“图形与变换”教学难在哪儿？——关于“图形与变换”教学难点的分析与思考，本文主要内容关键词为：图形论文,难点论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“图形与变换”是新教材“空间与图形”领域中的一块内容。从儿童的年龄特征与认知特点来看，该内容通过感知和初步学习图形的变换，引导学生“从运动变化的角度去认识事物，了解图形之间的联系，发展空间观念和几何直觉”。由于该内容基本属于全新的，一线教师在实践中对该内容的目标定位以及教学重难点的理解和把握存在着诸多的困难，致使在教学时，或仅仅停留于生活实际层面，以欣赏为主；或过分追求数学化的提升，忽视了小学生的年龄特点、认知经验，造成教学目标定位过低或过高。那么，“图形与变换”的内容应该如何理解？其教学难点到底在哪里呢？以下笔者结合自己的教学实践谈一些分析与思考。
一、“图形与变换”是怎样的知识内容？
所谓变换，是指“集中符合一定要求的一种对应规律”。小学阶段涉及的“图形与变换”内容主要有平移变换、旋转变换和轴对称变换。
物体的“平移”和“旋转”是日常生活中经常看到的现象。通俗地讲，“平移”就是物体按一定的方向移动一定的距离；“旋转”就是物体绕着一个点或一条轴转动一定的角度。从数学意义来看，“平移”和“旋转”是图形全等变换的两种基本方式。所谓“平移”，就是指“把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到一个与原图形形状、大小完全相同，且新图形中的每一点都是由原图形中的某一对应点移动后得到，并且连接各组对应点的线段平行且相等”的图形变换方式，也叫“平移变换”。所谓“旋转”，则是指“把一个图形绕着一个固定点（旋转中心）转动一个角度，且新图形中的每个点都是由原图形中的某一对应点转动相等角度后得到，并且连接旋转中心与每组对应点的线段长度相等”的图形变换方式，也叫“旋转变换”。
轴对称变换则是对称变换中的一种。与“平移”和“旋转”相比，它的运动性并不那么明显，是以轴对称图形的稳定特征形态呈现在人们面前的。然而“轴对称图形”并不是“轴对称变换”。我们平时所说的轴对称图形只是一种具有轴对称变换特征的图形。“轴对称图形”可以这样定义：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形。”从中我们可以看出，“轴对称图形”是一种具有线性对称变换方式的图形。而“轴对称变换”的定义则是：把图形以某条直线为轴进行变换，连接变换后的新图形与原图形中每一组对应点的线段都和这条直线垂直且被该直线平分，这样的图形变换方式叫做轴对称变换。
从这几种图形变换的数学定义可以看出，无论轴对称变换，还是平移变换、旋转变换，其核心是自身所涵盖的“点”在遵循统一规定的条件下发生位移的过程。认识物体或图形的“轴对称”“平移”和“旋转”，其实是认识“点”的运动规律。
二、教学“图形与变换”的难点在哪里？
教学的难点是指学生不易理解的知识，或不易掌握的技能技巧。对于“平移”“旋转”及“轴对称”等图形变换知识的教学，其难点既有理解层面的，也有技能技巧层面的。对于这块内容的难点分析，除了以上对知识内涵的理解之外，了解学生是怎样认识“平移”“旋转”及“轴对称”等图形变换的也是必不可少的。
（一）对图形变换各种方式的本质特征理解存在着较大的困难
我们知道，只有认识了“点”的运动规律，才是真正把握了“轴对称”“平移”“旋转”等图形变换方式的本质特征，而且这也是学生后续学习图形的全等及其更复杂的图形运动变换的基础。“轴对称变换”如此，认识“平移”和“旋转”变换也同样需要有这样的要求。但对小学生来说，认识“轴对称”“平移”或“旋转”，要上升到对“点”运动规律的认识也确实存在着相当大的难度。
