数学活动经验视角下的课堂观察，本文主要内容关键词为：视角论文,课堂论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
刚刚颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》[1]在课程目标中提出了数学“四基”的概念，也就是在“基础知识、基本技能”的基础上，增加了“基本思想”和“基本活动经验”.“四基”的提出，增加了课堂教学的关注点，也使我们观察和分析课堂教学有了新的视角.本文将在介绍相关研究结论的基础上，从数学活动经验的视角对一课例进行观察分析.
一、理解数学活动经验
笔者主持的山东省教育科学“十一五”规划课题《初中生“数学基本活动经验”的内容与获取方法的研究与实验》（编号为2008JG038），利用文献研究法、实验法、教学案例分析、学生问卷调查等研究方法，从理论层面和实践层面对初中生数学活动经验的内容及获取途径的相关问题进行了为期四年的较系统的研究，取得了较为丰富的成果，择要介绍如下.
（一）数学基本活动经验的内涵
本研究在梳理分析学者专家对数学活动经验的研究[2-11]的基础上，认为，所谓数学活动经验是指学习者参与数学活动的经历，以及在数学活动过程中所形成的感性认识、情绪体验和观念意识.在进一步的数学活动中，能生长为较高层次的活动经验或能生长为知识或技能的数学活动经验是基本活动经验.由定义可知，基本活动经验包含四种成分：认知性成分、技能性成分、体验性成分、观念性成分.相应地，数学基本活动经验也可以分为：认知性数学活动经验、技能性数学活动经验、体验性数学活动经验和观念性数学活动经验四个类别.
数学基本活动经验具有伴随性、内隐性、主体性、多样性、迁移性、或然性等特征.
（二）数学基本活动经验的具体内容
数学基本活动经验大致包括如下四个方面的内容：
一是学习者参与数学活动的经历.包括学习者对数学活动过程及活动细节的记忆.
二是学习者在数学活动过程中所形成的感性认识.如对数学重要性的认识，对数学的兴趣与喜爱程度，对数学的应用价值、数学的思维锻炼价值、数学美的认识等.
三是学习者在数学活动过程中所获得的情感体验.如：喜欢、放松、快乐、成就感或厌烦、紧张、焦虑、挫折感，以及对数学的神秘感、恐惧感等.
四是学习者在数学活动过程中所形成的一些观念和意识.如对付出与回报、汗水与成功的感悟，对日积月累、持之以恒的理解，对循序渐进、讲究方法的体验，对酸与甜、苦与甘、外表与内涵、困难与成功的辩证观念的理解，对个体差异的了解和他人观点的接纳，对小组交流形式的认可，参与数学活动时的良好心态，对科学家坚持真理、持之以恒、勇于探索、不屈不挠、无私奉献、敢于打破常规等优良品质的佩服，等.
（三）数学活动经验的层次
本研究借鉴仲秀英的“原初经验、再生经验、再认经验、概括性经验”的概念[12]，认为可以将数学活动经验按照经验的抽象程度由低到高的顺序依次分为原初经验、反思后经验、再生经验和再认经验、概括性经验四个基本的层次.当学生的数学活动经验达到概括性水平以后，经过多次反复应用，能够逐渐达到具有相对稳定的概括性经验图式层次，即数学双基.数学活动经验层次越高，数学活动经验就越有条理性，越容易被学生在新情境中激活并运用.初中生获得数学活动经验的过程结构如图1所示.
（四）数学活动经验内容的分析方法
可以用表1来分析数学活动经验的构成.比如：表1的单元格A中，是（观察，认知性经验），可以这样表述：在观察活动中获得的认知性经验.由于学习者参加活动的经历本身就是一种经验，因此单元格A也可以表述成：观察活动经验中的认知性成分.同样，表中没有列出的（比一比，观念性经验）可表述成：比一比活动中获得的观念性经验，或比一比活动经验中的观念性成分.
二、数学活动经验视角下的课堂观察
（一）观察样本的选取
课题：求阴影部分（四瓣花图案）的面积
教材：人教版义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册
学情分析：由于淄博市的特殊情况，虽然小学是五年制，但是几年前选用了六年制的数学课本，导致小学六年级的数学内容需要在初一年级（六年级）学习.本课之前，学生刚刚学习了圆的周长和面积公式，能求一些包含圆的简单组合图形的周长和面积.本节课是为练习求简单组合图形的面积而设计的.
调查和分析的方法：笔者用自己上课的班级的学生执教公开课，同时有专业教师进行课堂录像，课后笔者立刻结合课堂录像对教学过程进行回忆、记录、反思和总结，对学生作业进行批阅分析，以期归纳出关于学生获得数学活动经验的具体认识，同时，对后续的课堂教学进行内容调整.在分析方法上，采用夹叙夹议的方式，对课堂实录与课堂分析同步进行的方式进行.
