网络中的级联和总量波动，本文主要内容关键词为：总量论文,级联论文,网络论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一 引言
最近爆发的经济危机进一步凸显了经济中公司和部门之间互联关系的重要性。不管是风险从一些金融机构资产负债表中的有毒资产向其他金融机构蔓延，还是金融机构的经济问题向经济中的其他部门传播，都与这种互联关系有关。另外，旨在扶持几个关键金融机构的政府政策和对卷入危机中的通用汽车和克莱斯勒公司进行救助被证明是合理的，不是因为这些机构“太大而不能倒”，而是因为它们“太关联而不能倒”。这也是一些业内人士的看法。2008年秋天，福特汽车公司的首席执行官阿伦·瑞克曼·穆拉利请求政府救助通用汽车和克莱斯勒公司，而不是要求政府资助自己所服务的福特公司。他要求政府拯救其公司老对手的理由是，无论通用汽车还是克莱斯勒公司的失败都将导致它们供应商的潜在失败，而福特公司跟这两家汽车制造公司具有许多共同的供应商，这有可能把福特汽车公司也拉入险境。很明显，这个理由表明，重要的不是一阶互联(通用汽车和克莱斯勒是高度关联的公司)，而是来自于以下事实的高阶互联：通用汽车和克莱斯勒与供应商相关联，而供应商反过来又与另一个重要的公司——福特——相关联。
在这篇论文中，我们提供了一个系统评价异质性冲击如何由互联转化为总量波动的数学框架。尽管我们构建的这个一般框架能适用于多种环境，但为了具体化，我们集中研究部门间具有投入产出联系的一个多部门经济体，并称之为经济的供应网络。我们把总量波动定义为经济中产出对数的标准差，然后研究总量波动和供应网络结构之间的关系。
对于许多类型的供应网络，特别是那些没有投入—产出联系和每一个部门均等依赖于其他的部门的网络，“太关联而不能倒”的现象并没有发生：大数定律成立，总产出的收敛速度为
，n为经济中的部门数目。即使部门的产出波动性之间存在另外的相关性，总产出的标准差也会趋向于一个非常小的值。这也解释了为什么许多宏观经济分析为了产生较大的产出波动而建立在总生产率、信贷、需求或货币的冲击上。
当部门和公司之间存在战略(或经济)上的联系时，或者当一些公司起着不成比例的重要作用时，标准的中心极限定理不一定成立，总体波动可能来自公司层面的冲击。我们的方法表明，更复杂的供应链网络也发挥了一个类似的作用。特别地，我们的主要结果刻画了相对较小的冲击就能造成级联效应的供应网络的条件，从而收敛速度也不再是。
更特别地，我们首先表明，如果一些部门在供应网络中起着不成比例的较大作用时，大数定律不再成立。在这种情况下，即使当经济中的部门数目相当大时，总量波动也不会消失(尽管此时不存在总冲击)。这种高度互联部门的出现能够产生级联效应，因为这些部门遭受的负冲击可以传播到经济中的其他大部分部门。
然而，即使大数定律成立，供应网络的结构仍然可能通过使收敛速度比更慢来影响总产出。第一，这是因为一些部门是其他许多部门的供应者，即一级互联，这可以用供应网络中部门的度来测量。第二，是因为高阶互联，这是和级联效应非常接近的一个概念。如果供应网络表现出这种高阶互联，一个部门的生产率低下可能在整个经济中产生级联效应，因为这会使它的下游部门受到损害，这反过来又会影响许多更下游的部门。这些类型的高阶互联看起来抓住了与福特汽车公司所关心的相似问题——通用汽车或克莱斯勒公司的失败会导致和它共同的供应商的失败。
我们对作为供应网络结构特征的方程的收敛速度提供了几个下限。我们还证明了刻画收敛速度下限的两个关键定理。就一阶互联而言，我们提供的下限取决于度序列的变异系数，它被定义为经济中部门的度数的标准差除以平均度数。当变异系数很高时，一些部门相对于其余部门高度相关。更重要的是，我们提供了二阶及高阶互联的下界。
