贯穿整个过程，理解思想，学会思考--基于数学思维的“有理数与不合理数”的再设计_数学论文

经历过程，感悟思想，学会思考——基于数学思考的“有理数与无理数”的再设计，本文主要内容关键词为：无理数论文,有理数论文,过程论文,思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、背景介绍

      2013年9月12日，由江苏省中小学教研室组织实施，江苏省特级教师授课和参与主题研讨的教学新时空“名师课堂”第4场，在南京师范大学附属中学举行，活动通过江苏省中小学教研室网站和凤凰数学网全程直播.

      本次网络直播由笔者执教，江苏省中小学教研室副主任、苏科版初中数学教材主编、特级教师董林伟主持，徐州市第二中学校长、江苏省数学特级教师李桂强，徐州高级中学副校长、江苏省数学特级教师杜宪刚为研讨嘉宾，活动中最高在线人数达4529人.本次活动授课课题为苏科版初中数学七年级上册“2.2有理数与无理数”，研讨主题为“数学思考”.

      二、课题、主题选择缘由

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）分别从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度这四个方面具体阐述了课程目标，并指出这四个方面不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体.在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标.这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义.

      课程改革以来，初中数学课堂教学发生了很大的变化，但是理性审视我们的课堂，会发现在知识技能、问题解决和情感态度这三个目标上，老师们虽然都有了较为深刻的认识，但在对数学思考的理解上，还有一些不太清楚的地方.比如，老师们往往会将数学思维看作就是数学思考，会将培养学生的思维能力看作就是发展学生的数学思考等，因此，对于数学思考这个目标，还需要进一步地认识和落实.

      《标准》颁布后，苏科版初中数学教材进行了修订，并在2012年秋季开学后第一次进行了使用.相比较原教材，有一个新的变化，就是把原教材中八年级上册的“无理数”调整到新教材的七年级上册，将“有理数”和“无理数”在同一节教学内容中共同提出.对于这个变化，老师们普遍感到比较突然，如何开展本课的教学，成为了老师们关注的焦点和教学难点.

      基于以上原因，在本次网络直播活动中，笔者围绕“数学思考”，选择了“有理数与无理数”这个授课课题，并在与几位专家和热心网友的研讨、交流中获得了很多启发，活动结束后笔者又对本课重新进行了设计.

      三、教学设计及解析

      根据教学内容，笔者确定了从“一个主题”、“一种方法”和“三个板块”三个方面展开本课的教学.

      “一个主题”就是“数学思考”，“一种方法”是指“问题→思考→探索→发现→归纳→理解”研究数学问题的方法，“三个板块”是指“有理数的发现与认识”、“无理数的产生与认识”和“整体理解、拓宽学习视野”的学习内容，这三个板块是以体现上述这种研究数学问题的方法和数学思考为主题的知识载体.

      （一）教学目标

      1.知识技能

      理解有理数的意义；接受无理数是客观存在的，了解无理数的概念；会判断一个数是有理数还是无理数.

      2.数学思考

      在“无限”中体验和感悟逼近思想，发展数感；在经历探索数的扩充过程中，学会思考.

      3.问题解决

      运用联想、分类、操作、思维等手段，在独立思考、合作交流、反思质疑的过程中发现和提出问题、分析和解决问题.

      4.情感态度

      体会探索的乐趣，感受数学学习的价值，获得成功的喜悦.

      （二）教学重点

      经历无理数被发现的过程，接受无理数是客观存在的，理解有理数与无理数的概念.

      （三）教学难点

      无理数概念的理解.

      （四）教学过程

      1.有理数的产生与认识

      （1）列式计算下列问题：

      

      观察各个算式左右两边形式上的特点，你有怎样的发现？

      （2）发现：从左往右看，分数可以写成整数、有限小数和循环小数的形式.

      （3）思考：反过来，从右往左看，是否所有的整数、有限小数和循环小数也都能写成分数的形式？

      （4）探索：是否所有的整数、有限小数和循环小数也都能写成分数的形式？

      （5）发现：实际上，所有的整数、有限小数和循环小数都能写成分数的形式.