（二）教学过程片段及分析
教师：上课.请看大屏幕，这个图见过吗？
生众：见过.
教师：画过吗？
生众：画过.
教师：那么，就在练习本上再画出这个图.
活动一：画四瓣花图案
学生在练习本上画图.
待大部分学生画出图后，教师在黑板上画图演示.
分析 画图的过程是对图形理解的过程.对于初一学生来说，画这个图是有相当难度的.由于没学尺规作图，所以要较准确地画出正方形，就只能借助于三角板上的直角和刻度，这对他们来说是一个挑战.另外，要画出这个图，还要确定图中圆弧的圆心，首先要求学生看出各个圆弧的圆心的位置——正方形各边的中点，还要能利用度量长度等方法相对准确地确定圆心，这也不是一个简单的任务.之前两天左右，本班学生曾在作业本上画过课本上的这个图形.由于当时作业本上学生画的图很不规范，教师曾在课堂上分析各图并演示图形的画法.今天的课堂上，由于是第二次画同一个图，在这个活动中，大部分学生获得了画此图的再认性经验，有些学生对此图的理解进一步提升，对图形的结构有了进一步认识，已经形成了一些认知性和技能性经验.图案本身能给人以美感，学生对这样一个画图任务是有兴趣的.大部分能在教师演示前顺利画出此图的同学还获得了一些成功感，而一些没有顺利画出此图的同学，尽管在教师演示后对图2有了进一步认识，但由于没顺利完成画图任务也会产生一定的挫败感.
活动二：设图2中正方形的边长为2，求四瓣花图案（即阴影部分）的面积
活动步骤：
学生自己尝试，教师巡视.
当老师发现大部分同学求出正确结果后，组织组内交流.
（1）一生上台讲解
思路：阴影部分的面积等于四个半圆的面积之和减去一个正方形的面积.
学生板书：
生众：掌声
教师：大家的掌声就是对你的肯定.
解题过程中能否不计算3.14÷2=1.57这一步？
生众：能.
教师：可以这样列式
=2π-4
=2×3.14-4=2.28.
教师：（面向全体）你听明白他的方法了吗？你能把他的讲解再说一遍吗？
（2）另一学生上台复述
教师点拨：我们重新用几何画板来看一下这个图案的一种产生方法，如图3.我们看出，四个半圆组成完整的一个正方形后，还多出了一部分，即重叠部分，而重叠部分恰好是四瓣花图案，因此，四瓣花图案的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积.
分析 学生能求出结果，并且能在公开课上流利地讲出来，说明学生对这种构图是理解的，这种理解源于两方面的经验：一是几天前教师在订正作业时对画图方法的讲解，二是源于本节课中活动一画图时对图2的理解.在活动二中，学生至少获得了这样一些经验：当一个图形不能直接求面积时，要考虑其构成，并用容易求面积的“标准图形”进行组合；用重叠法可以求部分图形的面积，或，部分图形是用基本图形“重叠”的方式构成的；求出面积时有种成功感，获得掌声或给人掌声时有种自豪感，也就是获得了体验性活动经验；小组讨论合作时获得了合作的经验；全班交流时，从别人的讲解或老师的演示讲解中获得了动手实验的替代性经验（因为并没有真正实际摆图）；当教师演示带π的算式获得了“运算过程中可以不把π算出来”的经验，这对学生后续学习用字母表示数是很宝贵的.同时，我们看到，学生经验的获得除了与探究的数学问题有关之外，还与教师及活动方式（独立探索、交流合作等）有关.
活动三：求一个花瓣的面积
教师：有没有其他方法求图2的面积呢？
教师：比如，先求出一个花瓣（如下页图4）的面积.
师：如果有了方法，可以举手.
几分钟过去了，学生虽然都在不断尝试，但都没人举手，老师巡视也没有发现有学生做出来.
师：我们曾学过对称，能否利用对称来解决此问题.
学生仍无积极反应.
师：看来，这个题太难了，我们减小一下难度.求图5中阴影部分的面积.
学生仍然感到困难.
过了一会儿，有个别学生求出.
教师面向全体学生语言提示：
图中有一个扇形，是圆面积的四分之一，有一个三角形，知道其底和高.
学生恍然大悟.
请你写一写.
学生大部分在练习本上演示书写，有少部分仍疑惑不解.
教师在黑板上板书讲解.
请大家把它整理一下，一定要在练习本上写出一个结果来.
