附利率期权债券的定价分析，本文主要内容关键词为：期权论文,债券论文,利率论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、附利率期权债券的定性分析
国开行近期在银行间市场发行了附回售权的附息债券，该券的主要发行条款是：期限10年，2001年12月21日起息，2011年12月21日到期，固定票面利率3.0%，每年付息一次；在06年12月21日，即第5次付息日当日，持有人有权以面值100元将该券回售给发行人。
附持有人回售权的债券，在成熟市场是极为普遍的。但在国内市场，还极为罕见，至少在银行间债券市场是创新品种。值得一提的是，目前在交易所市场交易的可转换债券，虽亦附有回售权，但其为股票期权，与此例讨论之利率期权有重大区别，定价方法是截然不同的。由于投资者普遍对这一创新债券品种的定价方法还比较生疏，笔者认为对这一问题的讨论还是深有裨益。当然，笔者在此给出的结果只具有参考意义，因为期权合理价值确立的内在市场条件，诸如可以卖空、不存在无风险的套利机会等，国内市场还不具备。
依据期权术语，债券回售权即是债券看跌期权，因06年12月21日是唯一的行权日，因此该回售权是5年期欧式债券看跌期权。欧式看跌期权的损益状况，取决于行权日的债券价格与执行价格（100元）的比较。如果届时债券价格高于100元，则不行使回售权；反之，若债券价格低于100元，则行使回售权，获得盈利。
回售权的损益状况可用下图之粗体间隔线表示：
一个明显的事实是，5年后债券价格越低，则回售权的盈利越多；债券价格越高，回售权的盈利就越少，当债券价格高于100元后，则回售权虽没有盈利，但不会发生亏损。
但附有回售权债券的损益状况，却大相径庭。因为回售权带来的盈利恰好就是债券自身的亏损，两者完全抵消了；但债券的盈利却不会被相应抵消，因为回售权的盈利不会为负（不考虑期权费）。因此，附有回售权债券的盈利状况是恰好相反的：届时债券价格涨得越多，则盈利越多；债券价格越低，则盈利越少，当债券价格低于100元后，则虽没有盈利，但不会发生亏损。很明显，这是看涨期权的损益状况。因此，附有回售权债券实际上是复合成了一个欧式债券看涨期权。关于这一点，可图示如下：
其道理事实上很直观，附回售权债券的持有人总是希望债券价格上涨而非下跌。目前市场普遍预期利率在5年期内将趋升，债券价格下降态势明显。回售权（看跌期权）的价值虽很大，但附有回售权债券的价值却不大，这是因为看涨期权的价值相应较小。一个自然的结论是，附有回售权的债券票面利率应与普通债券的票面利率比较接近。事实上，市场上也基本认同这一结论。国开行同时发行的5年期普通附息券的招标利率是3.06%，而该附有5年期回售权的10年期债券利率为3%，两者仅有0.06%的差别。说明市场有非常明显的5年后利率将上扬的市场预期，附有回售权债券的价值不大，10年期债券被当作5年期债券来处理。
二、定价方法及测算结果
附回售权债券，可看作是纯债券与欧式债券看跌期权的复合体，其实际上相当于欧式债券看涨期权。因此，需要测算的其实是5年期执行价为100元的欧式债券看涨期权的价值。
1、B-S公式的近似处理及缺陷
欧式债券看涨期权价值也可用如下之Black-Scholes公式做近似测算。
B为债券现价，取100
T期权到期日，取5年
债券价格波动率，取5%
X为期权执行价，取100
R为T期间的无风险利率，取为2.25%。
由于债券在期权有效期间要支付利息（相当于股票支付现金红利），B-S公式就不能简单套用。一个近似的简化处理方式是，将期权有效期间内支付的利息都按无风险利率贴现为现值，将债券现价扣除所有利息现值总和之后，再作为参数B代入公式(1)。由此得到的结果是，看涨期权的价值为2.45元。
