数学折纸活动的类型及水平划分，本文主要内容关键词为：水平论文,类型论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学活动是现代数学课程改革的一个非常重要的核心理念，中国义务教育数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”[1].学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法.在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法[2].从活动的形式上我们可以将数学活动分为语言活动和操作活动两类，这两类活动都与数学思维活动有着密切的关系，在数学课堂教学中，它们相辅相成，相互转化，对学生理解数学知识，掌握基本技能，提高数学思维能力等起着非常重要的作用.
将折纸作为数学操作活动的材料，因其具有携带方便、易于操作和直观等特点，深受教师和学生的喜爱，折纸活动过程还是一个充满着想象力、创造力和手脑并用的过程，因而我们推测数学折纸活动能够培养学生的数学思维能力.为此，我们于2009年9月在西南大学附中设立了折纸与数学思维活动室，每学期在初中一年级的学生中通过自愿报名的方式选择30名学生组成一个活动小组，每周两节课在固定的时间开展以“折纸与数学思维”为主题的探究活动.每次活动分“折一折”、“想一想”、“做一做”三个阶段进行.“折一折”阶段主要是教师示范、学生操作；“想一想”阶段，教师根据第一阶段的折纸操作提出问题，学生解答问题；“做一做”阶段，学生在基本掌握了折叠方法及其原理的基础上，教师提出问题，学生操作并解答问题.实验中，我们发现，在数学折纸活动中操作能力强的学生数学学习成绩也比较好，因此，我们推测数学折纸活动可能存在不同的操作水平.
通过两年多的实验，我们逐渐归纳出了数学折纸活动的类型，并发现每一种类型的操作活动都存在不同的操作水平.为了进一步实验研究的需要，本文对数学折纸活动的类型和水平进行了划分，并给出了具体的折纸操作步骤.
本研究用于数学折纸活动的纸主要是市贩的用于手工或艺术折纸的正方形纸和A4长方形打印纸.为了叙述方便，我们将三角形、正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形和风筝形称为平面基本图形，简称基本图形.
二、折纸活动的类型及水平的划分
通过实验、观察、归纳和分析，我们将数学折纸活动的类型划分为：图形的分解、图形的合成和图形的移动三类，每一种类型的活动又分为三个操作水平，见表1.
（一）图形的分解
图形的分解是指通过折叠将某个基本图形分解成几个部分，并进行观察或分析的活动.在图形的分解活动中，可以通过折纸操作，从多角度、多方位对图形进行考察，观察图形的某些特征或性质.我们发现，图形的分解活动可以分为三个水平，即全等分解、比例分解和不同形状的等积分解.
1.全等分解
全等分解是指通过折纸操作将某个基本图形分解为若干个全等的基本图形.例如，将正方形4BCD的边AB与CD重合对折，折痕为EF，则EF将正方形ABCD分解为全等的两个长方形，如图1；将正方形ABCD的两点A与C重合对折，折痕正好为对角线BD，则BD将正方形ABCD分解为两个全等的等边直角三角形，如图2；过正方形ABCD的中心任折一折痕EF，则EF将正方形ABCD分解为两个全等的直角梯形，如图3.
全等分解的折纸方法主要有：点点对折、线线对折.点点对折是指将已知两点重合对折，所得折痕是两点连线的垂直平分线.线线对折是指将已知两线重合对折，当两线相交时，则折痕是两线夹角的平分线；当两线平行时，折痕与两线平行且三条平行线之间的距离相等[3].例如，图1的分解方法是线线对折，即将AB与CD重合对折，还可以用点点对折，即将点A与点D重合对折也能得到折痕EF.图2的分解方法是点点对折，即点A与点C重合对折，还可以用线线对折，即将AB与BC或AD与CD重合对折也可得折痕BD.
在图3中如果将点E与F重合对折，则可以将正方形ABCD分解成四个全等的对角互补的四边形，如图4.将长方形ABCD的不相邻两点B与D重合对折，可以将长方形ABCD分解为两个全等的直角梯形，如图5.将直角三角形ABC的顶点A、C分别与B点重合对折，可以将其分解为四个全等的直角三角形，如图6.
比例分解是指通过折叠将某个基本图形按照一定的面积比例分解为若干个基本图形或按一定的比例折出某个基本图形.例如，在△ABC中，AB=BC，∠B =90°.将BC与AC重合对折，折痕为CD，则CD将△ABC分解为面积之比为1∶
的两个三角形，即△BCD与△ACD的面积之比等于1：事实上，从折叠过程可以看到△BCD与△ACD的高相等，而BC∶AC=1∶，因此，△BCD与△ACD的面积之比等于1∶，如图7-1和图7-2.
比例分解的折纸方法主要有：点点对折、线线对折、点线对折、点折到线.图7-1的折叠方法是用线线对折，即将BC与AC重合对折.点线对折的意思是：已知直线上或外一点，可以过这个点将已知直线自身重合对折且折痕是已知直线的垂线.点折到线的意思是：已知两点和一条直线，可以过其中一个点将另一个点折到已知直线上[4].
例如，过△BCE的顶点E将BC边自身重合对折，折痕为EF，然后将点B、C、E分别与点F重合对折，可以得到与三角形面积之比等于1∶2的长方形GHSR，如下页图8.将梯形BCHG的边GH与BC重合对折，G、H的对应点分别为R、S，然后分别将B与R，C与S重合对折，所得长方形EMNF与原梯形的面积之比也等于1∶2，如下页图9.
事实上，平行四边形、风筝形可以用类似的方法将其折叠成一个面积为原图形面积一半的长方形，我们可以用这种分解方法来求多边形的面积公式.
