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“教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’”.在课标教材实验过程中，许多教师觉得这个“度”不好把握.这主要是对课标教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”.课本，一科之本，课堂教学应“以课本为本”.因此，我们要彻底抛弃教材简单、不值得研究的错误认识，相反，要舍得在理解教材上下功夫，唯有如此，才能教给学生清楚、自然明了的数学知识.现结合自己的教学实践，以案例分析为“抓手”，谈谈自己理解教材的一些具体做法.
一、从新旧教材的“变化”中去理解教材
与老教材相比，新教材无论是在设计理念，还是内容编排、呈现方式、栏目设置上，都发生了显著的变化.而这些变化，恰恰是理解教材的切入点.在备课时，我们可详细罗列出发生这些变化的明细表，然后，围绕这些变化提出若干问题，再在问题的驱动下，去阅读《课标》及《课标解读》.接着，通过个人或备课组的研讨、辨析、反思，明白发生这些变化是基于怎样的设计理念，并以此为切入点，制定相应的教学对策，不断完善、丰富课堂的教学设计.总之，面对新教材的变化，我们应少一点抱怨、质疑，多一点思考与探索，在变化中提出“为什么”，再去寻求“是什么”，进而明确“干什么”.
案例1 两个计数问题的求解.
问题1 将甲、乙、丙、丁、戊五名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同分法的种数是多少？
存在问题：在学习方面，初次接触该问题，大部分学生会发生下列错解：就是先从5名学生中选出3人分给3个班级，每班1人（保证每个班至少分到一个学生），共有
种方法，再将剩余的2个学生分给3个班级，共有3×3=9种方法，故不同分法的种数是×9=540种.在教学方面，不少教师在讲解时，总会采用下列对策：先举出一个反例，说明这样做会出现方法数重复，然后，再强调此类问题的解决，一定要先分组、再分配，并从中归纳出一类“分组、分配问题”模型，要求学生记忆.
困惑：间隔一段时间后，学生重新解答该问题，不少学生依然会重复发生错解.
问题2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
存在问题：从高考阅卷反馈看，该考题得分率极低.而与考生交流发现，学生都能想到用分步乘法计数原理（以下简称原理）来解决，且上午的方法数容易确定，共有
=24种.问题出在确定下午的方法数，表现为一味地从上午安排的一般情形入手，来推测下午的方法数，由于限制条件的增加，导致很难看清，老是纠结于“不重复”该如何处理之中，最后，只好模糊地得出一个方法数了事.
困惑：在运用原理解决问题时，面对后一步的方法数较难确定时，学生为什么想不到有效的对策，而总是显得那么的无助与无奈.
反思：与大纲版相比，人教A版选修2-3第一章“计数原理”中，原理的编写发生了下列两个变化：一是只给出分两步的原理，至于3步及n步的情形，用探究的形式要求学生自己去发现、归纳；二是增添了原理中“完成一件事需要两个步骤”的一个“旁注”：无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取.或许是认为原理简单、学生易于接受的缘故吧，原理中的“旁注”并未引起教师足够的重视，不少教师喜欢匆匆归纳出原理后，便让学生投入到大量的练习与训练中，缺少了对“不影响”这一原理最本质条件的剖析，也没有告诉学生如何去识别“不影响”，使得它成了原理教学中不折不扣的一个“盲点”.而正由于这个“盲点”的存在，导致学生在运用原理解决上述案例中的两类问题时，经常不知所措或发生思维紊乱的现象.
诊断与对策：问题1中，正由于“盲点”的存在，导致学生误以为一件事只要是分先后完成，就是“分步”，就能用原理.而对分步必需是各步的方法数互不影响的判断，毫无“意识”，虽说教师举出了反例，才知道错了，但为何错却不甚了了，再次出错也就在所难免.那么，对一些较难看清步骤间的方法数有无影响的“分步”时，我们能不能找到衡量“不影响”的一个“标尺”，使得学生可识别与判断.答案是肯定的，就是将各步骤的方法串联在一起的方法是不是各不相同，若出现相同的方法，则说明步骤间的方法数是有影响的，即貌似“有序”中产生“无序”的结果，就不能运用原理.面对学生的错解，可反问学生：这样的“分步”能否保证前后的方法数互不影响？在学生交流、讨论的基础上，教师可让学生取一些前后步骤串联的方法，看看会出现什么结果.此时，学生会发现有相同的方法出现.教师追问：还能用原理吗？从而进一步说明原理中“分步”的本质.接着，教师再问：正确的分步是什么呢？学生会想到，应把人先分好，再分给班级，并形象地称先“打包”、再分配，从而保证前后的方法数互不影响.那么，把5个人打成3包，有多少种不同的方法呢？可打成3，1，1三包，有
=10种方法，或打成2，2，1三包，有
=15种方法，故不同的分法是（10+15）
=150种.问题2中，说到底，问题恰恰出在对原理的本质的认识.只有“不影响”的分步，才保证对前一步的每一种方法而言，后一步都取到相同的方法数，故最后完成一件事的方法数是各步的乘积.这就意味着，一旦碰到较难确定后一步的方法数时，我们不妨取出前一步的一种方法，并清楚地把它标记出来，这样，后一步方法数的确定就变得清晰而易于操作.为问题叙述的方便，记4位同学为甲、乙、丙、丁，“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”三个项目为①、②、③，“握力”、“台阶”为A，B.取上午的一种安排方法，如甲测①、乙测②、丙测③、丁测B，下面，就是按将4人安排到①、②、③、A四个项目，每项目1人，但甲、乙、丙3人的项目不能重复.若安排甲、乙、丙3人中的1人去测A，则丁必测①、②、③中的1个，剩下的2人就唯一确定了，共有3×3=9种方法，若甲、乙、丙3人仍测①、②、③三个，则有2种方法，而丁必测A，即下午共有11种方法，由原理知，总的测试方法共有×11=264种.