同学们整理，教师巡视，发现大部分学生已经写出：
分析 学生对图4和图5感到陌生，是因为是第一次接触该图，没有单独画过这个图.本来，在求图1的面积时，很容易想到求出其一个花瓣的面积再乘以4，但实际教学中，学生并没有这样想，主要原因还是学生缺乏此类经验.学生在画图1时，对其结构进行了理解，但并没有讨其更小的部分（一个花瓣）进行探究.另外，就教师的提示——轴对称图形，由于有两条半径在图形中，学生也不容易由图4想到图5.最终问题解决并不是学生单独完成的，而是在教师的提示下完成的，这说明题目本身对刚入初中的学生来说难度过大，会严重影响学生对问题的解决，从而影响到其认知性经验和技能性经验的获得.当然获得的情感方面的体验也会不一样，比如本例中，学生可能会产生“数学真难”的畏难情绪.在本次活动中，有些学生在探究的过程中由于找不到方法而产生了焦虑，由于得到教师的提示又感到茅塞顿开，这些情绪体验也是学生获得的情感性数学活动经验之一.
教师：求出了图4中阴影部分的面积，图2中的阴影部分的面积就好求了，请大家利用图4中求得的结果，求出图2中四个花瓣的面积.
学生书写，一生板演：
教师：如果把四个图5凑到一起，就是昨天我们做的作业，如图6.
如果把图6分割成上下两部分，把这两部分交换一下位置，就得到图7，你能求出图7中阴影部分的面积吗？
生众：能.
学生在练习本上尝试.
生：图7的面积和图6一样，是一个圆的面积减去一个正方形或两个直角三角形的面积.
圆的面积是：3.14×1×1=3.14，正方形可看成两个三角形，其面积是：
×2×1×2=2.这样图7的面积就是3.14-2=1.14.
生众：掌声.
师：能否在此基础上求出图2中四瓣花的面积？
学生思考尝试.
大部分学生得出：图2中的阴影部分的面积是图7中面积的2倍，
所以图2中的阴影部分面积=2×（π-2）=2π-4=2.28.
分析 有了求图5面积的经验，求图6的面积学生感到轻松，求图6时，可以认为是求图5面积时获得经验的再生经验.有了活动三中图5变图4的经验，学生很容易识别图7和图2的关系，所以问题得以顺利解决.有了上述各个活动，学生对求图2的四瓣花图案的面积就有了多种方法，进一步感受和理解了解决数学问题方法的多样性，丰富和提升了求图2中四瓣花面积的经验.比如：至少学生在这里获得了“同一问题可以有不同的解题思路”的一题多解的策略性经验，和“可从不同侧面看同一问题”的观念性经验.
活动四：把图2进行拼接，得到下页图8，把图8中取出一部分得到图9.设圆的半径为1，求图9中阴影部分的面积.
由于时间关系，课上无法完成，布置为课后作业.
分析 当学生在看到教师利用几何画板现场拼图时，发出感叹，明显感受到学生的惊讶与激动，这说明，学生在这里获得了较为强烈的情感性经验：数学的形式美和理性美给他们留下了深刻的印象.图9重要的是：这种惊喜和强烈的兴趣所引起的探究冲动——情感性经验，是可观察的.
（三）结论及反思
（1）在日常的数学课堂教学活动中，初中生能获得丰富的数学活动经验；在具体的数学课堂中，初中生所获得的数学活动经验的一部分具体内容（如认知性经验、技能性经验、部分体验性经验）能够通过学生的动作、言行、表情反映出来.
（2）初中生参与的每个具体数学活动，都会从中产生具体的数学活动经验.如，学生参与了求四瓣花的面积的活动，就产生了求阴影部分面积的活动经验，这种经验包含多种成分：认知性成分——对图形结构、画法的认识；技能性成分—求阴影部分面积的多种方法；情感性成分——图案给人的美感，思考问题时的紧迫感，遇到困难时的焦虑感，求得结果时的满足感和成就感等；观念性成分—四瓣花图案是现实生活中常见的图案，数学研究的对象就来源于生活，研究结果又服务于日常生活.等等.
（3）数学活动经验是有层次的，是有连续性的.第一次画图时获得了对图形认识的原初经验，再次画图时产生了再认经验，再认经验导致了对图案结构的理解，而这种理解帮助学生利用第一种方法求出了四瓣花图案的面积.当多种方法尝试成功后，学生获得的对图案面积求法的经验得以提升形成概括性经验.经验的提升还促进和导致了技能（双基）的形成.
（4）数学活动经验是在数学活动中产生的，数学活动经验的获得受到问题本身的影响，也受到教师引导的影响，以及学生团体中其他个体的影响，也受到活动方式的影响.经验的获得与提升需要一些情境类似的适当重复的数学活动的支持.
（5）经验对解决问题并不都起正面作用，有时经验会导致解决问题时的负迁移.