尽管波动率设定的很低，只有5%。但如此之高的期权价值与市场的普遍预期并不吻合。究其原因，是因为市场预期在期权期间内利率将上扬，由此债券价格将下降；而在前述B-S模型里，却是假设债券价格（上下文均指净价）有一个正值漂移率（期权价值测算的核心思想之一是“风险中性假定”。这是可用无风险收益率去贴现支付利息及代替债券价格漂移率的原因。），而这就隐含了利率趋降的假设。在预期利率下降的情形下，附回售权债券的价值较高就不足为奇。
不仅如此，运用前述B-S公式测算债券期权价值存在理论上的重要缺陷。债券价格行为并不等同于股票价格行为，不可能无限上下扩张，而是到期必收敛于面值。反映在最重要的参数——波动率（或标准差）上，即是股票的波动性随着考察期限的延长而增加，而债券价格的波动性是先上升而后下降。在期权有效期比债券存续期要短很多时，如债券是10年期而期权只有1年期时，假设债券价格波动率为常数的处理还不致发生大的偏差。但在本例债券中，在B-S公式中假设债券价格的波动率为常数，得到的数值结果难以令人信服。
债券二项树数值方法的基本原理及数值结果与B-S公式的并无本质不同，因此对其的应用也会面临上述问题。
2、基于利率期限结构的定价
把附回售权债券直接作为债券期权来处理是过于简单了，但更为合理的处理方式是将其看作是利率衍生产品。通过利率随机过程的描述和相应的收益率曲线（利率期限结构）构造，来测算对债券价格的影响以及债券期权的价值。
2.1 利率期限结构造的基本模型
构造收益率曲线的传统方式，一般是从对短期利率r的随机过程的假设开始。假设无风险短期利率r遵循如下随机过程（依然是在风险中性的假定下）：
dr=m(r)dt+s(r)dz
(2)
由此只要得出贴现债券价格，即可通过(4)得到期限为T的即期仅收益率R(T)，取遍不同的到期日T后，就可得到完整的利率期限结构和收益率曲线。
2.2 R-B过程及利率二项树方法
Rend 1 eman和Bartter在1980年对公式(1)中描述的r的随机过程，作了类似股票价格的简化处理，即令m(r)=Mr,s(r)=Sr，其中M和S均为常数，即有
dr=Mrdt+Srdz
这样r有固定漂移率M和固定的波动率S，并遵循对数正态分布。
本文应用R-B假设，构造出一个利率二项树，来描述利率的变动状况。在此基础上可推导出债券价格的变动状况，进而得出债券期权的价值。
构造利率二项树所需的参数是，利率每步长上升的概率p，上升的幅度u及下降的幅度d（显然u*d=1）。为保证测算精度，我们取二项树每步长为3个月（△t=0.25年），这样10年期内共有40步。
假设无风险利率年率为2.25%，其年波动率S为15%，年漂移率为10%。
可得到利率二项树在第I步第j节点的数值。利率二项树的前5步的数值结果如下图：
得到上述利率二项树之后，即可推导出相应的债券价格的二项树，具体的公式为
其中，C为利息，为计算方便，令其在每步（即每季）都有支付，每次3/4=0.75元；p为利率上升概率：P[,40,j]=100，即，债券价格在10年期末（第40步）等于100元。
不难注意到，这个债券价格二项树上每个节点的贴现利率都是来自利率二项树对应节点上的，这是其不同于一般的债券价价格二项树的关键所在。该债券价格二项树倒推回来的前4步（即第一年内）数值结果如下图
有了上述债券价格二项树，债券期权价值的测算就水到渠成了。因是欧式看涨期权，在5年末（第20步），债券期权f[,ij]值为，
f[,20,j]=MAX(P[,20,j]-X,0)
其中X为100.75元。在倒推其它节点的期权价值时，所用的贴现率也同样来自利率二项树对应节点上的数值。
要求的期权价值，即是倒推回来的第一个节点上的数值，为0.19元。这个结果与市场的普遍预期是比较接近的。
与前述B-S公式测算强果有很大不同的关键原因是，通过利率正值漂移率M的设定，该模型体现出了未来利率趋升的市场预期。但毕意还存在着不确定性（波动率S也不小），因此附回售权债券的期权价值虽小，但不致为零。
2.3 基于R-B过程的蒙特卡罗模拟