最后，我们研究“尾部事件”(即产出大规模下降)的可能性和供应网络结构之间的关系。这种尾部事件对于理解大衰退和经济崩溃有关系。有些人声称，像2008-2009年经济衰退和1998年长期资本管理公司倒闭的事件发生的概率为万分之一。因此，对于我们理解风险和波动没有太多的导向作用。但是，如果这些“稀有事件”的发生是百分之一而不是万分之一的概率，它们显然应该被我们的模型和实践所考虑。不管是不是这样，我们都需要一个尾部事件分析。在本文中，我们首先表明，具有相同总体波动水平的两个经济体可能具有显著不同的尾部事件发生概率。然后，我们利用大偏差范围去刻画总产出的渐进分布和尾部事件的极限概率。
本文与Gabaix(2010)以及Carvalho(2010)密切相关。但Gabaix把公司规模分布当作是给定的，然而我们的方法却可以把公司规模分布内生为网络结构的函数，并把异质性冲击的总量效应与网络结构的结构特性联系起来。与本文更加密切相关的Carvalho(2010)使用了不同的方法(基于随机图)，对冲击的分布也给定了更具体、更严格的假设，而我们的分析则适用于任何供应网络序列和部门冲击的任何分布(只要具有有限方差)。因此，我们能够发展一个一般的框架，并得出一个更强有力的结果。
本文也建立在部门层面的冲击对宏观波动的作用的相关文献之上，比如：Long和Plosser(1983)、Horvath(1998、2000)、Dupor(1999)、Conley和Dupor(2003)以及Shea(2002)。特别地，Horvath(1998、2000)和Dupor(1999)之间的争论集中在部门冲击是否会转变为总量冲击上。本文的研究成果对这些先驱论文提出的问题给出了相当完整的回答。这些文献虽然提出了部门冲击作用的各种经验性证据，但没有提出一个跟我们相似的一般的数学分析框架。
自然地，本文也建立在Gabaix(2010)之前的相关文献之上，特别是Jovanovic(1987)、Durlauf(1993)和Bak等(1993)。在Jovanovic和Durlauf构建的模型中，公司之间存在强大的战略互补性，从而一些公司的冲击可以产生级联效应。因此，我们的方法可以被看成对这类模型提供了一个进行严格分析的一般框架(Jovanovic和Durlauf的模型只是一个特例)。Bak等(1993)沿着物理学和统计力学的方向构建了一个经济学版本的“沙堆”型的模型。尽管这是个非常有趣的研究方向，但他们的论文只是提供了一个具体的例子，在这个例子里，不仅弱大数定律失效，而且平均产出无穷大。我们把我们的研究路线看成这些供选方案的补充。
最后，本文建立在有关统计学中非经典中心极限定理和有关大数定律及非独立同分布随机变量极限定律的文献上。据我们最大努力所知，文献中还没有对这些作为结构网络参数函数的测度的渐进行为提供下界，而这却是本文的主要贡献。
二 模型
这一部分给出了我们的经济模型。我们以描述经济中不同部门之间的相互作用作为开始，并定义了供应网络的概念。我们的模型是Long和Plosser(1983)的多部门模型的一个静态变体。
(一)背景
考虑一个由n个部门组成的静态经济体，每个部门生产一种不同的产品。每个部门的产出要么被消费，要么作为其他部门生产的投入品(中间产品)被使用。每个部门都包含一个同质厂商的单元集连续统，这些厂商具有柯布-道格拉斯生产技术，并使用劳动力和从其他部门购买的中间产品进行生产。所有厂商的生产技术都是规模报酬不变的。假设部门之间的生产冲击
相互独立，且
。
通过定义投入—产出矩阵
，其元素为
，就可以更简明地表达部门间的供应关系，
表示部门i中的厂商所有中间投入品中物品j所占的比例。为了保证部门的生产函数对于劳动投入和其他部门供给的中间产品具有规模报酬不变的性质，假设经济中任意厂商的投入份额之和为1，并假设市场是完全竞争的。每个部门的厂商面临的价格和工资都是给定的，并且最大化其利润。
