千淘万漉虽辛苦 吹尽黄沙始到金——“等差数列”概念课的教学设计过程，本文主要内容关键词为：等差数列论文,黄沙论文,教学设计论文,辛苦论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[《中学数学》按 这一篇的创新之处就在于：它把设计过程中的酸甜苦辣和盘端出来了.一节好课是怎样设计出来的呢？一般，它要包含着：
千辛万苦的搜集素材，千淘万漉的比较筛选；
不厌其烦的拜师求教，对每个细节的追根溯源；
力求深入全面的了解学生，课堂上才能自如地感染引导学生；
多角度多层面的站在系统的高度去把握、去理解教材，从多变、多解的角度去钻研例习题.深入本质，更着重向哲理的升华；
更重要的是，平时要不断地充实调整自己的教学知识，发展完善自己的教育思想，转变自己的教学理念；……
本篇也记录下了作者在“引入课题”部分的设计过程中的一些思想波折，颇有发人深省的启示之力.]
2003年11月26日，笔者代表宁波市参加浙江省第二届高中数学优秀课评比，内容为“等差数列（一）”.本文围绕这节概念课教学设计的多次试教与修改的过程，谈谈在新教学理念下的课堂教学设计的甘苦.
一、最初的设计方案
数列在整个中学数学教学内容中处于一个知识汇合点的地位，尤其是等差数列与等比数列，有着广泛的实际应用.等差数列这节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材.教材重视从通过鞋号、座位数、运动员训练量等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题的过程中提高分析问题和解决问题的能力.同时教材也强调了等差数列与一次函数的联系.本节课的教学重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义.基于上述教学目标，笔者设计了一个以“创设情景——引出概念——提出问题——解决问题”的模式的教学方案（此处略）.
二、展现在评比现场的新方案
教学情景的设计：（在课前播放象山的风景片）
T：同学们：谁不说自己的家乡好，张老师深深爱着自己的家乡——象山，刚才张老师向同学们展示了象山美丽、丰富的自然人文景观，为了让同学们更进一步了解象山，走进象山，老师特意从象山统计局拿来几组有关象山经济软环境的数据.
表1
1997
1998
1999
2000
2001
2002人口总量
53.60
53.45
53.30
53.15
53.00
52.85耕地面积
28.40
28.70
29.00
29.30
29.60
29.90
表2
2月
4月
6月
8月
10月房价（元）
2000
2300
2600
2900
3200工资（元）
1200
1200
1200
1200
1200
（为了便于研究，上述的数字经过近似处理）
思考1 上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？
T：从两方面考虑：
从宏观上考虑，移居大城市，计划生育、围海造田等；
从微观上考虑，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列；a[，1] a[，2] a[，3] a[，4] a[，5] a[，6]53.60
53.45
53.30
53.15
53.00
52.8528.40
28.70
29.00
29.30
29.60
29.902000
2300
2600
2900
32001200
1200
1200
1200
1200
T：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征吗？
S[，1]：后一项与它的前一项的差等于常数.（描述1）
T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：不一样，要加上同一常数.
S[，2]：每一项与它的前一项的差等于同一个常数.（描述2）
T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：不一样，必须从第二项起.
S[，3]：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.（描述3）
（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：（1）同一常数，（2）从第二项起）
T：用数学符号语言：
S[，4]：a[，n]-a[，n-1]=d.
T：等价么？
S[，5]：应加上（d是常数），n≥2，n∈N[*].
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）
T：对式子进行变形可得：a[，n]=a[，n-1]+d（d是常数），n≥2，n∈N[*].如果我们能跳出d的思维定势，能得到很多的公式变形.（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）
T：这样的数列在你日常生活中存在？
S：举例：
1，2，3，4，5，6，7，…
d=1
10，15，20，25，30，35，40
d=5
100，90，80，70
d=-10
（让学生举例，加深对数列的感性认识）
T：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字.
S：等差数列.
（让学生给出数学的定义，并用自己的语言进行交流.当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差.a[，1]为数列的首项.
a[，2]-a[，1]=d，a[，3]-a[，2]=d，a[，4]-a[，3]=d，…，
a[，n]-a[，n-1]=d，…（n≥2，n∈N[*]）
（提出课题——等差数列的概念（一））
（对定义进行分析，强调：1.同一常数，2.从第二项起.同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏了定义中的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析.）
数学史的介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列，在1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列，（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少1/8），在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置，成书于公元前2世纪的《周髀算经》上有“七衡图”……，都记载着等差数列的大量研究.被誉为“数字推理的第一思维”.
T：回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的公差.
d=-0.15，d=0.30，d=300，d=0.
（引导学生发现公差d对数列的影响，当d＞0时数列是递增，当d＜0时数列是递减，当d=0时数列是常数列.）
T：见上表，请7号同学回答a[，7]，请8号同学求a[，8]，请42号同学求a[，42]…a[，1] a[，2] a[，3] a[，4] a[，5] a[，6]53.60
53.45
53.30
53.15
53.00
52.85
S：若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；
（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）
T：我们把问题推广到一般情况.若一个数列a[，1]，a[，2]，a[，3]，…，a[，n]，…是等差数列，它的公差是d，那么数列｛a[，n]｝的通项公式是什么？
方法1
n=2，
a[，2]=a[，1]+d；
n=3，
a[，3]=a[，2]+d=a[，1]+2d；
n=4，
a[，4]=a[，3]+d=a[，1]+3d；
……
a[，n]=a[，n-1]+d=a[，1]+（n-1）d.
当n=1时，也成立.
