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摘要：基于库伦理论的平面滑裂面假设，考虑滑裂面上填土的粘聚力、墙背与填土接触面上的粘着力、地面作用连续均布荷载、粘性填土开裂对挡土墙土压力的影响，利用力矢量多边形法，推导了适用多种复杂条件下的粘性土主被动土压力计算式，并给出了临界破解角的显式解答。公式应用简便，精度较高，对实际工程中挡土墙的设计计算具有一定的应用价值。
关键词：挡土墙；主动土压力；被动土压力；力矢量多边形法
引言：从目前看，作用在挡土墙上的土压力计算方法主要有2类：第1类是极限平衡理论，其典型代表是库伦土压力理论和朗肯土压力理论[1]；第2类是考虑土压力与墙体变形关系的协调变形计算方法[2]；前者由于适用范围相对较广且计算过程简单，因而在实际工程中应用的更多，但库伦与朗肯土压力理论的局限性是也非常明显：朗肯土压力理论只适用于墙背竖直光滑、挡土墙后填土表面水平的情况；而库伦理论则要求填土为理想散粒体，即只适用于无粘性土，但实际工程中墙后填土往往为粘性土，且当挡土墙与粘性填土产生相对位移时，墙背与填土之间不仅存在摩擦力，同时还产生一定的粘着力，因此在实际工程计算中常采用基于两种理论的简化或近似处理方法来求解土压力，如图解法、粘聚力等效法[3]、等值内摩擦角法[4]，但图解法的计算过程较为繁琐，而等值内摩擦角法与粘聚力等效法计算的结果有时误差较大，针对这一情况，朱桐浩、顾慈慰等[5-7]在库伦土压力理论基础上，考虑在多种不同条件下对库伦主动土压力计算式进行改进，并取得了很大进展，但也存在一定问题，如文献[5]忽略墙土间粘着力；文献[6]考虑了墙土间粘着力，但对裂缝与超载的处理较为繁琐；文献[7]假设 
，但实际情况并不一定都能满足，且文献[5-7]并没有给出相应条件下被动土压力计算式。
本文在库伦土压力理论基础上，考虑滑裂面上粘聚力、墙土间粘着力及填土表面裂缝和超载对挡土墙土压力的影响，推导出适用于多种复杂条件下的库伦主被动土压力计算式，该公式推导简便，计算可靠，易于在实际工程中推广应用。
1模型的建立及公式推导
1.1 主动土压力
如图1所示，
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、 分别为作用在挡土墙上的主动土压力、墙背与填土间的摩擦角、填料面仰角、墙背倾斜角、滑动楔体滑裂角、土体内摩擦角、q为填土面上的超载、土的粘聚力、墙体粘着力、挡土墙墙高、粘性填土表面出现的裂缝深度（墙体产生水平位移和绕墙底转动时须考虑，当墙体绕墙顶转动时，可不考虑）、粘性填土出现开裂后墙高的折减高度。
图1 主动土压力计算模型 图2 滑动楔体力矢图
其中裂缝的深度可用下式计算[7]：
（1）
式中
为朗肯主动土压力系数，
，当
时表示无裂缝开展，则在计算中取 
。考虑填土坡角与墙背倾角条件下的墙高的折减高度为[8]：
（2）
假定破裂面为BEF时，作用在滑动楔体上的力如下：
1）土体自重W1、W2及填土表面超载q的合力W3（方向竖直向下）：
（3）
2）墙背对填土的反力 
（与AB法线成δ角，与W的夹角为 
）；
3）破裂面BF上的总粘着力（与R的夹角为 
）：
（4）
4）破裂面BF上的反力R（与W的夹角为
）；
5）沿墙背BE的总粘着力（与Ea的夹角为 
）：
（5）
由图1几何关系可得以下计算式：
（6）
式中：
此时土体自重 
、
及填土表面超载q（q按水平投影集度）的合力 
分别为：
（7）
其中 
为土体重度，将（6）式代入（7）式后得：
（8）
上述滑动楔体上5个力的作用方向均为已知，且W、
、
大小也已知，根据力系平衡可以作闭合力矢量多边形（如图2所示）。其中矢量TM，即为主动土压力Ea。为了方便地表达Ea，作辅助线延长TM，使其与NQ的延长线交于P点。由几何关系，E可写成：
Ea=E1-E2 （9）
式中E1，E2均可表达为θ的函数。E1就是无粘聚力c的库伦土压力表达，E2相当于因滑裂面上粘聚力c和墙背粘着力cw的存在所减少的土压力。
下面将推求E1，E2的具体表达式。由图2，根据正弦定理：
（10）
在ΔPQT中，应用正弦定理有：
（11）
其中
（12）
在ΔQST中，
（13）
将式（12-13）代入式（11），得：
（14）
将（10）、（14）式代入（9）式并联立（8）式，可以求得作用在挡土墙上的主动土压力为：
（15）
分析上式可知，当墙背倾角满足 时，考虑墙土间粘着力的影响，将使主动土压力减小，反之当 时，将使主动土压力增大。将上式变化为类似库伦主动土压力计算式：