经济中还存在着一个同质的消费者连续统，他们的集合被标准化为1。代表性家庭具有1单位的劳动禀赋，可以在市场上以h的工资被雇佣。假定代表性家庭对经济中的所有商品具有对称的柯布—道格拉斯型偏好，且无弹性的供给劳动。代表性家庭在预算约束下通过选择一个消费束来效用最大化。根据竞争市场的假设，h等于经济中总的名义增加值，如果选择价值标准作为理想的价格指数，那么，h也反映了经济中的真实产出，与人均真实GDP一样。
关于部门的生产性冲击，我们还作了如下假设：
的数学期望为0，这是一个不失一般性的常态化假设；
的方差为
，其中0＜σ＜σ独立于n，这要求对于任何一个给定的序列，
的方差从上到下都是一致有界的。
在该经济体中，不存在外部性和策略互动，仅有的互动是投入—产出关系上的互动。一个部门的负冲击会降低其产出，在均衡状态下，会提高其产品价格，降低其每一个下游部门的需求数量。结果是一个部门的负冲击会降低它所有下游部门的产出，这是一阶效应。也存在更高阶的效应，诸如下游部门产出的减少转而又会引起它们自己下游部门产出的减少等。
(二)供应网络
通过投入—供应关系产生的不同部门之间成对的相互作用关系可以用一个加权、有向图来表示。我们还把部门的加权出度(简称为度)定义为部门的产出数量在整个经济投入品供应量中所占的比例，即
。
三 影响向量和总量波动
在这一部分，我们使用影响向量来简单地表述供应网络和总产出之间的关系，它概括了每个部门对总产出的影响。然后，我们用这个表达式来讨论大数定律成立的条件，并推导出一些关于它收敛于一个渐进分布的主要结论。
(一)影响向量
通过计算，可得影响向量为：
，其中α为生产技术中的劳动份额。由于n维向量
的第i个元素与经济中部门i的均衡销售份额相等，所以v[，n]也被称为“销售向量”。也可以把影响向量写成下面线性问题的唯一解：
。从上式中就可以看出高级互联的存在，等式右边的第二项表明，如果一个部门是为决定总产出的中心部门而不是微小影响的部门提供投入产品，则该部门的异质性冲击对总产出的影响会更大。
我们把总产出的标准差称作总量波动。由于各部门的生产冲击是相互独立的。所以可得，总量波动与
成比例，其中
表示欧几里得范数。等价地，可以把这种关系记为：
。尽管简单，这个关系却是我们分析的中心，因为它能使我们理解大数定律是否与在何条件下成立以及当大数定律成立时，总产出以什么样的速度收敛于一个常数。
(二)支配部门和大数定律
随着部门数目的提高，如果经济中最大部门销售份额的边界仍然远离0，我们把该部门称为支配部门。如果存在一个中心部门序列，且它供应经济中一直存在的部分部门的投入，则该经济序列具有一个星形结构。图1表示的是星形供应网络，部门1是中心部门，它同时是其他多个部门的供应商，它的出度为Θ(n)。
图1 星形供应网络
我们表明，具有星形结构的经济序列具有支配部门，并利用切比雪夫不等式，得到下面的定理：当且仅当不存在支配部门时，经济序列的总产出依概率收敛于0。这个简单的定理表明，尽管每个部门都有独立的生产性冲击，但由于供应网络的互联作用，(弱)大数定律可能不成立。星形结构就是一个具体的例子。星形结构的存在是大数定律失效的充分而非必要条件。
(三)渐进分布和总量波动
尽管上面的定理已经表明，当互联关系存在(特别是支配部门存在)时，大数定律一般不再成立，但是，我们仍然期待大数定律在大多数现实情况下成立。然而，即便如此，经济中部门之间的联系仍然可能会对波动有一阶影响。我们试图解决这个问题并证明了即使在总产出收敛于0的经济序列中，收敛速度也可能不等于。我们得到一个定理，该定理表明，总产出被影响向量欧几里得范数
标准化后，总产出
有一个非退化的渐进分布，该分布是非正态分布并且有一个有限的方差
。很明显，一般情况下，
与标准中心极限定理暗含的缩放比例不同，通常比它小。该定理包含的最重要的结果是，衰减速度由刻画总量波动的相同因素——