欧式期权价值往往可用蒙特卡罗模拟数值方法来测算，在R-B过程的假设下，我们可以模拟出5年期即期利率R及5年后5年期远期利率R[f]的变动情形。之所以要模拟5年期利率，是因为我们讨论的附回售权债券的行权日后还有5年存续期。是否行政，要取决于债券价格是否高于100元，而这与行权日时的5岁期利率R[f]是否低于票面利率3%是等价的。
与前途述参数假定相同，短期利率r的现值为2.25%，年漂移率M为10%，年波动率为15%，模拟期限为10年。为保证一定的计算精度，我们设计总步长为N=500点，△t=0.02年=7.3日。
下表是其中一条模拟路径前8步（前2个月）之数值结果。
步数 利率初始值 标准正态随机数利率变动△r/r△r
1 2.250 -0.231 -0.25% -0.006
2 2.244 -1.388 -2.74% -0.062
3 2.183 -0.704 -1.29% -0.028
4 2.155 2.630 5.78%0.125
5 2.279 -0.475 -0.81% -0.018
6 2.261 0.7341.76%
0.040
7 2.300-0.734
-3.87% -0.089
8 2.211-1.917
下图是完整经过了500步后，得到的一条利率变动模拟路径。
短期利率的一条模拟路径
通过上述过程可模拟出R[f]，进而可测算出当时的债券价格。如果R[f]模拟值为3.33%，则债券价格为98.48元，低于执行价100元，通过行使回售权，则持有人不发生损失；或者说看涨期权的盈利为零。反之，若届时F[f]模拟值为2.752%，则债券价格为10114，回售权作废，资者盈利1.14元，或者说看涨期权盈利1.14元。
通过大量次数的模拟，测算出每次模拟结果的期权盈利数额，并将其用每次对应的即期利率贴现为现值，所有这些盈利之现值的平均值即是所要求测算之期权价值。
通过500次模拟，笔者测算的看涨期权价值为0.29元。不难注意到这个结果与应用短期利率二项树得到的结果是基本一致的。其原因也在于模型体现了利率看涨的市场预期。
2.4 Vasicek过程及Jamshidian方法
R-B过程事实上是假设利率行为与股票价格行为相似，但正如债券价格有到期收敛于面值一样，利率也有向某个长期利率水平收敛的趋势。即是，当利率很高时，其应有个负值的漂移率；而当利率很低时，其往往有个正值的漂移率。这个现象被称之为均值回复。利率均值回复是符合经济学理论和现实的。
而R-B过程并没有考虑到这一点，例如利率二项树中，第10年的利率极端高值和极端低值竟分别为45.2%和0.11%。当然极端值对期权价值确定的影响是微乎其微的，但毕竟说明了R-B过程还是有理论上的缺陷。
Vasicek对公式(2)所描述的r随机过程，假设如下：m(r)=a(b-r),S(r)=σ，其中a,b,σ均为常数。即
dr=a(b-r)dt=σdz
(5)
这个模型事实上就考虑了均值回复问题：在利率r高于b时，漂移率就成为负值，利率将呈现向下趋势；而当利率r较小时，就有较高的正值漂移率，利率则趋升态势明显。因而利率可能无限上下扩张。
得到了P(t,T)，运用公式(4)即可得到即期利率R(t,T)，并通过变换T，可得到不同期限的即期利率，也就得出了收益率曲线。
假设r=2.25%,a=10%,b=10%,σ=1.5%（在R-B模型测算中，S取15%，但标准差实际为15%*r，因此这里1.5%的标准差并不为低）。
如当t=0,T=1年时，可得到B(0,1)=0.95,A(0,1)=1.00,p(0,1)=0.97，这样可解出1年期即期利率R(0,1)=2.62%。按每季度依次取值T，直到T=10年，可得到下图之收益率曲线。
Vasicek模型得出的收益率曲线
在Vasicek过程假设下，Jamshidian在1989年得出了贴现债券的期权价值的计算公式。假设面值为1元的贴现债券的到期日为s，在t时，基于该债券的于T时到期的欧式看涨期权价值c为
