HPM视角下的“导数应用”教学，本文主要内容关键词为：导数论文,视角论文,HPM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
生活中的点点滴滴往往在不经意间激起智者思维的浪花，17世纪那散发着红酒醇香的橡木桶，成为了开普勒思想的源泉，引发了他对几何体体积与最佳比例的探索.探寻古人的思想轨迹，再现他们的思想历程，我们在传授知识技能的同时，也使课堂闪烁着思维的火花，沐浴着人文的光芒. 一、开普勒与费马的思想 开普勒（J.Kepler，1571～1630）于1615年出版了《测量酒桶体积的新立体几何》，这本著作可能源于一个平凡的问题——求一个酒桶的最佳比例，他在著作中将锥和柱看作由无穷多个薄圆片组成，或看作由无限多个从轴引出的无限小楔形体所组成，或看作由具有其他形状的垂直截面或斜截面所组成，并应用这种观点计算其体积.酒桶的测量，使开普勒开始思考最佳比例问题，并进而引发了对于极大与极小值问题的思考，在《新立体几何》一书中，他指出球内所有以正方形为底的内接平行六面体中，以立方体的体积最大，所有有公共对角线的正圆柱中，以直径和高的比等于
比1的圆柱体积最大. 费马（P.de Fermat，1601～1665）是17世纪最伟大的数学家之一，他在1638年的一封信中详述了这样的事实，在一个一般有两解的问题中，极大或极小仅有一个解，从这个事实，费马得出了求极大、极小的十分巧妙和富有成效的公式.他将求极值的方法运用于求曲线切线、求抛物线的重心以及折射定律的证明.虽然费马在求极值问题中考虑的是方程和无限小，而不是函数与极限，理论上并不足够严密，但他提供了一种处理极值问题的通用方法. 二、导数应用的教学设计与反馈 1.导数应用课时一：几何体的最佳比例问题 第一环节 创设情境 在我们的生活中，易拉罐可谓无处不在，大部分的易拉罐，无论装载的是可乐还是啤酒，只要容量相同，其设计尺寸往往相同，这是巧合吗？ 第二环节 探究原因 设计易拉罐的尺寸时，首先要考虑成本，即材料最省，材料与易拉罐的表面积相关，故可以提炼问题：体积相同的圆柱体，高与半径的比为何值时，表面积最小？
测量结果：高约为半径的4倍，显然与计算结果不符？问题出在什么地方？易拉罐的侧面与底的厚度是不同的：侧面厚0.011cm，顶厚0.028cm，底厚0.021cm.为了计算方便，可以将侧面厚近似为0.01cm，底厚近似为0.02cm，请学生计算高与半径的比为何值时，材料最省？此时计算结果与测量结果一致. 第三环节 拓展深化 例1 如果圆柱的轴截面的对角线长度为定值，则高与半径的比为何值时，圆柱的体积最大？ 例2 高与半径的比为何值时，球内接圆柱的体积最大？ 计算结果发现例1例2结果一致，请学生思考为什么？如图1，球内接圆柱的轴截面为球的大圆的内接矩形，因此矩形的对角线为球的直径，长度为定值，例2便转化为例1的问题.
例3 高与底面边长的比为何值时，球内接正四棱柱的体积最大？ 思考：例2与例3之间有什么联系？其本质又是什么？ 圆柱与其内接正四棱柱的体积比
（S表示底面积）为定值（图2），因此球内接圆柱体积最大时，其内接正四棱柱的体积也最大.
