数学解题中的优先策略,本文主要内容关键词为:策略论文,数学论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。
探索解题思路的过程有一种先后的顺序,这种顺序的确定将有利于我们更好更正确地解决问题。但数学问题千变万化,不是所有问题都有统一的顺序,不同的问题有不同的顺序,优先考虑哪些方面是我们在解题中必须关注的问题之一。下面我们从不同的内容来谈一谈它们的优先策略。
一、函数问题——优先定义域
定义域是函数中最简单、应用最广泛的概念,但它很容易被忽视。在讨论函数的性质、解方程与不等式时,我们要优先考虑定义域,首先使研究的问题有意义,在一定的范围内讨论、研究,这样既可避免错误,又能优化解题过程。
因此,函数的值域应该是[2,7]。
评注 在这个问题中,自变量的取值范围实际上是一个隐含条件,如果我们没有优先考虑函数的定义域,就很容易产生错误。
二、三角问题——优先角度
三角函数主要是研究角度的问题,在解决三角问题时,角的变换往往是纽带和关键,因此我们应该优先考虑角度的变换。由于角的变换,函数名称、次数及运算符号等也随之相继发生变化,所以首先关注角的变换。如果掌握了角的变换技巧,并在学习中自觉运用,对于正确解题就会产生较大的影响。
例2 若3tanα=2tan(α+β),求证:
sin(2α+β)=5sinβ。
分析1 围绕角2α+β的分解2α+β=(α+β)+α展开思考:
由条件有
3sinαcos(α+β)=2sin(α+β)cosα,
即 6sinαcos(α+β)=4sin(α+β)cosα,
从而sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=5[sin(α+β)·cosα-cos(α+β)sinα]=5sinβ。
分析2 证明过程中,紧紧围绕角2α+β展开思考,本题还可以这样考虑:
由条件有
3sinαcos(α+β)-2sin(α+β)cosα=0。
又sinαcos(α+β)-cosαsin(α+β)=-sinβ。
联立解得 sin(α+β)cosβ=3sinβ,①
cos(α+β)sinα=2sinβ, ②
①+②得sin(2α+β)=5sinβ。
分析3 由所求证中的角度2α+β、β与条件中的角度α、α+β之间的关系来考虑欲证
sin(2α+β)=5sinβ,
只要证sin[(α+β)+α]=5sin[(α+β)-α],
即证sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα],即3sinαgcos(α+β)=2sin(α+β)cosα。
由已知条件即得。
评注 在这个问题中,首先应考虑已知条件中的角度与所求证结论中的角度之间的关系,然后展开变换与证明。
三、直线和圆锥曲线问题——优先判别式
判别式对于解决有关“二次”问题是起决定性作用的,所以在求和“二次”有关的代数问题及解析几何中直线和圆锥曲线的关系问题时,我们应该优先考虑判别式。
例3 过点A(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点,且A是PQ的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
分析 学生往往会得到这样的错误解答:
当直线与x轴垂直时,显然不符合条件。
设直线方程为y=k(x-1)+1与双曲线方程联立消去y后得到
从而求得k=2,所求的直线方程为
y=2x-1。
事实上,当k=2时,方程①为的判别式Δ<0。
此时直线与双曲线没有交点,故直线不存在。
评注 在利用一元二次方程根与系数的关系讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,千万不能忘记判别式。
四、不等式问题——优先整体
有些数学问题,人们的思维若只是在某一个局部中周旋,往往使思维杂乱无章难以获解。这时我们可以优先考虑将局部拓展为整体,站在整体的高度来思考问题,进而获得恰当的解题方案。
例4 设n为大于1的正整数,证明:
评注 此问题充分体现了整体思考的必要性和优越性。
五、立体几何问题——优先图形
立体几何是图形的学问,所以图形是立体几何的核心,而核心的构成应该要有一些基本元素,在学习中这些基本元素应该是常见常新的经典图形,特殊简洁的反例图形,多方联系的组合图形,内容丰富的变化图形。对这些图形的理解和掌握,有利于培养学生的思维能力。
例5 如图1(下页),在四面体V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,平面VAB和平面VBC有何种关系?请说明理由。
分析 这是教科书上的一个问题。在学习了空间直线和平面的关系后,要解决这个问题是比较容易的,但仅仅是就题论题那实在是可惜。这个题目的图形有重要的利用价值,很多问题的解决都依赖于这个图形,而且图形本身也有许多重要的结论,在课本的例题和练习中有许多它的原形,值得我们好好研究和利用。本题由线面垂直关系可以得出VAB⊥VBC。
图1
图形特点:三棱锥V-ABC的4个面都是直角三角形。
图形变化:在下面的图形中,我们可以发现经典图形的影子:
图2
图3
图4
图5
图6
在图2中,PA⊥α,△ABO是α中的直角三角形,∠ABO=90°;
在图3中,AO是平面α内∠BAC的平分线,PO⊥α,OE⊥AB,OF⊥AC;
在图4中,∠DGH是二面角α-AB-β的平面角,H、D分别在α、β内,DH⊥α,C与G在AB上;
在图5中,AB是圆柱底面圆的直径,O是圆心,在图6中,O是圆锥的底面中心。
评注 掌握理解一些常见的图形及其变化,对于我们解决立体几何问题非常重要。
六、排列组合问题——优先分类
计数原理是解决排列组合问题的最基本方法,有些复杂的排列组合问题,首先确定分类,用分类的思想来考虑,可以使思路清晰,并且容易检查正误,分类方法的关键是掌握好分类的对象及标准。
例6 设某项工作,有4个岗位,恰组成先后四道工序。今从a、b、c、d、e、f六人中选出4人,完成这项工作,要求a、b一定在内且a在b的前面。问有多少种不同的安排方法?
分析1 按a、b之间有多少岗位来分类:
评注 分类方法是重要的数学思想方法,是一种典型的逻辑方法。一般使用分类方法的步骤是:首先确定讨论对象和确定研究的全部范围;其次进行科学的分类,注意标准的选定,做到不重不漏;最后得出分类的综合结果。