      （6）归纳：能够写成分数形式

（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.

      （7）理解：我们已经学过的哪些数是有理数？并说出你的理由.

      该板块主要分为以下几个过程：

      ①对分数的基本认识.设计用“分苹果”这个实际问题开始本课的学习，目的有三个，一是体现“分数”是从“分东西”产生出来的（数学源自生活）；二是从整体上引导学生认识分数存在着整数、有限小数和循环小数三种形式；三是为了归纳出有理数具有“分数”的特征做准备.列式计算后，引导学生观察各个算式左右两边形式上的特点，从左往右看（顺向思维），发现“分数可以写成整数、有限小数和循环小数的形式”.这一点，学生在小学时已有过了解.

      ②对分数的再认识.反过来，通过从右往左看（逆向思维），就自然引发了学生的第一个思考——“既然这几个算式中的整数、有限小数和循环小数都可以写成分数的形式，那么，是否所有的整数、有限小数和循环小数也都能写成分数的形式？”从而开始了第一个探索——“是否所有的整数、有限小数和循环小数都能写成分数的形式？”此处体现了运用合情推理获得猜想、发现结论的数学思考方式.在分别对整数化为分数、有限小数化为分数、循环小数化为分数（学生阅读课本第17页“读一读”——“循环小数可以化为分数”）的一般方法进行探索和提炼后，得到结论——“实际上，所有的整数、有限小数和循环小数都能写成分数的形式.”此处体现了运用演绎推理验证猜想、证明结论的数学思考方式.

      ③有理数的概念.因为所有的整数、有限小数和循环小数都具有“能够写成分数形式”的共同特征，我们就把“能够写成分数形式

（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数”.

      ④有理数的理解.通过“我们学过的哪些数是有理数？并说出你的理由.”深化学生对“有理数”概念的理解.因为一个数只要能写成分数的形式，那么它就是有理数，所以整数、分数、有限小数和循环小数都是有理数.

      2.无理数的发现与认识

      问题1：在解决“分苹果”问题的过程中，产生了两种形式的小数——有限小数和循环小数，那么对于小数的存在形式，你还有怎样的想法？

      （1）思考：除了有限小数和循环小数，还存在其他形式的小数吗？

      对小数进行如下分类，引导学生发现应该还存在一种小数——无限不循环小数.

      

      （2）探索：你能否找出一个无限不循环小数？

      学生应该能够说出圆周率.用课件再给出充满整个屏幕的圆周率的数值，在给人以巨大的视觉冲击的同时，介绍圆周率的吉尼斯世界纪录，让学生感受圆周率的无限，以及不循环的特征，正因为如此，是无法写出一个完整的圆周率的，所以人们才用希腊字母π表示圆周率的值.

      （3）归纳：无限不循环小数是客观存在的.

      问题2：通过上面的研究，我们可以知道有限小数和循环小数都是有理数，那么，对于无限不循环小数，你会有怎样的想法？

      （1）思考：无限不循环小数是否也是有理数？

      （2）探索：无限不循环小数是否也是有理数？

      ①拼图：如图1、图2，将两个边长为1的小正方形，沿图中的红线（对角线）剪开，重新拼成一个大正方形，如图3所示.

      

      ②思考：通过拼图，我们知道这个大正方形的面积是2，那么它的边长是多少呢？

      ③探索：大正方形的边长a是多少？

      师：a是整数吗？

      生：a不是整数，但可以知道1＜a＜2，因此，a要么是分数，要么是小数.

      师：a是分数吗？（教师引导学生利用Excel的计算功能进行探索，如图4）

      

      生：a不是分数.“事实上，a不能写成分数

（m，n是整数，n≠0）的形式”，所以a不是有理数.因为a不是分数，所以a肯定是一个小数.

      师：a是怎样的一个小数？（教师引导学生利用Excel的计算功能进行探索，如图5）

      

      生：a的值是1.4142135623730950488016887242097…，它是一个无限不循环小数.

      （3）发现：因为a不是分数，也就是a不是有理数，而a又是一个无限不循环小数，所以无限不循环小数不是有理数.