决定，而是由供应网络结构性质决定的。
四 刻画总量波动
本部分将从供应网络结构特征方面进一步刻画总量波动的行为。特别是，基于供应网络简单的一阶互联和高阶互联的性质，我们给出了一个总量波动的下界。
(一)一级互联和总量波动
我们现在把注意力集中在一阶互联对总量波动的影响上。这个分析将揭示不同部门之间影响分布的重要性。我们得到一个定理，该定理表明，如果供应网络的度序列存在很高的由变异系数衡量的变异性，那么，不同部门的冲击对总产出的影响也存在很高的变异性。这种异质性意味着总量波动以慢于的速度衰减。这样，供应网络会对总量波动有一个很可观的影响——即使大数定律成立时也是如此。直观地说，当变异系数很高时，只有一小部分部门负责经济中大多数投入品的供应，这些部门受到的冲击会在整个经济内传播，因为它们的低生产率会导致其下游所有部门的生产率降低。值得注意的是，该定理没有假设大数定律成立。还可以从该定理得出一个推论，它可以被看作是一个网络度序列的尾部条件。该推论表明，如果供应网络的度序列展现了厚尾的特征，那么，总量波动衰减的速度要比大数定理预测的更慢。
(二)二阶互联和总量波动
一阶互联只给出了供应网络结构的有限信息。而两个具有相同度分布的经济序列可能在结构特征和影响向量方面有很大的不同。直观地，一阶互联以及度分布不会提供关于“级联”真实内容的任何信息，在那里，一个部门的低生产率不仅会影响到下游部门，而且还会影响到其下游部门的下游客户。如图2所示，这两个网络结构具有相同的出度序列(即一阶互联)，但由于前者是高度二阶互联，后者是低度二阶互联，当n值较大时，总产出的波动也会表现出显著的不同。
图2 高度二阶互联和低度二阶互联
我们现在根据二级互联给出一个总量波动衰减速度的下界。首先定义二阶互联程度系数，它测度了高度部门(它们是其他部门的主要供应者)通过共同的供应商而彼此互联的程度。例如，引言中讨论的福特、通用汽车和克莱斯勒的情形就对应着一个高度二阶互联系数。在此基础上，我们得到一个定理，该定理表明了二阶互联是如何影响总量波动的。它还表明，即使两个经济序列对所有的n值都有相同的度序列，总量波动也可能表现出显著不同的行为。在这个意义上，该定理是上一小节所得定理的一个精练，它同时考虑了不同部门之间的一级和二级关系。它也可以被视为一个经济上更有趣的结果，因为它不仅描述了经济中有些部门是“很大”(支配的或准支配)的事实，而且刻画了一个更加敏锐的见解，由于它们共有很多相同的供应商而形成了一群重要的部门。从这个意义上讲，我们相信该定理刻画了“级联效应”的本质。与一级互联的情形类似，也可以根据二阶度分布的尾部分布来考虑二级互联的影响。我们得到一个推论，该推论表明，如果二阶度的分布也表现出相对较厚的尾部，那么，总量波动将以比常规大数定律预测的更慢的速度衰减。
(三)高阶互联
为了刻画高级互联和更加复杂的级联类型，我们定义了第m+1阶高级互联系数，这个系数刻画了第m+1阶的不同部门之间的供应关系。较高水平的
对应着不同部门之间的更高互联。在此基础上，我们可以得到一个比上一小节得到的定理更一般化的定理。
(四)平衡的结构
在平衡的结构中，每一个部门的产出与该部门依赖于外部供应商的程度近似。在这个意义上，平衡结构与前面所讲的星形结构完全相反。具有相同供应权重的完全图形和完全不连通的图形都是平衡结构的例子。我们表明，当所有部门以一阶互联平衡且中间产品在生产中的作用相当小时，总量波动的衰减速度总是，供应网络的其他性质——比如更高级的互联系数——不会对总量波动进一步施加影响。
五 应用：美国供应网络中的一阶与二阶互联