3.不同形状的等积分解
不同形状的等积分解是指通过折叠将某个基本图形分解为形状不同但面积相等的几个部分或者用两张形状大小相同的基本图形分别折出两个面积相同但形状不同的基本图形.例如，将正方形的两条对边分别与同一条对角线重合对折可以得到平行四边形，用另一张形状和大小相同的正方形纸将两邻边与同一条对角线重合对折，则得到风筝，可以证明所得的平行四边形与风筝的面积相等，如图10和图11所示.
不同形状的等积分解的折纸方法主要有：点点对折、线线对折、点线对折、点折到线.图10和图11的折叠方法是用线线对折.
（二）图形的合成
图形的合成是指利用两个和两个以上的图形板组拼一个基本图形或立体图形，图形板是指用正方形纸折叠而成的含30°的直角三角板、含60°的菱形板、等腰直角三角形板、等边三角板等.本文用前两种图形板加以说明.我们将图形的合成分为三个水平：基本图形合成、补位合成与立体图形合成.
1.基本图形合成
基本图形合成是指用图形板进行组拼合成某个基本图形的操作.例如，用四个含30°度的直角三角形图形板可以合成平行四边形、梯形和直角三角形等基本图形，且有多种合成方式，如图12所示是其中的三种合成方式.
基本图形的合成主要根据图形板的边与角的特征及其与所要合成图形的关系来进行.例如，关于问题“用两个含30°的直角三角板可以组拼多少种不同形状的基本图形”.根据直角三角板三边的特征和关系我们发现共有六种不同的组拼方式，如图13所示.
2.补位合成
补位合成是指在已有组拼图形的基础上根据要求补拼成另一个平面图形.例如，下页图14-1是由两个含60°的菱形板合成的一个轴对称图形，如何在图14-1的基础上增加一个菱形板分别将其补拼成一个旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形.如图14-2至图14-4分别是补拼合成的旋转对称、轴对称和中心对称图形.
图形合成的第二个水平要求了解图形板的特性和目标图形的特征，才能够根据要求进行操作.
例如，对于还没有学习过无理数的学生，解答问题“已知等腰直角三角形的斜边为1，求该三角形的面积”，可以通过补位合成一个正方形，然后求出三角形的面积等于正方形面积的四分之一，如图15所示.
3.立体图形合成
立体图形合成是指用菱形板组拼合成正方体及其由若干个正方体组成的立体图形.实验中，我们是用下列一组问题来引导学生发现组拼方式的：“请用12个菱形板合成正六边形”，“如图16所示是其中的一种合成方式”，“在图16的组拼图形中去掉边上不相邻的三个菱形板，观察图形”，如图17所示是去掉后的图形.
正方体是最基本的立体图形，通过对正方体的认识可以加深学生对周围空间物体的认识.正方体的组拼方法主要是根据透视画法的原理，类比斜二侧画法，用三个菱形板合成.例如，图18和图19与图17一样都是由12个菱形板组拼的正六边形，但根据透视画法的原理进行组拼，图18就可以看成是由8个小立方体组成的大立方体，在图19中，如果以白色菱形板为主体对象观察，有7个立方体，如果将白色菱形板作为背景则只有1个立方体.
（三）图形的移动
图形的移动是指利用组拼好的合成图形，移动其中的一个或多个图形板将其变为其他图形的过程.操作活动中，图形移动主要强调移动的方法，我们通过对移动方法的分析，也将图形的移动分为三个水平：直接移动、利用对称变换的移动、立体移动.
1.直接移动
直接移动是指在原组拼的合成图形的基础上直接将某个或多个图形板拿到相应位置组拼成另一个图形.例如，图20-1是由四个含30°的直角三角形图形板组拼的平行四边形，直接将“1”号图形板拿到相应位置可将其变成直角三角形，如图20-2.
直接移动比较容易操作，但也需要了解原组拼图形和目标图形的联系.如下页图21-1，移动正12边形的每一块图形板将其组拼为平行四边形，可以推测圆的面积与周长的关系，如图21-2.
2.对称变换移动
对称变换移动是指应用平移、旋转和轴对称变换在原组拼的合成图形的基础上移动一个或多个图形板变为另一个平面图形.例如，在图22-1中，要求应用对称变换移动“1”号图形板将平行四边形变为直角三角形，可以通过两次轴对称变换得到，如图22-1至图22-3所示.
对称变换移动需要了解对称图形的概念、性质及其对称变换的方法，被移动的图形板不能完全离开所在的平面，即至少要保持一边在平面上.
3.立体移动
立体移动是指在原合成的立方体组合图形中，移动其中一个立方体到指定位置的操作.例如，在图23中，将最上面的“1”号立方体移到与它下面的立方体相邻的位置，如图24，可以将整个立体图形旋转90°
立体移动在图形移动是最难的，需要掌握立方体的画法和对立体图形的观察能力.例如，怎样将图25中最右边的“1”号正方体移到与之相邻的立方体“2”号立方体的上面，移动的结果见图26所示，相当于将图25右边的两个立方体旋转了90°.
在近三年的实验中，学生收获的是学习数学的兴趣和对图形的观察能力、操作能力的提高，我们在不断地探索和分析中划分出了数学折纸活动的类型和水平.这只是我们的研究迈出了第一步.通过数学折纸活动能否提高学生的数学思维能力，能否提高学生对数学的学习兴趣，能否提高数学学习困难学生的数学学习能力，如何通过数学折纸活动培养学生的观察能力、综合能力、分析问题和解决问题能力等，这些都将是我们进一步研究的课题.