第四环节 提炼思想 刀工很好的厨师能够将菜切得其薄如纸，所以无论什么几何体到了这些师傅的手中，都能切成一个个柱体，故原几何体的体积可以看作这些柱体的体积和，如果两个几何体，它们切出来的每个相对应的柱体的体积都相等，毫无疑问这两个几何体的体积相等，这里就蕴含了祖暅原理的思想.祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.其后再简单介绍卡瓦列利原理.正是借助于祖暅原理，我们得到所有等底等高的柱体体积相等，所有等底等高的锥体体积相等，等高的柱体体积比为底面积的比，同理，等高的锥体的体积比也为底面积的比. 例4 高与底面半径的比为何值时，球内接圆锥体积最大？ 例5 高与底面边长的比为何值时，球内接正三棱锥体积最大？ 圆锥与其内接正三棱锥的体积比
为定值，所以当球内接圆锥体积最大时，圆锥的内接正三棱锥为球的体积最大的内接正三棱锥. 一般化：高与底面边长的比为何值时，球的内接正n棱柱、正n棱锥体积最大？
第五环节 小结与作业 作业 ①查阅有关开普勒、祖暅与卡瓦列利的资料，了解他们对数学的发展所作出的巨大的贡献.②思考球外切正n棱柱、外切正n棱锥的最佳比例. 分析 开普勒从对酒桶最佳比例的思考开始，研究了几何体的计算方法，思考了许多求几何体最佳比例的问题，他对于几何体的体积与最佳比例的思考值得我们借鉴.本课时从研究易拉罐尺寸开始，探讨了共对角线圆柱、球内接圆柱、球内接正四棱柱、球内接圆锥、球内接正三棱锥的最佳比例问题，并拓展到球内接正n棱柱、棱锥的最佳比例问题，并在课后让学生思考球外切正n棱柱、棱锥的最佳比例问题，层层递进，既让学生熟悉了导数知识，学以致用，又引导学生关注问题间的联系，从特殊中归纳出一般性的结论.此外对祖暅原理的介绍，让学生对微积分求几何体体积有了初步的了解，为今后进一步的学习奠定基础. 2.导数应用课时二：最佳线路铺设问题 第一环节 情境引入 情境一 现代化的交通：现代化的交通密如蛛网，为我们的生活带来了便利，从杭州到北京乘坐高铁只需要6个半小时，交通网络的设计涉及大量的优化问题，我们需要科学有效地处理这些优化问题. 情境二 发达的通信网络：我国的航天事业蓬勃发展，嫦娥奔月，天宫神舟对接，我们离那浩渺的太空越来越近，而发达的通信技术是我们航天事业一项强有力的保障，怎样才能保证通信网络的稳定、快速与低成本，同样离不开优化问题！ 第二环节 生活中的优化问题 例1 如图，A、C位于宽度为
m的河的两岸，点B位于点C的正对岸，AB长为100m，陆路AB上的运输速度为水路运输速度的两倍，为使从A到C的运输时间最短，在D点设立水陆转换码头，求∠BDC与AD.
解 设水运速度为1，则陆运速度为2，设∠CDB=θ，
一般化：A、C位于宽度为
m的河的两岸，点B位于点C的正对岸，AB长为100m，陆路AB上的运输速度为水路运输速度n(
)的倍，为使从A到C的运输时间最短，在D点设立水陆转换码头，求cos∠BDC. 例2 如图，已知点O（0，0）、A（3，3）、B（3，-3）为某公司的三个办公地点，现要在三个办公地点间构建通信网络，决定将交换器构建在x轴上的点C处，试确定C点使通信线路最短.
例3 如图，设有一条直线段的河道位于x轴上的区间[0，3
]上，两家工厂位于点A（0，2），B（3
，3），为了净化这两家工厂所排出的污水，要在H（x，y）处建造一座污水处理厂，x∈[0，3
]，y≥0，从H点把净化的水用管道通往河道C（x，0）处，问如何铺设管道及污水处理厂应建造在哪里可以使得铺设管道的长度最小？
第三环节 探索例题间的联系 思考 三个例题中涉及取到最值的角不是
就是
，这是偶然吗？还是必然？这三个例题间又存在怎么样的联系？展示例3的几何方法. 如图7，当∠AHC=∠BHC=∠AHB=
时，过点A、B分别作直线与AH、BH垂直，与x轴交得正三角形DEF，｜AH｜+｜BH｜+｜CH｜等于正三角形DEF的高h，在正三角形DEF内任取一点H'，分别作DE、DF、EF的垂线段A′H′B'H′、C′H′，则｜A′H′｜+｜B′H'｜+｜C′H'｜=h=｜AH｜+｜BH｜+｜CH｜，因此｜AH′｜+｜BH′｜+｜C′H｜≥｜AH｜+｜BH｜+｜CH｜.
例3的几何方法可以用来证明费马点，费马点就是到三角形三个顶点距离和最小的点，当△ABC的最大角小于
时，费马点H使∠AHB=∠BHC=∠CHA=
，例2其实就是费马点的特例. 费马点在通信领域中具有极其广泛的运用，运用费马点的知识铺设通信网络不仅能使通信线路达到最短，铺设成本最低，更为重要的是以此方式铺设的通信网络信号更加稳定.费马一生为我们留下了许多重要的定理与猜想，为数学与自然科学的发展作出了重要的贡献，光学领域中的费马原理也是费马的一项重要成就费马原理（最小光程原理）：光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径.根据费马原理，通过导数，我们可以很容易地得到折射定律： 光在A、B两种介质中传播速度之比为n.
折射定律的证明经历了曲折的过程，折射定律最早是由斯涅尔（Willebrord Snell Van Roijen，1591～1626）发现的，但未发表，笛卡儿（R.Descartes，1596～1650）于1637年在他的《折光》一书中给出了同样的定律，但他的证明是错误的，费马立即对定律及其证明进行攻击，两人开始了长达十年之久的争论，直到费马根据最小光程原理，借助于求极值的方法导出此定律，才承认它是正确的.当然费马的证明还不是现在我们所进行的证明，我们所进行的证明则是由莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646～1716）给出的.