这一部分主要依靠美国经济研究局(BEA)公布的2002年美国投入—产出矩阵来研究其所包含的互联结构，该矩阵是商品—商品的直接需求矩阵，包括423种商品。下面图3绘制了一阶度的经验累积计数分布函数的对数(log(CCDF))与一阶度的对数(log(first-order degree))；图4绘制了二阶度的经验累积计数分布函数的对数(log(CCDF))与二阶度的对数(log(second-order degree))。在这两幅图中，左边的面板绘制了分布的尾部估计斜率，一阶度分布与二阶度分布的形状参数估计量分别是β=1.47和ζ=1.29(以下部分取值为β=1.5和ζ=1.3)。右边的面板使用Nadaraya-Watson核回归的方法展示了经验反累积分布的非参数估计，平均斜率分别是-1.54和-1.26，这相当接近线性回归的估计量。这些数字意味着，通过考察二阶度所得出的标准差的比例下界比通过一阶度分布得出的要显著更窄。
图3 一阶度的经验累积计数分布函数的对数与一阶度的对数
图4 二阶度的经验累积计数分布函数的对数与二阶度的对数
二阶度分布给出一个更好的总波动衰减速度的下界，系数ζ=1.3意味着总量波动衰减的速度低于
，而该值明显低于(而一阶度分布暗含的下界是
，这对应于一个明显更快的收敛速度)。为了获得总量波动衰减速度蕴含的意义，们使用NBER1958-2005年间生产性数据库计算出459个四位数制造业之间的增加值对数的平均标准差，估计大约为0.219。由于在1958-2005年间，制造业占美国GDP比例的均值大约为20%，因此，假设经济由5×459=2 295个与四位数制造业处在相同分解水平的部门组成。在每个部门的波动为0.219的情况下，如果总量波动以的速度衰减(正如平衡结构的情况)，那么，总量波动将大约为0.219/
≈0.005，这很明显是一个非常小的波动，反映了当部门数目非常大时，部门层面的波动会被平均化，从而不会被转化为一个较大数目的总量波动。然而，对于二阶度分度的下界来说，总量波动的衰减率为n[0.23]，那么，总量波动将为
，这是一个非常大的数。这意味着，美国投入—产出结构所暗的互联类型可以从部门层面的冲击中产生显著的总量波动。
六 渐进分布和尾部事件
到目前为止，我们一直用总产出对数的标准差(或方差)来衡量经济中的总量波动，这是一个测量围绕均值变动的宏观波动的很好方法。然而，标准差不是一个合适的刻画明显偏离均值的波动的衡量指标。在这一部分，我们首先给出确保渐进分布是正态分布的供应网络结构特征的充分条件；然后，也是更重要的一点，我们把产出偏离均值的较大偏差的发生概率——即所谓的尾部事件概率——与供应网络联系起来。
(一)渐进正态分布
我们首先定义一个经济序列的可分解性的概念，并根据供应结构的可分解性给出了总产出渐进正态分布成立的充分条件。该条件表明，通过移除相当小数目的供应链，那么，一个包含n个部门的经济就会被分解成每一个规模都不超过的次级经济，那么，不管特定部门的冲击如何，总产出总是渐近正态分布的。注意，平衡结构很明显是阶可分解的。
(二)尾部事件
在这个小节里，我们会看到，当总产出的渐近分布是正态分布时，对于两个收敛到正态分布且方差相同的经济，较大偏差发生的概率可能会显著不同。我们然后把尾部事件发生的概率与供应网络的结构特性联系起来。
首先，我们更精确地定义了尾部事件的概率，即总产出比某一确定水平小的概率。这种概率行为可以使用较大偏离分析来刻画。然后，我们列举了一个例子说明了收敛于相同渐近(正态)分布的两个经济序列，可以表现出显著不同的尾部事件概率。这个例子激发我们更进一步的去刻画尾部事件的概率。一般来说，尾部事件的概率不仅取决于特定部门生产力冲击的分布，还取决于供应网络结构。我们下面得出两个结果来描述这些关系。