二、慎重看待“用教材教”
也许是新课改理念对传统的数学教学方式带来了极大的冲击，眼下，“不是‘教教材’，而是‘用教材教’”成为很流行的一句话.然而，如何真正领悟与把握“用教材教”的内涵，却值得我们深思.笔者认为，下列两点是“用教材教”的原则与准绳，任何时候都不得偏离：一是教材决定了“教什么”，这是任何人不能违背和割裂的，任何脱离教材的教学行为只会造成教学目标的失控，教学效率的低下甚至无效.因此，认真钻研教材，准确领会教材的编写意图，弄清需达成的教学目标，是“用教材教”的前提和保证，是需要花大力气进行研究的，毕竟“教什么永远比怎么教重要”；二是“创造性地使用教材”时，一定要想清楚理由（章建跃博士语）.意思是说，在明确“教什么”的前提下，可结合自己学生的特点，就“怎么教”对教材进行适度的开发和“再加工”，但开发和“再加工”一定要慎重，要有充分的理由“劝说”自己是“为什么”.
案例2 线面垂直性质定理的教学.
人教A版必修2“立体几何初步”的学习，涉及4个性质定理的证明，其中，尤以线面垂直性质定理的证明为最难（以下简称定理），与此相反的是，无论是借实物验证，还是从长方体中直观感知，定理的结论却特别容易接受与理解.于是，在实际教学中，有教师采取了下列对策：通过“直观感知、操作确认”来得到定理而不加证明，那么，这种做法是否妥当呢？
反思：要回答上述问题，有必要先弄清：新旧教材对定理的证明究竟发生了什么变化？而这些变化又基于什么原因？只有这样，才能找到问题的答案.说到定理的证明，需要提及垂线的唯一性性质（以下简称性质）：过空间任意一点，有且只有一条直线和已知平面垂直.大纲版对定理的证明，是先直接给出性质（不加证明），再依据性质，用反证法证明：如图1，假定b不平行于a.设b∩α=O，b’是经过点O与直线a平行的直线.因为a//b’，a⊥α，所以b’⊥α，即经过同一点O的两条直线b、b’都垂直于平面α，而这是不可能的.因此，b//a.
课标版教材则直接给出证明：如下页图2，假定b与a不平行，且b∩α=O，b’是经过点O与直线a平行的直线.直线b与b’确定平面β，设α∩β=c，则O∈c.
因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b’//a，所以b’⊥c.这样在平面β内，经过直线上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能.因此b//a.接着，在教材第72页出现这样一句话：“我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直.”
从课标版对定理的证明过程不难看出：证明了定理也就证明了性质，因此，教材采用“留白”的方式——“我们知道，……”让学生自己去独立思考，发现性质.而大纲版由性质来论证定理，虽降低了证明的难度，但从知识的发生过程来看，由于对性质不加证明，不得不说是个缺憾，也有失严谨.由此可见，课标版中对定理与性质的处理，呈现以下几个特点：①完善大纲版教材编写时的缺陷，即对性质未加证明，从而使教材编写更加规范与科学，并与立体几何初步中“对性质定理都加以逻辑证明”的处理保持一致；②通过留白“我们知道……”让学生发现性质，可谓是新教材编写的一个“亮点”，教材中对公理2的三个推论也是用同样的方式处理的，目的是既减轻学生记忆过多性质的负担，又给学生独立探索、思考留下了一定的空间；③教材中多次用“旁注”的形式，强调空间问题平面化这一核心的思想方法，定理的证明再次印证了它的重要性.如此看来，定理必须证！
一点感悟：有些教师为什么会有定理可以不证的想法呢？究其原因有二：一是对立体几何初步中，通过“直观感知、操作确认”来得出判定定理的设计理念，存在不恰当的理解，以致产生性质定理也可以同样处理的曲解；二是认为在选修1和选修2中，还要专门学习反证法，这里就不用讲了.对此，笔者谈谈自己的两个认识.