当入射角α为
时，我们根据折射定理
可得
，与例1一般化中的结论恰好吻合，分析例1的本质，同样也是物体在两种介质中的两点间运动，保证用时最少的问题与最小光程原理一致，因此由最小光程原理得到的折射定律，在这一类问题中同样适用. 例1与例2的方法二涉及的是同一个函数模型，它们之间又存在着什么样的联系？ 例2中铺设的通信线路的长度
，可以看作物体在｜OC｜上的运动速度为｜AC｜的2倍，确定A点使费时最短的问题，这样问题2就转化为了问题1，也就是我们巧妙地实现了一次费马点与费马光学原理间的转化. 第四环节 小结与作业 作业 ①查阅与费马有关的资料，走入费马的世界！②尝试用我们所学的数学知识去处理生活中的一个优化问题，个人或小组都可，寻找问题，给出数学模型，并解决问题. 分析 费马思考费马点与证明折射定律时是否有关联，我们已经不可考，但这两类问题都涉及求最值与极值，将它们放在一起进行探究是很自然的，更为惊讶的是它们之间可以相互转化.虽然我们现在所用的方法与当初费马求极值的方法已经有些区别，但寻找一种通用的方法解决极值问题这一点是共通的，本课时中利用折射定律模型，将交通与通信等领域中不同的问题联结成一个有机整体，这样的教学设计有助于提高学生分析、解决问题的能力，培养学生提炼数学模型的能力. 3.教学反馈 笔者之一于2010年12月21日至2011年1月6日于浙江省重点中学萧山中学实施了导数章节的教学，其中导数应用第一课时在普通班与重点班都实施了教学，而第二课时因其难度只在重点班实施了教学，并于2011年1月7日对任教的104位学生进行了关于导数教学效果的问卷调查，问卷涉及章节教学的六个教学案例，其中之一即为导数应用第一课时的易拉罐尺寸设计案例.问卷结果显示，有91（81.7%）位学生认为这一案例能够让他们感受到数学知识在现实生活中的价值；问题7让学生选择给出的六个教学案例中哪些案例比较有意思，有77（74.0%）位学生认为易拉罐案例有意思，位居六个案例之首；问题8让学生选择给出的六个教学案例中哪些案例给他们比较深刻的印象，有68（65.4%）位学生对易拉罐案例印象比较深刻，同样位居六个案例第一.此外，笔者于2012年6月11日召集任教的21位学生进行座谈，请学生回忆在导数教学中有哪些案例给他们留下了比较深刻的印象，易拉罐案例就是其中之一，学生喜欢这些能够将知识直接运用于生活中的教学案例.问卷调查与访谈的结果说明导数应用课时的教学设计学生是认同的，并且能给学生留下深刻的印象. 4.设计说明 导数应用第二课时因在重点中学的重点班进行教学，所以容量和难度均较大，若在普通学校实施教学，可以删减费马点的几何证明及费马点与费马光学原理间的转化. 新课程标准非常注重知识的运用与文化的渗透，标准中明确给定了数学建模与数学文化的教学建议与教学要求，相配套的人教A版的教材在每一章节的最后部分都安排了知识应用的课时，这些知识应用课时虽然给予了丰富的案例，但案例间缺乏相互关联，使得课时的教学比较松散，往往仅限于知识的运用而缺少了思想的提炼.微积分的发展经历了一个世纪的酝酿，开普勒与费马都是这一阶段作出杰出贡献的人物，开普勒求几何体体积的方法蕴含着深刻的极限思想，而费马寻找到一种通用的方法求函数的极值、曲线的切线及证明折射定律，他们的思想中所涉及的极限思想与通用方法正是微积分的灵魂与价值，以这些思想方法为纽带串联知识应用的教学，为知识应用教学设计增添了新的视角，使得课时的教学呈现出形散而神不散的特点，教学的知识性、技能性、思想性都有所增强，对学生数学素养的培养更为全面，这是数学史为实现教学目标所作的贡献.借鉴Gulikers和Blom（2001）提出的关于数学史教育价值的三维分类框架，表1将数学史对导数应用教学的价值进行了分类与梳理. 一位教师的教学生涯短短几十年，一个教师团队也只有区区几十人，数学的发展却经历几十个世纪，有千千万万的学者为之付出了毕生的心力，触摸数学发展的历程，感悟数学文化的恢宏，让数学课堂闪耀几十个世纪的精华，无数智者的智慧，那该是一位数学教师毕生的荣幸与追求吧！
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