一个结果表明，经济的供应网络不仅会影响偏离均值的水平，而且会对较大偏差的概率有一个显著的影响。这表明，在正态分布的生产冲击的特定情况中，这种依赖性能够被影响向量的欧几里得范数所刻画。然后使用第四部分中相同的分析方法，根据相同的结构性质，比如一级和高级互联系数，直接给出了尾部事件概率的下界。不幸的是，总量波动与尾部事件基本测度之间的完美平行关系在通常情况(其他分布)下是不成立的。我们接下来给出另一个有趣的结果。在非正态分布情况下，供应网络的其他性质对较大偏差概率的衰减速度来说会变得非常重要。如果一个随机变量的尾部概率以指数速度衰减，我们就称其为指数型尾部。如果冲击分布有一个指数型尾部，那么，是
刻画了尾部事件的衰减速度，而不是
刻画了尾部事件的衰减速度。
我们最后举例证明了，具有重要的投入—产出互联关系和薄尾冲击的经济可以表现出与具有孤立部门、但厚尾生产冲击的经济相类似的性质。
七 结论
近来发生的事件表明，当一些公司和部门的冲击向经济体中的其他公司和部门蔓延时，通过供应网络或金融而联系的公司或部门之间的互联可能造成级联效应。本文提供了一个对经济的网络结构和其总量波动之间关系的一般分析框架。我们研究了一个由一系列部门组成的经济序列，它们通过供应网络(投入—产出)联系在一起，规定了各部门在何种程度上需要使用其他部门的产出作为中间产品进行生产。我们把总量波动定义为经济中人均GDP对数的标准差，并研究了部门波动和作为供应网络结构特征函数的总量波动之间的关系。更正式地，我们考虑了一个经济序列，并探究总量波动是否随着经济部门的增加而消失以及以何种速度消失。
首先，我们证明了当支配部门存在时，弱大数定律失效，总量波动不会消失。这明显表明，总体波动如何可能源自纯粹的异质性(部门层面的)波动。然而，我们关注的主要焦点一直都在弱大数定律成立的经济序列上。本文从总量波动与影响向量的欧几里得范式之间联系的一个一般表征结果开始。影响向量的其他特征也决定了总产出是否是渐近正态分布。本文的主要结果给出了总量波动随经济规模的增长而收敛的各种速度的下界。通过分析一阶互联效应得出第一个边界，这个下界与度序列的变异系数有关。该结果的一个直接推论是，对于表现出幂律分布的度序列来说，下界可以用帕累托分布的形状参数来描述。本文最重要的结果是通过分析与“级联”概念更接近的二阶和高阶互联的影响，给出了一个更有用的边界，这对总量波动来说非常重要。我们还给出了高阶互联结果的一个模拟，表明对总量波动来讲，二阶互联比一阶互联更重要，这印证了前面章节讨论的级联类型的重要性。最后，我们分析了尾部事件——总产出距离其均值较大偏差的可能性。即使是两个收敛到相同渐近正态分布的经济序列，尾部事件出现的概率也可以显著不同。这表明，即使当中心极限定理成立时，供应网络也会对尾部事件产生重大影响。我们还表明，当特定部门冲击是正态分布时，尾部事件由供应网络相同的结构特征决定。但对于特定部门冲击的其他分布，其他的结构特征也会影响尾部事件。
本文的分析开启了一些未来的研究领域：第一，将尾部事件发生的概率与符合我们研究之外的其他分布的供应网络的结构特征联系起来会非常有趣。第二，可以从公司层面(而不是部门层面)进行相同的分析，但是，在这种情况下，需要更仔细地对不同供应商之间的替代进行建模。第三，我们研究的焦点放在了一个具有柯布—道格拉斯技术的竞争性经济上，这意味着只有“出度”——即供应链起作用。把现有的模型扩展到垄断竞争的环境中，会得到一个更灵活的分析框架，在这个框架下供应链和需求链都起作用。第四，也是更重要的一点，我们自始至终把供应网络当作给定的。然而，在实际中，无论是公司层面还是部门层面，供应网络都是内生决定的。第五，对规模效应以及盈利和级联效应导致的风险之间权衡的分析对金融网络非常重要。这类问题需要一种不同类型的分析。最后，一个包含供应商之间的潜在转换和内生关系的扩展模型的动态分析也是一个有潜力的未来研究领域。我们认为，所有这些领域都是有前途的，可以加深我们对经济中的总量波动和风险的理解。
*所谓级联是指每一实体只与其邻接者相互作用的多实体串联形式。——译者注