（归纳、猜想.培养学生合情推理的能力）
方法2
a[，2]-a[，1]=d，
a[，3]-a[，2]=d，
a[，4]-a[，3]=d，
a[，5]-a[，4]=d，
a[，n]-a[，n-1]=d.
用叠加得 a[，n]-a[，1]=（n-1）d，
整理得 a[，n]=a[，1]+（n-1）d，n∈N[*].
当n=1时，也成立.
T：（1）对通项公式进行分析.通项公式中含有a[，1]，d，n，a[，n]四个量，其中a[，1]和d是基本量，当a[，1]和d确定后，通项公式便随之确定。从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）.
（2）a[，n]=a[，m]+（n-m）d，n、m∈N[*].
（3）挖掘等差数列的函数特征.
等差数列的通项公式a[，n]=a[，1]+（n-1）d可表示为a[，n]=dn+c（其中c=a[，1]-d，n∈N[*]）的形式，n的系数即为公差.当d≠0时，a[，n]是定义在自然数集上的一次函数，其图像是一次函数y=dx+c（x∈R）的图像上的一群孤立的点.（画图略）
（在数列的通项公式中，每取一个n，都有惟一一个a[，n]与之对应，让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征.）
T：回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的通项公式.
a[，n]=53.60+（n-1）·（-0.15），
a[，n]=28.40+（n-1）·0.30，
a[，n]=2000+（n-1）·300，
a[，n]=1200+（n-1）·0.
思考2 如果在一定时间内象山的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出2007年象山人口总量？到第几年人口总量会小于51万？（请你在分析数据的基础上进行合情推理）.
问1 方法1 等差数列a[，1]=53.60，则2007年为第11年，n=11，求a[，11]；
方法2 若a[，6]=52.85，求a[，11].
方法3 也可从函数角度解，求f（11）.
问2 解 设2002年为第一年，第n年后象山的人口总量小于51万.
a[，n]=52.85+（n-1）（-0.15）＜51，
n＞1.85/0.15+1≈13.3.
所以，第14年后即2015年时象山人口总量小于51万.
（引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学生的不同解释，加深对数列基本量法的理解，以及决定等差数列要素的选择.）
小结（略）
思考3 等差数列有很多的性质，请同学们回去后对等差数列的性质进行研究.在生活中寻找一些数据进行一次探索？（研究性作业）
三、修改过程及曾历经的一些设想
[作者原文分情景设计，引入课题，推出公式，公式的应用等几部分来谈.为节省篇幅，这里仅撷取其一，以飨读者].
1.引入课题
思考1 笔者认为教材自举三个数列后，马上提问“这些数列有什么共同特点？”尤其是让学生从“每一次减前一次的差都等于”这一特征去发现规律，造成学生思维的定势，没有一个让学生自主观察、发现、探索的空间.笔者曾经也听过一些老师上等差数列课，从给出数列到分析特征，到完成定义的呈现，一两分钟就完成了.完全是教师操纵下的一种说教，学生的参与也只是填空式的回答，笔者认为这样的教学不利于学生能力的培养.
思考2 教师在概念教学时，切忌直截了当地就定义而讲定义；应更多地从概念的产生和发展的过程中为学生提供思维素材与情境，让他们通过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象.笔者认为本设计的等差数列的概念引出，符合数学概念形成的过程，体现新课程的教学理念.尤其是让学生用自己的语言去概括，给这类数列下一定义，笔者认为这是整节课的一个亮点.
2.修改反馈
（1）对“数学化”的思考
许多老师都在评课过程中提到了“数学化”的问题，他们认为数学知识是一种包含有猜测、错误和尝试，证明与反驳，实验与改进的复杂过程，认为数学问题的重要性不仅取决于它的实践意义，而且也取决于它的数学意义，所以数学课堂教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程.部分老师还提出对“数学化”的几点建议：①让学生目睹从表格中提取四组数列的过程（给予板书）；②然后让学生从数学符号语言和文字语言来描述.
（2）体现过程的教学
在前几次试讲中，笔者让学生用文字语言概括时，对学生的错误回答，或立即给予纠正，或马上让其他学生补充，而这个过程却是展示学生学习理解的过程，而教师却往往忽视.下面是笔者对这个教学过程修改后的展示；
S[，1]：后一项与它的前一项的差等于常数（描述1）
T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？
S[，2]：不一样，要加上同一常数.
S[，3]：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）.
T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？
S[，4]：不一样，必须从第二项起.
S[，5]：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.（描述3）
（3）对学生数学严谨性的培养
对数学概念严谨性的培养，应是教学概念课的重要教学目标.几次修改后教学设计严谨性表现在：①文字语言形成过程，②符号语言的形成过程和两种表达的比较，⑧改动学生举例，让学生套用定义，看破坏了定义中的哪些条件.
（4）对于下定义引发的争论
在笔者每次试讲后的评课过程中，几乎每次都提到“是否有必要对数列下定义”的问题.笔者的设计意图是：①突出“等差”的特性，同时也为在推导通项公式中用着加法，打下伏笔；②联系高等数学的差分，从学生反映情况来看，许多同学都提出“等差数列”“等加数列”的概念，但许多听课老师都认为没有必要对“等加数列”进行分析，这样有偏离重点之嫌.
（5）对渗透人文教育的想法
数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力.所以笔者在教学设计过程中：①充分开发和利用本地的教育资源.在教学课前三分钟，笔者播放一段关于象山风景片.让学生了解象山的人文景观，激起学生对象山问题进一步了解的渴望.②结合有关问题有意识融入数学史的教学.贯穿数学文化的发展历程，利用它可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，启发学生人格成长，预见学生的认知发展，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁.