是非对称的。同时还涉及到电场复参量和应力场复参量对通解形式的影响。此外,边界条件的形式也变得复杂。(5)因一直以来鲜有讨论各向同性电致伸缩介质力电耦合问题的耦合解,更无讨论各向异性电致伸缩介质力电耦合问题的耦合解,因此本文最后在第五章研究这一问题的耦合解。首先从虚功原理的角度出发,提出了具有一般性的各向异性电致伸缩介质力电耦合问题的有限单元法,利用ABAQUS用户子程序UEL构建了三维六面体八节点与二十节点电致伸缩单元。随后研究了含有单个或两个椭圆孔三维有限大各向同性电致伸缩介质(PMNT和KNTN)在纯电场作用下的力电耦合问题。通过对比解耦的有限元解与解耦的理论解,在一定程度上说明了有限元程序的可靠性。而通过对比解耦的有限元解与耦合有限元解说明了传统解耦的做法会引起较大的误差。这种误差的大小取决于所加的电载荷和电致伸缩介质的性能。从而说明电致伸缩介质力电耦合问题一般需要研究耦合解。本文的主要创新点有:(1)基于各向异性电致伸缩介质的机电耦合理论,系统地推导了在考虑电场产生的体积力偶和体积力的情形下的平衡方程、几何方程,以及本构方程,并分别给出了在不同各向异性下电致伸缩系数矩阵与弹性系数矩阵的形式;(2)基于精确的边界条件,首次给出了含有椭圆孔各向异性电致伸缩介质在机电载荷作用下二维问题的理论解;(3)首次提出了电致伸缩介质在力电载荷作用下三维问题耦合有限单元法的基本理论,并基于ABAQUS的二次开发平台,利用ABAQUS用户自定义子程序UEL与UVARM,首次编写了一个完整的电致伸缩单元,实现了力电耦合问题的耦合解。
李博[9]2007年在《复合材料典型缺陷与螺型位错的弹性、粘弹性及运动干涉效应》文中指出复合材料中位错与夹杂及界面缺陷之间的干涉效应问题,是当前固体力学与材料科学研究领域的前沿热点课题。本文针对复合材料中典型界面缺陷与位错的弹性、粘弹性及运动干涉进行理论分析,分别研究了圆柱型各向异性材料中螺型位错与含界面裂纹或界面刚性线圆形夹杂的弹性干涉问题;复合材料中螺型位错与含界面裂纹或界面刚性线圆形弹性、压电夹杂的粘弹性干涉问题;双相材料中运动螺型位错与直线界面裂纹或刚性线的弹性干涉问题。运用复变函数解析延拓原理,将上述问题转化为Riemann-Hilbert边值问题,结合复应力函数奇性主部分析方法、广义Liouville定理、Cauchy型积分和Laplace积分变换法,获得了上述问题的一般解答。作为特例,求出了界面含一条裂纹或一条刚性线夹杂时基体和夹杂区域复势的封闭形式解;同时导出了界面裂纹和界面刚性线尖端应力强度因子的解析表达式;应用扰动技术,分别导出了相应位错力公式。获得了应力强度因子和位错力随材料相关参数、裂纹或刚性线长度以及位错速度的变化规律。研究结果发现,复合材料中增强相界面裂纹和界面刚性线夹杂对螺型位错与夹杂的干涉作用具有强烈的扰动效应,当界面缺陷达到一定长度时,裂纹可以导致硬夹杂吸引位错,刚性线可以导致软夹杂排斥位错。在圆柱形各向异性材料中,材料的各向异性性质能改变位错对缺陷尖端奇异应力场的屏蔽和反屏蔽效应,并且对缺陷附近的位错吸引-排斥、偶极子旋转机制产生重大影响;在粘弹性材料中,随着时间的推移,软夹杂也可能排斥位错,位错力先是快速减小然后变幅趋于平缓,而夹杂的压电性质以及界面裂纹和界面刚性线对于位错力的影响也显著减弱,当界面缺陷趋于某一定长时,位错力将会改变方向;在复合材料中,位错运动速度能削弱缺陷尖端应力强度因子,并改变位错的平衡位置。本文结果不仅可为相关复合材料的结构设计提供科学依据,而且可为进一步研究相关结构材料的强韧化机理提供基本解。本文的解答不仅可以作为Green函数,获得相关问题的系列解答,而且作为本文特例包含了以往文献中的若干结果。
刘磊, 郭雅芳[10]2008年在《铁中Ⅰ型裂纹裂尖场的各向异性有限元分析》文中认为本文以体心立方铁矩形板为研究对象,用有限元模拟计算了{100}<110>、{110}<110>、{111}<110>三种Ⅰ型裂纹裂尖应力应变场.三种不同的裂纹取向将体心立方铁的刚度矩阵转化为不同形式,导致裂尖应力应变场的不同.研究表明,{110}<110>和{100}<110>裂纹裂尖应力和应变沿裂纹张开面呈对称分布,与将材料假设为各向同性时裂尖场分布相似;而{111}<110>裂纹裂尖场在裂纹面上下呈不对称分布。这种裂尖场分布的不对称性也是导致裂纹扩展过程中裂尖微结构演化多样性的原因。
参考文献：
[1]. 裂纹尖端场的有限元分析与裂尖结构演化行为[D]. 刘磊. 北京交通大学. 2008
[2]. 各向异性与各向同性双材料界面裂纹应力分析[D]. 崔引弟. 太原科技大学. 2014
[3]. 各向异性材料动态裂纹扩展特性和动态应力强度因子[J]. 高鑫, 王汉功, 康兴无. 应用数学和力学. 2008
[4]. 铁中Ⅰ型裂纹裂尖场与裂尖形变机制分析[D]. 汤笑之. 北京交通大学. 2009
[5]. 定向有机玻璃力学性能的实验和数值模拟研究[D]. 尚伟. 天津大学. 2008
[6]. 基于数值流形方法的节理岩体强度特性研究[D]. 韩智铭. 北京交通大学. 2018
[7]. 脆性材料的细观损伤理论和损伤结构的安定分析[D]. 冯西桥. 清华大学. 1995
[8]. 含孔电致伸缩介质力电耦合问题研究[D]. 孟礼成. 南京航空航天大学. 2014
[9]. 复合材料典型缺陷与螺型位错的弹性、粘弹性及运动干涉效应[D]. 李博. 湖南大学. 2007
[10]. 铁中Ⅰ型裂纹裂尖场的各向异性有限元分析[C]. 刘磊, 郭雅芳. 北京力学会第14届学术年会论文集. 2008
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