P(t,s)及P(t,T)为面值1元分别于s及T时到期的贴现债券在t时之价值。
在本例债券中，期权到期后还有5年存续期，且都有利息支付，并非是贴现债券，因此不能直接套用公式(6)。对于附息券，Jamshidian给出了如下处理方法。
假设债券期权到期后，债券在Si时提供的现金流为Ci，共n次，即有1≤j≤n,sj＞T先根据
不难看出，附息债券期权被看作是n个贴现债券期权的总和。
具体的参数有，r=2.25%,a=10%,b=10%,σ=1.5%,n=5,Ci=3(i＜5),C[,5]=103,s[,i]=5=i(1≤i≤5)。
可解出r[*]为1.182%，对应每次现金流的贴现债券期权的执行价分别为X[,σ]=2.952÷3=0.984,X[,7]=2.883÷3=0.961,X[,8]=2.795÷3=0.932,X[,9]=2.694÷3=0,X[,10]=88.675÷103=0.861。以第8年支付的3元利息为例，需测算的是基于8年期面值为3元的贴现债券的5年期看涨期权价值，其执行价为0.932元。根据贴现债券期权的计算公式(6)，可以得出该贴现债券的期权价值为0.005元。总计5个贴现债券期权价值之和，最后得到期权价值为0.26元。
这个结果与前述2个基于收益率曲线构造的测算结果相当接近。但我们注意到，该结果依据的收益率曲线与市场上目前观察到的收益率曲线有较大差别。市场收益率曲线在10年期以内区段都相当平坦，收益率基本上都在3%左右。
如果把前述的Vasicek模型参数改动如下：a=15%,b=5%,σ=1.5%，即可得到与目前市场收益率曲线相当接近的一个期限结构，如下图。
同样根据前述之Jamshidian方法，应用(6)、(7)等公式，可得出r[*]为2.195%，看涨期权价值为1.29元。
Vasicek模型得出的收益率曲线(2)
这个结果与第一种情形下的0.26元的结果有较大出入。这是因为在第二种情形下，利率向上的趋势相对较弱，债券价格高于100元的可能程度也就相对较强，因此看涨期权的价值相对就高。
值得关注的事实是，在第二种情形下，收益率曲线虽符合现状，但期权价值却与市场预期有较大差距；而第一种情形下的结果，和二项树及蒙特卡罗模拟的结果都非常接近，也符合市场共识，但收益率曲线却与现实有较大差距。原因何在呢？
本人认为这是明显的市场定价错误，市场虽有利率上升的强烈预期，但并没有在收益率曲线上体现出来，以致收益率曲线过于平坦。
三、结论
综合上述基于利率随机过程的测算结果，笔者认为附回售权债券较之普通债券至少有现值为0.20元的价值增加。这意味着该10年期附回售权债券利率相对普通债券应有0.02%的差距。
期权价值在很大程度上取决于波动率大小的选择，前述关于各种期限利率及债券价格的波动率的选择，只是一个大致的近似。下表提供了一组参考数据，其是三个在交易所上市的具有典型意义的10年期债券在第一年内债券（净值）和（到期）收益率的波动率统计数据。
696券 9704券9908券
平均
发行日
96-6-1497-9-599-9-23
债券9.8% 9.6% 2.2%
7.2%
收益率
17.6% 21.8% 8.0%
15.8%
不难注意到，(1)在不同时期内利率波动性的差别还比较明显；(2)波动性总体水平较高；(3)本文前述所选取的波动率数值是偏低的，因为长期债券收益率的波动性要比短期债券收益率的波动性明显要低。对于中长期利率之变动，笔者也特有利率趋升的观点，但同时认为，国内的利率走势的不确定性将会增大，而非降低。波动性增大，则意味着债券期权的价值不宜低估。因此，笔者认为本例之国开行附回售权债券有较高的投资价值。
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