      （4）归纳：无限不循环小数叫做无理数.

      该板块主要分为以下几个过程：

      ①无限不循环小数的产生.通过回顾“分苹果”产生了有限小数和循环小数，引发了学生的第二个思考——“除了有限小数和循环小数外，是否还存在其他形式的小数呢？”学生经过分类进行有条理的思考，发现了应该还存在一种小数——无限不循环小数，从而就开始了第二个探索——“你能否找出一个无限不循环小数？”用事实让学生对无限不循环小数的认识从猜想“应该还存在”，上升到接受“的确是存在”.

      ②对无限不循环小数的思考.自然地，学生会因为有限小数是有理数、循环小数也是有理数而产生联想，引发了学生的第三个思考——“既然有限小数和循环小数都是有理数，那么无限不循环小数是否也是有理数呢？”从而就开始了第三个探索——“无限不循环小数是否也是有理数？”该过程也体现了运用合情推理获得猜想、发现结论和运用演绎推理验证猜想、证明结论的数学思考方式.

      ③对无限不循环小数的研究.在探索“无限不循环小数是否也是有理数”时，如果把圆周率作为研究的对象，学生会感到无从下手，所以必须另寻途径.因此，此处使用了“拼图”，并通过“拼图”引发了学生的第四个思考——“通过拼图，我们知道这个大正方形的面积是2，那么它的边长是多少呢？”从而开始第四个探索——“大正方形的边长a是怎样的一个数？”依次对“a是整数吗”a是分数吗”“a是怎样的一个小数”的探索过程，体现了分类的数学思维方式，也让学生在“无限”的过程中感受了“逼近”的数学思想.

      ④无理数的概念.学生通过探索获得了发现——这个面积为2的大正方形的边长不能写成分数的形式，因此，它不是有理数，而它的边长又是一个无限不循环小数，于是，引出了无理数的概念——无限不循环小数叫做无理数.

      ⑤无理数的理解.此处设计了三个问题，目的有两个，一是让学生再次体会无理数的无限和不循环的特征，二是让学生感受“无理数就在自己身边”、“无理数是大量存在的”，从而进一步接受无理数是客观存在的事实.

      3.整体理解、拓宽学习视野

      （1）总结.

      ①回顾：本课所学知识、思想和方法.

      ②归纳：已学过的数可以分为两类——有理数与无理数.

      ③思考：通过本课的学习，你还有怎样的想法？

      （2）练习.

      将下列各数填入相应的括号内.

      -6，9.3，-

，42，0，-0.33，0.333…，1.41421356，-2π，3.3030030003…，-3.1415926.

      正数集合：｛

       ｝；

      负数集合：｛

       ｝；

      有理数集合：｛

       ｝；

      无理数集合：｛

       ｝.

      （3）作业.

      ①将下列各数填入相应的集合内.

      

      ②把下列小数写成分数的形式.

      

      （4）了解.

      学生阅读“第一次数学危机”，并谈读后感想，鼓励学生树立“坚持真理，为科学而献身”的精神.

      （5）结束本课.

      总结：在该板块，通过回顾本课所学知识和方法，引导学生总结出已学过的数可以分为两类——有理数与无理数，再次引发了学生的第五个思考——“通过本课的学习，你还有怎样的想法？”笔者这样设计的意图是想给学生提供一个机会，让他们大胆地放飞思想，能够说出诸如“老师，除了有理数和无理数，是否还有其他的数？”或者“数是否扩展到无理数就为止了呢？”等这样一些类似的想法，让学生的思考不要因为课的结束而停止，养成善于思考、乐于发现、勇于创新的学习品质.

      四、结束语

      波利亚说过“问题是数学的心脏”，也说过“教会思考是数学教学的首要目的”.数学思考是培养学生用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题等数学素养，这些将会使学生受益终身.

      让学生学会思考，特别是学会独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心.作为数学教师，要努力给学生创造数学思考的平台，保证学生数学思考的时间，养成问题解决后及时反思的好习惯，提升学生数学思考的品质，并通过积极地评价给学生的数学思考助力，让学生学会用“数学的眼光看世界”、学会“数学思考”.

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