从2005年高考看“导数究竟考什么”，本文主要内容关键词为：导数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
众所周知，导数是现行高中数学教材增加的内容，由于它与高等数学相衔接，为研究函数问题开辟了一条新的途径，同时和函数、不等式、向量、解析几何等内容相互交汇渗透，拓宽了高考对数学问题的命题空间，因而利用导数解决函数问题已成为高考命题的一个热点。从2005年数学高考全国各地的试题来看，导数题的题量基本稳定在一个选择题和一个解答题，分值约占17分。导数题题型主要有以下几个特点：(1)内容新：考查知识新，为新教材新增内容，且比重较大。(2)观点高：站在高等数学的高度命制高考题，用导数的观点审视分析、运用求导数的方法来解决一些与函数单调性有关的问题（如证明单调性、确定单调区间、求最值、证明不等式），以及研究求曲线的切线方程等，与传统的常规方法相比，简捷明快，具有明显优势。(3)应用性强：不仅考查导数知识，还加强了导数的实际应用，体现了新课程中利用数学知识解决实际问题的教育目标。(4)综合性强：不仅单个考查导数知识，还加强了与其它知识的联系，体现了在知识交汇点命题的原则。那么，从2005年数学高考看“导数究竟考什么？”本文采撷几个2005年数学高考卷中的解答题加以例说，供读者参考。
一、考利用求函数的解析式
例1 （福建卷）已知函数
的图像在点M(-1,f(x))处的切线方程为x+2y+5=0。（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间。
解 由函数f(x)的图像在点M(-1,f(-1))处的切线的方程为x+2y+5=0，知-1+2f(-1)+5=0，即
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评注 这类问题在高考中属中档题，对于第(1)小题，考生只要根据题设列出方程组并解之就可获解；对于第(2)小题，考生可依据导数的正负来求出函数的单调区间，这是导数的基本应用，要求考生必须掌握。
二、考利用导数研究函数的性态
例2 （北京卷）已知函数
。（Ⅰ）求f(x)的单调递减区间；（Ⅱ）若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
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评注 函数的性态包括函数的单调性、函数的极值点和函数的最值情况等，利用导数研究函数的性态是导数最重要也是最广泛的应用，同时它是初等数学与高等数学的衔接点，因而受到命题者的特别青睐，应引起考生们的足够重视。
三、考利用导数解决实际应用问题
例4 （全国卷Ⅲ）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图1），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
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图1
解 设容器的高为x，容器的体积为V，则
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所以，当x=10,V有极大值V(10)=1960
又V(0)=0,V(24)=0，所以当x=10,V有最大值V(10)=1960。
例5 （辽宁卷）如图2，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0。（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
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图2
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评注 建立函数模型并求其最值，是高考应用题的“常客”，这类问题有两个关键点：首先要根据题设建立函数关系，其次是求函数的最值。求函数的最值是高考的一个难点与重点，方法灵活多样，利用导数求最值，无疑为考生开辟了一条“绿色通道”，使考生少走弯路。
四、考利用导数解决有关向量问题
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若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f′(x)≥0。
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)=t-1≥0，且f′(-1)=t-5≥0时，
f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0，即f(x)在(-1,1)上是增函数。
故t的取值范围是t≥5
评注 本题中的向量只是一个载体，借助向量的知识考查了导数与函数单调性的关系，充分体现了学科内综合的命题原则，是一类容易得分的中档题。
五、考利用导数解决与解析几何有关的问题
例7 （广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图3所示）。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值。
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图3
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因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h′(x)＜0有解。
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评注 在解析几何中一般有两类问题可考虑用导数解决，一类是解析几何背景下的函数最值问题（如例7），这里的导数起到的仍是“工具”作用。另一类是曲线的切线问题（如例8），利用导数的几何意义来解这类问题往往起到事半功倍的效果，充分体现了导数的优越性。
六、考导数的综合应用
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评注 以上两例都是高考卷中压轴题，考查了考生的综合能力。例9属于函数类求解题，既着重考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，又考查了极限思想、分类讨论思想和等价转化思想等数学思想，而在整个解答过程中，导数起了“定海神针”的作用；例10是个函数类证明题，它巧妙的将函数、三角和数列有机地结合在一起，是一道考查考生综合素质的好题，如何找极值点是解决本题的关键，而利用导数是一种找极值点最行之有效的方法，因此本题归根到底是考查了导数的灵活应用。从以上两例不难看出，利用导数求解函数类压轴题，是一种通法，考生们务必掌握。