《探索勾股定理》的教学设计，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,教学设计论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教学分析
（一）教材地位
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理不仅是进一步认识和理解直角三角形（边与角的关系）的需要，而且还是一般三角形的余弦定理和平面解析几何中的两点之间距离公式等必要的基础，同时也是下一章（实数）的内在需要，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性和连续性。
让学生经历勾股定理的探究过程，能进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力和分析问题、解决问题的能力，也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（即数形结合的思想），同时感受到勾股定理的文化价值。
（二）教学目标
知识与技能：了解勾股定理的内容、适用条件以及勾股定理的一些时代背景，初步学会勾股定理的简单应用。
过程与方法：经历勾股定理的探究过程，发展合情推理能力，沟通数学知识间的内在联系，体会数形结合的思想；掌握勾股定理，理解利用拼图、方格纸计算面积的方法，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
情感、态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，并增强学生的爱国热情；在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教学重点：利用面积法和拼图法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理，同时使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
教学难点：计算以斜边为边长的大正方形面积及割补思想的理解与应用。
学情分析
学生在七年级下册《三角形》一章中，已结合丰富的实例认识了直角三角形，并能通过测量、拼图、折纸等方式验证其两锐角互余的特性，通过尺规作图等操作探索出直角三角形与众不同的证明全等的方法。在经历了探索图形性质的操作活动后，初步获得了数学活动经验和体验，学生推理意识的树立以及推理经验的积累都为本节的学习打下了基础。
教学过程
（一）设置情境，提出问题
【师】如果一个三角形的两条边分别长6和8，你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？
如果又已知这两边的夹角，那么第三边的长是多少？如果夹角是直角，如何求第三边的长呢？
【设计意图】本节课的引入选择了从数学问题出发，揭示这节课产生的根源，将学生的原有认知作为新知的生长点，让学生体会到当一般性的问题不好解决时，可以先从特殊情况来研究，这样符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的课题：探索直角三角形三边的数量关系。
（二）合作交流，实验探究
1.旧知引出探索方向
【师】我们曾经利用图形面积探索过哪些计算公式或运算法则？师生讨论并展示利用面积计算单项式、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式的课件。
今天我们尝试通过计算图形面积，看能不能得到直角三角形三边数量关系。
【设计意图】当教师用一种完美的方法解决数学问题的时候，学生好奇的不仅是解决问题的方法，更加关心的是教师是怎么想到这种方法的。本节课如何想到通过计算面积探究直角三角形三边关系的呢？从数学的发展史来看，古人言面积就是线段之积，要探求边长之间的关系不正可以转化为探求面积间的关系吗？从学习经验来看，我们曾经利用面积关系来探求数式规律，这样，学生就觉得解决今天问题的方法并不陌生，自然产生探索问题的欲望和信心。
2.同桌合作，完成拼图活动
【师】如图1，△ABC是等腰直角三角形，分别以两直角边和斜边为边长向外做正方形，你能通过剪拼的方法得到三个正方形的面积有怎样的关系吗？（展示课件，图2是一种剪拼方法，学生可能还有其他方法。）
图1
图2
【设计意图】通过剪纸、拼图活动，让学生从感性上认识、猜想三个正方形面积之间的关系，增加了学生探究的趣味性，锻炼了学生的空间思维能力和动手操作能力，也为后面定理的证明奠定了基础，体现了学生的数学合作活动，同时也为学生在方格纸上利用“割”“补”的方法计算正方形面积作铺垫。
3.剪拼活动，推理演算，证实猜想
【师】为了方便计算，将上图的等腰直角三角形放在方格纸中（图3），请计算此时三个正方形的面积。（注：直角三角形边长正好是小方格边长的整数倍）
图3
[设计意图]这是一个由猜想到验证的过程。学生会通过数图形中小方格的个数，或者通过正方形面积公式计算得到
和
。学生也会很容易从拼图活动中受到启发，用连接对角线的方法求
，学生也可能提出“补”的方法。通过计算，学生得到
。
4.引申活动，扩展思路
【师】这种面积间的关系仅存在于等腰直角三角形中吗？在方格纸上计算以直角边分别为3和4的直角三角形三边向外作的三个正方形的面积。
教师在肯定学生研究成果的同时，进而引导学生总结：把图形进行“割”和“补”，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会化归的思想。
【设计意图】此时以斜边为边长的正方形面积求法是本节课的难点所在。难点处正是学生互相学习、充分交流思维的好时机，在此要给学生充分自主探索的时间与空间，学生思维的闪光点也正是在这种讨论的过程中被发现的。预设：学生将展示割（图4）、补（图5）、平移（图6）、旋转（图7）四种方法。旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况，况且学生还不会计算斜边长，没有一般性，若有学生提出，应给学生以解释。如时间允许，可提供再一次练习以其他直角三角形为例的机会，让学生体验成功的乐趣。此活动要给学生充分的时间。
