微元法在高中物理教学中的应用，本文主要内容关键词为：高中物理论文,教学中论文,微元法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
微元法是指人们在处理问题时，将其研究对象或物理过程分解为若干微小的“元对象”或“元过程”，由于每个“元对象”或“元过程”遵循相同的规律，所以只需分析某个“元对象”或“元过程”，然后再将“元对象”或“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题获解的科学思维方法。该方法是分析、解决物理问题中的常用方法，是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理问题转化为简单的物理问题，以便人们利用熟悉的物理概念、规律迅速地解决复杂的物理问题。
一、微元法在教材中的呈现
笔者认真研读了新课标教材（人教版），发现在必修1和必修2中，有14处体现了微元法，如下表所示。
二、利用微元法构建概念、建立规律
在新课标教材（人教版）中，利用微元法构建概念、建立规律。如必修1第一章第3节《运动快慢的描述——速度》中，在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+Δt这段时间间隔内，Δt越小，运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。如果Δt非常非常小，我们就把
称作物体在t时刻的瞬时速度。这里的“Δt非常非常Δt小”就是对时间微元的思想方法，正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。
又如必修1第二章第3节《匀变速直线运动位移时间关系》中，推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，在此间隔内，速度的变化亦就愈小，当分得足够细时，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一微元过程按匀速直线运动来处理。这样对物理过程微元后再累加就可以用速度图线与时间轴所围的面积表示匀变速直线运动的位移了。这种研究过程微元然后再累加的方法，体现了化匀变速直线运动为匀速直线运动的思想，是一种典型的化繁为简的方法。
再如必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力做的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。
以上四个实例中，前两个取的是“一小段时间”，即“时间元”；后两个取的是“一小段位移”，即“位移元”，这是中学物理中常用的两个微元。在机械运动中，瞬时速度概念的建立，是微元思想具体应用的典范。其实，像瞬时加速度、瞬时电流、瞬时感应电动势等物理概念的构建，都利用了微元思想，教科书中都未作深入的探讨，但教师如果能够将这些概念的建立与瞬时速度概念的建立进行类比，不仅能让学生加深对微元概念的理解，而且能为学生学习微元法提供机会。学生掌握了微元思想有助于对这些物理概念、规律的理解，有助于拓宽知识的深度和广度，同时开拓了解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次飞跃。
三、利用微元法处理物理问题
“微元法”作为高中物理的一个重要思想方法，在应用于处理物理问题时，其解题思路可概括为：①选取微元用以量化元研究对象或元研究过程；②视元研究对象或元研究过程为恒定，运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式；③在微元表达式的定义域内给以叠加演算，进而求得待求量。选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化或恒定不变的问题，再利用数学“微积分”知识，将平均变化或恒定不变的问题转化为瞬时变化问题，这样实现了化繁为简解决问题。
例1.（2011安徽理综卷）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图1所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度
抛出，如图2所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（）。
点评：此题是根据新课标必修2第21页内容改变的。一般曲线运动，轨迹各个位置的弯曲程度不同，在研究时可以把曲线分割成许多很短的小段（微元法），质点在每一小段的运动视为圆周运动，采用圆周运动的分析方法处理。此题考查的是一般曲线运动的处理方法（化曲线运动为圆周运动）和向心加速度等知识点。
例2.如图3所示，在半径为R的圆柱形容器中盛有高为H的水，当容器底部开一半径为r的小孔，孔上有塞子，问当把塞子拔掉时，最初水以多大的速率从孔中流出？
点评：对研究对象进行微元，化变力为恒力，列出微元方程，便迅速得出答案。
例3.如图4所示，某个力F作用于半径R的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F做的总功为多少？
解析：如图5所示。微分圆周为各小段的弧长Δs足够小（Δs→0），在这Δs内F的方向几乎与该小段的位移相同，则F做的总功为：
点评：通过对研究对象微元，“化曲为直”等效为将运动轨迹曲线的圆周拉成直线，力F所做的功相当于力与物体运动路程的乘积。
例4.如图6所示，质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆环做圆周运动，小车与圆环间的动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动至最高点的过程中摩擦力所做的功。
解析：小车的运动为圆周运动，小车对轨道的压力大小方向在不断地变化，所以轨道与小车间的摩擦力大小、方向也在不断地变化，现取两个对称的微元进行分析，如图7所示。
在A、B两点取两段无穷小的圆弧，摩擦力在A、B两点所做的功为：
小车由最低点运动至最高点的过程中，摩擦力所做的总功为：
点评：选取两个微元对称点，对两个微元对象列微元方程，然后累加求和，这较好地体现了利用微元法解题的思路和方法。利用“化曲为直”，将不能用W=Fscosα求功转化为能用，实现了“化否为能”。否则必须研究小车的牵引力，利用动能定理求解，但牵引力是未知的，而这对于本题是无效的。所以解题者善于迁移和转化，会收到事半功倍的效果。
例5.在光滑的直角坐标系xOy水平面的第一象限内分布有磁感应强度的大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场。在xOy平面内放置一单匝矩形导线框abcd，线框边长ab=L、ad=2L，电阻为R，质量为m。t=0时，cd边与Oy轴重合，线框以初速度沿x轴正方向进入磁场，不计空气阻力。
（1）求cd边刚进入磁场时，c、d间的电势差U；
（2）试讨论求线框最终速度大小及对应的初速度v0的范围；
（3）求线框进入磁场的过程中通过导线横截面的电荷量q大小。
点评：通过对时间微元，将变减速直线运动转化为匀变速直线运动，列出微元方程，进行积分求得结果。
由于高中数学知识上的局限性，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些物理问题，高中学生很难解决。所以，我们可以通过选取具有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部推广到整体。而这些选取的具有代表性的“元”，可以是一小段线段圆弧（线元）、一小部分质量（质量元）、一小段时间（时间元）或一小块面积（面积元）等等，它们均具有整体研究对象的基本特征。
实践证明，虽然高中生对微元法的学习感到困难，但利用“微元法”能够丰富学生处理问题的手段，培养学生的思维能力。只要我们利用好教材所提供的素材，在平时的教学中开展好学生的探究活动，特别是在高三复习中结合数学中导数和积分的知识，学会利用微元法来解决实际问题，这样学生会逐步学会利用物理科学方法分析解决问题、应用数学处理物理问题的能力。