郭少坤 广东省汕头市潮师高级中学 广东 汕头 515154
【摘要】含参函数单调性的讨论考查学生的分类讨论思想，数形结合思想和转化与划归等思想方法，以及学生分析问题和解决问题的能力。导数是高考中必考的内容，也是众多知识的交汇点之一。讨论含参函数的单调性过程中，如何确定分类的标准，分类时怎样做到不重不漏，是学生学习的重点，也是难点。在解决含参函数的单调性问题时，不管形式多么复杂，必须从本质入手。本文介绍利用导数讨论函数的单调性的本质及对高考中常见类型的归纳、总结。
【关键词】导数 函数 单调性
中图分类号：G661.8文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051（2019）11-142-02
一、利用导数实现了对函数单调性的讨论
1.函数的单调性与导数关系
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果，那么函数在这个区间单调递增；
（2）如果，那么函数在这个区间单调递减；
2.导数法求函数单调区间的步骤：
（1）求定义域；（2）求导数； （3）求导数在定义域内的根；
（4）用求得的根划分定义区间； （5）确定在各个开区间内的符合；
（6）得相应区间上的单调性.
二．高考中利用导数讨论含参函数的单调性常见的类型
1.导函数中含有参数的类型
例:（2015年全国卷II文科）讨论函数的单调性。
错解：的定义域为，
，
令，即，解得；
令，即，解得；
所以在单调递增，在单调递减。
原因：本例在利用导数讨论含参函数的单调性时，没有对和中的参数进行分类讨论，而使结果出错。
解析：求导之后发现导函数中的中一次项系数是参数不确定，有多种情况，引发分类讨论，再结合不等式的性质，从而通过导函数的符号判断函数的单调性。
正解：的定义域为，
，
若，则，在单调递增；
若，则当时，；
当时，．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递增区间为.
点评：本例导函数中含参数的类型，学生在解题过程中往往直接像解不含参数的一元一次不等式问题一样求解而出错，学习中常常存在有一定的困难。通过本例的分析与总结，可以让学生掌握导数法中对类似不等式的分类讨论。
方法归纳：利用导数讨论含参函数的单调性中，有一种含参数的类型，实际上，对比解一元一次方程及解不含参数的不等式问题，只要注意到影响不等号方向的因素，也就是将“系数化为1”时运用不等式的性质，再结合函数的定义域，就容易找到分类讨论的标准。
对形如导函数中含有的不等式问题，只要将不等式化为的形式：（1）若，则；（2）若，则。再结合函数的定义域，从而解决问题。
2.导函数中含有参数的类型
例:(2018年全国卷Ⅰ理科)讨论的单调性。
错解：的定义域为，
令，解得或 ，
令，解得；
令，解得；
所以在单调递增，在和单调递减。
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原因：（1）解法直接默认即有两个实根，对怎么判断一元二次方程根的情况掌握不好，从而导致找不到分类标准而出错；
（2）解法直接默认两个实数根满足函数的定义域；这两方面是高考中大部分同学的典型错误。
解析：求导之后，发现导函数的符号不能确定，也不能在有理式范围内实现十字相乘分解，故我们要对判别式进行讨论；而当时，两实根是否满足函数的定义域也不是很明显，但只有我们仔细加以分析，不难找到关系，从而通过导函数的符号判断函数的单调性。
正解：的定义域为，．
若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．
若，令得，或．
当时，；
当时，．
所以在，单调递减，在单调递增．
综上，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为 ，的单调递减区间为，。
点评：本例导函数中含有参数的类型，它不能在有理式范围内进行十字相乘分解，即实数根的个数情况不明确，综合性比较强。通过本例的分析与总结，可以让学生深刻的认识到实数根的个数情况不明确，需要对判别式进行分类讨论的标准。
方法归纳：利用导数讨论含参函数的单调性中，有一种含参数的类型，按照如下思路进行，大部分同学就容易找到分类讨论的标准，从而消除畏惧心里，树立信心，突破重难点。
解含有参数类型的分类讨论标准为：（1）一级：二次项的系数，分；（2）二级：判别式，分；（3）三级：根的大小，分。
3.导函数中含有参数的类型
例.(2017年全国卷Ⅰ理科)讨论函数的单调性。
错解：的定义域为
令，解得，所以在单调递增；
令，解得，所以在单调递减；
所以，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
原因：本例在求解的过程中，显然没有考虑的实数根是否有意义而出错。
解析：本例求导之后，发现只要把作为一个整体，就可以采用十字相乘分解，又发现因式，只需考虑的符合，但的实数根是否有意义不明确，有多种情况，引起分类讨论，从而通过导函数的符号判断函数的单调性。
正解：的定义域为，
，
若，则，所以在单调递减．
若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上：当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
点评：本例综合性比较强，第一，求导之后能否把当作一个整体而实现十字相乘分解；第二，能否找到参数的分类标准。通过本例的分析与总结，让学生初步掌握了导函数中含有参数的类型的分类讨论标准。
方法归纳：利用导数讨论含参函数的单调性中，含参数的指数型不等式（如）问题，我们只要考虑对应的实数根是否有意义，而进行分类讨论，从而通过导函数的符号判断函数的单调性。
三．总结
利用导数讨论含参函数的单调性中被研究的对象包含了多种情况时，学生常常找不到分类标准，做不到不重不漏，本文通过对其本质的研究及高考中常见类型的归纳总结，很好的帮助学生消除畏惧心理，树立了信心，突破学习中的重难点。
利用导数讨论函数的单调性，是高考的重点考查的内容之一，也是函数、导数、不等式等知识交汇之一，体现了分类讨论、数形结合、转化与划归等思想方法，具有一定难度，是对每一位学生的学习综合能力的考验，具有很强的选拔功能。为此，在今后的教学中要提高学生运用知识的能力，不断培养学生的创新能力。
参考文献：
[1]蔡振树.高中数学有意义教学探究——利用导数研究函数单调性案例分析[J]，数学学习与研究，2019.
[2]陈达辉.利用导数研究函数单调性的几种类型[J]，数学学习与研究，2019.
[3]冯联英.利用导数讨论含参函数的单调性[J]，数学学习与研究，2017.
论文作者:郭少坤
论文发表刊物:《中国教师》2019年11月刊
论文发表时间:2019/12/17
标签：函数论文; 调性论文; 导数论文; 单调论文; 定义域论文; 区间论文; 参数论文; 《中国教师》2019年11月刊论文;