（16）
（17）
式中： 
当不考虑粘性填土开裂时，只需取上式中
即可求解。由于
是 
的函数，为求得 
的最大值令
（18）
显然直接求解上式超越方程存在一定困难，笔者通过三角函数的和差角与积化和差公式将（18）进行转换后得：
（19）
令
，将上式简化后对其求导，并注意到分母不能为零，分子必须为零得：
（20）
式中：
由（20）式解得滑动楔体的临界破裂角为：
（21）
式中： 
由（21）式求得的 代入式（16）、（17）即可求得主动土压力。
2.2 被动土压力
被动土压力的推导，与主动土压力的推导过程相似，但不考虑粘性填土的开裂问题。作用在挡土墙上的被动土压力Ep为：
图3 被动土压力计算模型 图4 滑动楔体力矢图
Ep=E1+E2 （22）
此时E2相当于因滑裂面上粘聚力c和墙背粘着力cw的存在所增加的土压力。
由图3几何关系可得以下计算式：
（23）
土体自重
与填土表面超载q的合力
（被动土压力不出现粘性填土开裂区，故取
）：
（24）
将（23）式代入（24）式后得：
（25）
此时破裂面BC上的总粘着力与墙背AB上的总粘着力为：
（26）
（27）
闭合力矢量多边形的作法同主动土压力的作法，如图4所示。在ΔPMN中，运用正弦定理得：
（28）
在ΔPQT中，运用正弦定理有：
（29）
（30）
在ΔQST中，
（31）
将式（30-31）代入式（29），得：
（32）
将（28）、（32）式代入（22）式并联立（25）式，可以求得作用在挡土墙上的被动土压力为：
（33）
将上式变化为类似库伦被动土压力计算式：
（34）
（35）
其中A1、A2、A3与（17）中的相同（
，
）。
与主动土压力临界破裂角求解过程一致，在所有可能的楔体滑裂角 
中存在某一值，使得
取最小值，为求得此滑裂角令：
（36）
求得：
（37）
式中，
表达式与（21）式相同，其他参数为：
按式（37）求解被动土压力临界滑裂角
时，存在三种情况：
（1）当
时，
；
（2）当求解的
为正时，即为正确值；
（3）当求解的 
为负时，正确的滑裂角为
+90°。
2 算例分析
表1 主动土压力算例1
本文方法与文献[5-6]方法的计算结果完全一致，按不考虑出现裂缝情况计算的主动土压力值为
68.896kN•m-1，实测土压力为79.6 kN•m-1，计算值较实测值小13.3%，按出现裂缝情况计算的主动土压为72.481 kN•m-1，较实测值小8.9%，而本文方法对超载的处理及裂缝深度的计算较文献[6]简单的多，土压力计算过程也简单的多。当墙体绕墙顶转动，按不考虑填土表面出现裂缝的情况计算时，只需取zo=0，本文公式同样适用。
表2 土压力算例2
由上表可以看出：
（1）当填土为非粘性土时，本文方法与用粘聚力等效法计算的主被动土压力结果相同；当土体粘聚力值较大时，粘聚力等效法计算的结果误差较大；
（2）对于墙后填土为粘性土，由于忽略粘性填土开裂的影响，规范公式计算的结果偏小。因此当墙体产生水平位移和绕墙底转动时须考虑粘性填土开裂对主动土压力计算值的影响；
（3）本文方法建立起的土压力计算方法实际是库伦理论的推广，与文[7]相比，本文方法的适用范围更广。
3结语
本文在库伦土压力理论的基础上考虑粘性填土、墙土间粘着力、均布超载、填土浅表具有张拉裂缝条件的影响，应用力的矢量多边形法推导出适用范围更加广泛的主被动土压力计算式，并给出临界破裂角的显式解答，对库伦土压力理论作了有效推广。
（1）本文方法的计算过程简单，通过编制相应的电子计算表格，将各条件参数输入后便可求解而无需试算或编程求解；
（2）对超载的处理及裂缝深度的计算简单；对于按不考虑填土表面出现裂缝的情况需取
后便可求解。
（3）与目前常用的粘性土土压力近似求解方法相比，本文方法的计算精度更高，适用范围也更加广泛。
参考文献：
[1] 陈仲颐，周景星，王洪瑾.土力学[M].北京：清华大学出版社，2009.
[2] 梅国雄，宰金珉，徐建.考虑变形与时间效应的土压力计算方法研究[J].岩石力学与工程学报，2001，20（增1）：1079-1082.
[3] 顾慰慈.挡土墙土压力计算[M].北京：中国建材工业出版社，2004.
论文作者:曹雄
论文发表刊物:《基层建设》2019年第22期
论文发表时间:2019/10/29
标签：压力论文; 粘性论文; 挡土墙论文; 库伦论文; 填土论文; 算式论文; 裂缝论文; 《基层建设》2019年第22期论文;