1.学生经验中的“平移”“旋转”及“轴对称”是直观形象的。在实践中，当呈现生活中的一些“平移”或“旋转”现象时，比如风景区游客乘坐的缆车移动，城市娱乐场所摩天轮的转动等，学生最直接的感觉便是物体的整体运动。当教师问“看到了什么”时，学生会答“缆车在移动”或者“摩天轮在转动”等等。这显然是由学生的认知特点所决定的。当一种运动以形象的情景呈现在眼前时，刺激其视觉的感知远远强于数学抽象，这是很正常的。如果再请学生说说这些事物是怎样运动的，学生也基本能说出一些“平移”或“旋转”的特点，如电梯在上升时是“直直的，朝着一个方向移动了一段距离”“缆车是直直的，朝前（朝后）移动了一段距离”。又如呈现“钟面上的指针从12转动到1”的情景后，学生会说“指针在转动”。问是怎么转动的？学生说出“指针绕着中心点顺时针旋转30度”。学生能够这样描述，并不说明其认识上有了多少的提升，更多的是其已有认识经验的呈现。因为对于一个五年级的学生来说，指针在钟面上的转动已不仅仅有生活经验的支撑，还有相应数学经验的支撑。很多学生已经有了“指针在钟面上旋转一周是360度，那么旋转一大格便是30度”的知识储备了。
同样，在认识“轴对称”变换时，学生对于一些直观图形的轴对称特征的理解相对较为容易。如图1的蝴蝶图案，学生一般都能知道它是轴对称图形，理由便是，只要把它对折，两部分会完全重合。
图1
2.学生对“平移”“旋转”及“轴对称”能够作出一定的解释。如在《旋转》一课的教学中，当教师呈现了“风车逆时针旋转90度”的情景后，组织学生反馈，让学生想办法说清“为什么说风车是逆时针旋转了90度”的道理。此时，有学生借助“线段”的运动来加以说明（如图2）：黄色三角形的一条边从垂直的位置逆时针旋转到了水平的位置，这两条边的夹角是90度；另一条边从开始的位置逆时针旋转后，与原来那条边的夹角也是90度。而风车每一片叶子的边都在这样旋转，所以说风车逆时针旋转了90度。
图2
当对具体事物进行深入分析时，学生往往可以借助部分推断到整体的认识过程，是可以突破原生活经验范围的。这是因为对于一名五年级的学生来说，已经有了一定的借助数学推理来进行分析的意识和能力。这较之第一层次仅仅看到旋转现象有了明显的提升。
图3
又如在《轴对称》一课的教学中，当教师呈现了一个“等腰梯形”（如图3），让学生解释“为什么说是轴对称图形”，学生虽然首先想到的还是“把这个图形对折，两部分是否完全重合”这样的说明方式，但当教师把这个图形呈现在屏幕上，而不能取下操作时，学生也会深入思考，并且能够想到观察对称轴两边部分到对称轴的距离是否相离。有学生会说：A点到对称轴的距离与A′点到对称轴的距离相等；B点到对称轴的距离与B′点到对称轴的距离同样长。
当然，这样的要求仅仅体现在部分认识上，还没有真正上升到“图形与变换”本质特征的认识上。一旦涉及“图形与变换”本质内涵，学生就会碰到相应的困难了。
这在《旋转》一课的教学实践中有明显的反映。我们知道，如果从“点”的运动来解释图4中AB旋转到A′B′位置这一问题会比较清晰：A点旋转90度到A′点，B点同样旋转90度到B′点，那么AB线段上的“点”都能在A′B′这条线段上找到对应的“点”，而且A′B′线段上每一个点同O点的连线，与AB线段上的对应点同O点的连线，所组成的夹角也同样是90度。然而这样的认识要求对小学生来说，确实难度相当大，学生要说清线段A′B′的成因比较困难。如解释“风车旋转”时，学生只能借助线段的旋转来解释；解释“等腰梯形的对称性”时，学生也只能通过两对特殊点的对称性来推断整个图形的对称性。这远远没有达到相应图形变换的本质理解。
图4
（二）在操作层面上，学生之间的能力存在着较大的差异
“图形与变换”中一个重要的目标要求，便是通过画出变换后的图形来深入理解认识各种图形变换方式的内涵，在教学中则体现为一种操作技能。如在“轴对称”的认识中，借助“连接变换后的新图形与原图形中每一组对应点的线段都和这条直线垂直且被该直线平分”这一本质，来画出变换后的新图形，才算是真正理解了轴对称变换的本质特征。但在实践中，笔者发现，这样的认识对小学生来说存在着相当大的难度。我们曾在实践中做过这样的尝试：
画出轴对称图形的另一半（如下图左）。
课堂上，一半以上的学生无从下手，或者只能大致画出图形。有20%的学生能够画出，但只能从“轴对称”的直观表象的要素入手来完成这个任务（如上图中）。只有10%左右的学生能够用找对称点的方法来画（如上图右）。