图6
图7
5.引导总结，得出结论
【师】引以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以其斜边为边长的正方形的面积。
【师】这节课是探索直角三角形三边数量关系。你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？
【设计意图】这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结、交流、表达。最后，共同得出勾股定理的内容。
（三）交流讨论，得出结论
1.展示定理，得出结论
教师用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，板书勾股定理，进而给出字母表达式。
一段紧张的探索过程之后，播放一段有关勾股定理历史的资料。
勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b、c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么
。
【设计意图】这样既活跃了课堂气氛，又展现了勾股定理的历史，激发学生热爱祖国悠久历史文化，激励学生发奋学习的情感。
2.阅读课本，提出问题
勾股定理如何应用？还有怎样的证明？能解决哪些实际问题？等等。
【设计意图】让学生将知识内化为自己知识结构的过程，对有困难的学生给予帮助，实现面向全体的教学原则。
（四）实践应用，练习反馈
1.练一练
课本第5页随堂练习1、2；第6页知识技能1。
【设计意图】充分利用课本，在前面阅读的基础上做课本上二的练习题。让学生知道：已知直角三角形三边中的任意两边，可以求出第三边，同时学会运用勾股定理解题的书写格式。
2.算一算：一块长80步、宽60步的长方形草坪，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条“捷径”。请问同学们：
(1)走“捷径”的客观原因是什么？为什么？
(2)“捷径”比正路近多少？
【设计意图】这是一道贴近学生现实生活的实例，体会勾股定理在实际生活中的应用。
（五）深入反思，课堂小结
【师】通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续探索的问题？
【设计意图】学生总结本堂课的收获时，要给学生自由的空间，鼓励学生多说。如果学生没有提出继续要探讨的问题，教师可以引导学生思考：直角三角形的三边有特殊的等量关系，一般三角形三边是否也存在一种等量关系呢？再展示上课开始的问题：如果一个三角形的两条边分别长6和8，这两边的夹角为任一角度，你知道第三边的长是多少吗？这是我们今后将要探讨的内容，首尾呼应，使学生不满足于现状，有不断提出新问题的欲望，培养学生的创新意识。
（六）巩固加深，布置作业
1.巩固型作业：课本
第1、2、3、4题。
2.探究型作业：相传两千多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。同学们，请你观察右图中的地面，看看能发现些什么？
3.拓展型作业：上网查找有关勾股定理的内容，请你结合本节课的学习和从网上或书本上自学到的知识写一篇有关勾股定理的小论文，题目自定，一周后交给课代表并展示交流。
【设计意图】作业的多元化、多层次，有利于全体学生的全面素质发展，有助于因材施教，使不同的学生得到不同的发展。
板书设计
【点评】
理念决定设计，本节课的设计体现了由重知识传授向重亲身体验、重实践探索方向的转变，在设计思想上，许青春老师不是让学生就范于自己设计的教学环节与步骤，而是顺应于学生学的进度与情势，依托于知识生成的规律，以学定教，教为学服务。本节课的设计体现出如下四个特点：
1.朴实的引入，数学的内在需要
教师在教学中以学生已知的知识即利用图形的面积解释公式的几何表示作为着眼点，把直角三角形三边的数量关系作为探究的重点，积极调动学生的认知准备；使学生建立新知与原有知识之间的有效、实质性的联系，使学生感受到新的知识是在旧知识的基础上建立起来的，它们之间有着密切的联系，是相统一的；使学生在体验和联系中思考，恰当寻求解决直角三角形三边的数量关系的角度和方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2.知识的形成，数学思想的渗透
本节教学过程，让学生经历知识的发生和发展过程，让学生体会观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，从而更好地理解勾股定理、应用勾股定理，发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。
探索定理采用了面积法，引导学生通过实验由特殊到一般地对直角三角形的三边关系进行研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学，让学生初步掌握这种方法，对学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。
3.合作与交流，有效的学习策略
本节课努力为学生提供充分的数学活动机会，让学生在自主探究与合作交流的过程中，去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。
4.多媒体辅助，作业的分层布置
本节课的教学设计中恰当地运用了现代信息技术，以直观形象的呈现方式，激发了学生的学习兴趣，有效地帮助学生掌握和理解了数学知识。同时，作业的分层布置使不同的学生得到不同的发展，实现了因材施教的目的。
总之，本节课对新课堂的丰富内涵进行了积极的探索和尝试，着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是思维发展的阵地，是学生发现、创造、展示自我的舞台！
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