（1）新课程中的立体几何的结构体系有了重大改革，目的是：适当减轻几何论证的难度，降低立体几何学习入门的门槛，提高学生学习立体几何的兴趣.但如果因这个变化，就认为《课标》降低了对推理论证的要求，是不够全面的，定理证明的变化可验证这一点.只是与旧教材相比，《课标》对推理论证的要求不是一步到位，而是分阶段、分层次、多角度的.另外，在立体几何初步中，由“直观感知、操作确认”来获取相关的判定定理，虽不要求证明，但也不能仅停留在观察、实验操作等层面上，其间应加大“说理”的成分，让学生更信服.若有学生表现出想“证明”的热情与欲望，教师更应保护与支持，并进行必要的说明与引导.
（2）从《课标》对反证法的要求来看，要让绝大部分学生掌握它，似乎并不现实.但可以做的是：在不刻意追求形式化论证的基础上，突出让学生理解反证法的思维方式，即蕴含其中的“说理”思想，这对学生理性思维的培养是有帮助且必需的.因此，在立体几何初步的教学中，应不失时机地向学生渗透反证法的思想方法.如可引导学生由定理来证明性质：假定过点P有两条直线与平面垂直，则两直线平行，这是不可能的.再如教材第73页练习第1题中需判断命题：如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.虽然说学生从直观能迅速判断是真命题，但如果配之以下面的说理，无疑能更好地理解命题：假定平面内存在一条直线垂直于平面，则两个平面垂直，这是不可能的.
三、从学生的视角去理解教材
作为学习主体的学生，他们同样拥有理解教材的发言权.而教师要做的是，学会倾听和善于捕捉来自学生的信息，再通过积极的反思去理解教材.
案例3 人教A版选修2-1第三章3.2节“立体几何中的向量方法”中一个例题的教学.
教师讲解例4：如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA//平面EDB；第（2）、（3）略.
课本对第（1）问提供了下列证法.
教师按上述证法讲解时，学生中发出了一阵嬉笑声，追问何故？竟异口同声说：“多此一举！”理由是：既然在平面EDB内作出了直线EG，且在△PAC中，由中位线性质易得PA//EG，可直接推证线面平行，何必再用向量！
反思：面对学生对课本证法的质疑和对证法的再探究，笔者觉得有必要对例题的证法及问题的设置提出下列修改建议：第（1）问宜直接呈现上述的证法1，为学生提供利用空间向量，特别是借助平面的法向量，证诸如线面平行、面面平行（包括垂直）的范例，以弥补教材（104页）虽给出了用法向量判定线面位置关系的结论，而无相应配套例题的缺陷，从而确保教材的可读性和工具、示范作用.同时，宜用旁白的形式给出思考题：你还有其他用空间向量证线面平行的方法吗？你能用综合法证明吗？然而，章建跃博士指出：“提议用旁白形式提醒学生用综合法证明.这种表现很有代表性.事实上，很多老师由于对立体几何课程改革的敏感性不够，导致对向量法的使用举棋不定，有的甚至认为中学应取消向量法.”并进一步指出：“高中几何应以向量几何为主，综合法应在初中平面几何中得到更好的训练.目前的问题是大家对向量法的优美和力量注意不够，需要我们加强研究，改变习惯思维和做法，使向量几何真正融入高中数学，成为主角.”由此看来，站在学生的视角，在专家的引领下，我们才能更好地去理解教材，并且促进自己的专业成长.
宋朝著名理学家朱熹说过：“观书，先须熟读，使其言皆出于吾之口；继而精思，使其意若出于吾之心；然后有所得耳.”因此，钻研理解教材是每一个教师走入课堂必备的“前奏曲”，是提高课堂质量的“催化剂”.尤其在新课程实施的今天，每一个数学教师更应该通过钻研、理解教材，进而理解新课程，更新理念，变换思维，杜绝经验型、片面型、陈旧型的教学心理的蔓延，努力提高课堂效益.
总之，提高对教材的研究水平，是教师做好教学工作的基本前提，也是教师专业成长的必由之路.钻研教材，就是要先“入”教材，再“出”教材.没有对教材的“深入”，也就没有对教材的“浅出”，更没有对教材的“超越”.教师把教材钻研得深，悟出来的道理就透彻，对教材就能正确理解、准确把握.教材对教学的影响，不是“束缚”，而是“引领”；不是“可有可无”，而是“必不可少”.
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