实践表明，因为这是一个“去方格”的练习设计，解决该问题的关键——通过点A（或点B）画对称轴的垂直线段，是学生经验中所缺乏的，更多的学生只能凭借其直观经验，大致画出点A、B的对应点A′、B′。虽然“垂直”“平分”作为理解对称点连线与对称轴关系的核心要素，在小学阶段已经有所涉及，但由于小学生没有“垂直平分线”的知识储备，要应用“对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质”来画出轴对称图形的另一半，这要求显然过高了，学生的学习难以达到理想的效果也就在预料之中了。
三、小学阶段需要学生对“平移”“旋转”及“轴对称”内容达到的认识水平及难点梳理
在小学阶段，“图形与变换”的内容出现在以下几册教材中（以“人教版”为例）。
学生对“图形与变换”的认识达到怎样的程度才是合适的呢？其教学难点又分别在哪里呢？笔者试着作一梳理。
小学生对“平移”“旋转”及“轴对称”等图形变换方式的认识定位在以下3个方面：
1.使学生体会到对图形的“平移”“旋转”以及“轴对称”的研究是对物体运动方式的研究，需要以动态的眼光来审视图形的变换过程。
2.使学生在直观观察的基础上认识“平移”“旋转”以及“轴对称”的基本特点，初步学会识别这几种图形变换方式，并能在方格纸上按照要求画出“平移”“旋转”以及“轴对称”变换后的图形。
3.使学生借助对“平移”“旋转”以及“轴对称”本质特征的初步认识，发展空间观念，体验对应思想在图形全等变换中的特点。
3个方面的要求体现了“平移”“旋转”以及“轴对称”等图形变换方式不同层次上的教学价值。第一方面突出了学习方法上的引导，第二方面则是知识技能层面上的要求，第三方面则关注了数学思想层面上的认识要求，且涉及对“图形与变换”本质特征的认识。层层推进，螺旋上升。
这些内容在不同的年级中出现时，教学的难点也有所不同。
二上初步认识“轴对称”，从具体的教学目标定位来看，“使学生通过观察、操作，初步认识轴对称现象，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”。这个要求对于二年级学生来说，直观层面上的认识并不难，难点在“借助方格纸画一些不规则图案的轴对称图形”，如教材P70第3题“你能按对称轴画出另一半吗？”此题正确率不超过40%。
二下初步认识“平移”和“旋转”，其目标定位也还是比较低的，“使学生结合实例，初步感知平移、旋转现象。会在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”。难点还在“借助方格纸画出平移后的图形”。因为学生对“平移”的认识还没有上升到对“点”的变换规律的认识，在画的过程中，只能凭借着直观认识来操作，往往会出现局部错误。
五下教学“轴对称”和“旋转”，教学目标定位在“进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形；进一步认识图形的旋转，探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°；初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案，进一步增强空间观念”。其难点在于对“轴对称”和“旋转”本质特征的把握和根据一定的条件画出“轴对称”和“旋转”变换后的图形。如上图左，如果作为描述，那难度还不大；而如果只呈现图形的一半，让学生画出另一半（如上图右），那么难度还是有的。不仅有多个图案组成的复合图形的对称性问题，还有方向上的要求。
而“去方格”背景下的操作，则显然已经超出了对小学生的要求，因此，《课程标准》到第三学段才提出这样的教学目标：“通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质”；“通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质”；“通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质”。