谈心智图像在小学数学理解中的作用，本文主要内容关键词为：小学数学论文,图像论文,作用论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
借助具体的心智图像增进对抽象数学知识的理解，在数学学习中比较普遍。小学数学中的心智图像有自己的特点，教学中教师应注意选择使用适度概括水平的心智图像，注意使学生形成正确的能够反映数学本质的心智图像，注意借助典型范例构筑心智图像。
记得中学学习“函数”概念时，很难理解其真义，老师便用“加工机”来比喻函数，并在黑板上画出了一个模型，农村出身的我立刻想到了很熟悉的面粉加工机：从一端送入小麦，从另一端便出来麦粉，如果输入的是大豆，另一端便输出豆面。老师说，“函数”就是这样一个加工机，不过一般情况下，输入的是“数”，输出的也是“数”。借此我理解了函数的概念。另一例子是学习数学归纳法时，总不理解为什么证明了两步之后，就说命题对任意的自然数都成立，老师便演示“推倒多米诺骨牌”来类比数学归纳法的原理，使我恍然大悟。回想起来，非常佩服老师的教学艺术。像这种借助学习者熟悉的具体形象，来理解抽象的数学知识，在数学学习过程中是十分普遍的，这些在头脑中出现的形象被称为“心智图像”。即使在抽象程度不高的小学数学中，“心智图像”对数学理解和数学问题解决也发挥着重要的作用。
一、心智图像概述
虽然关于心智图像的研究屡见不鲜，但对什么是心智图像，迄今并无严格的定义。认知心理学中的“图式”可视为其上位概念。皮亚杰将“图式”定义为“动物的结构和组织”，并引入“同化”和“顺应”来说明认知的发展。可见，“图式”指一个结构，并且“每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的（或较复杂的）结构”（皮亚杰）（注：王兄，庞国萍.图式理论及其教学意义.玉林师范学院学报（哲学社会科学版），2004.2）“心智图像”就是一种被学习者理解了的“图式”，具有一定的概括性，表现为图形或表象的特点，对学习者来说是直观、具体、生动、亲切的。当学习者面临新知识时；往往把“心智图像”作为一个带有“槽道”的框架，将新知识填充到框架的槽道中，从而实现知识的同化。而当新知识与“槽道”之间不能建立有效的联结，就意味着这个图式必须被重构，也就产生顺应。可以看出，作为一种特殊图式的心智图像不是一成不变的，在“形成”之后，还要不断被“润色”。
在数学教育领域，与“心智图像”含义接近的词也不少见。如数学教育心理学家斯坎普（Skemp）的“心灵映象”，数学哲学家笛卡尔的“心理意象”等。许多数学家善于借助心智图像解决问题，比如波利亚的几何图示法就是构建心智图像。另一个广为流传的例子是数学家阿达玛（Hadamard）在讨论“存在无穷个素数”这一算术基本定理时，依次列出了他在“读到这个证明的每一步时的心智图像”（注：宁连华，陈嫣.心智图像对问题解决的认知功能探析.中学数学杂志，2002.3）。由于数学的高度抽象性，学生学习过程中，已有的心智图像作为“思维中的具体”，对正在进行的数学理解发挥着不可忽视的作用。在借助心智图像理解数学知识这一点上，数学家与小学生并无两样。
二、小学数学学习中的心智图像特点
小学数学教学中，由于小学生的思维是以具体形象思维为主，生活经验比较缺乏，因而学生达到数学理解所依赖的心智图像，与学生的现实生活联系密切。具体地说，小学生的心智图像表现出如下一些特点：
1.由实物表象为主逐渐过渡到图形符号为主。低年级数学概念的获得往往借助实物，由实物表象概括出抽象的概念。如看到“3”，小学生就会和3个苹果、3个梨、3个小朋友等联系在一起。随着年级的升高，对数学知识的理解可以脱离实物，借助图形和符号进行，如可以用线段图表示数量关系，看到“长方形”想到的不再是“黑板面”，而是图形“
”。总体说来，小学生心智图像的概括水平和迁移能力比较低。
2.由自我为主逐渐向以周围事物为主过渡。低年级小学生对数学的理解，往往以自我为中心，在狭小的现实生活圈内，采集熟悉的场景和事物作为心智图像。因此，教师的举例和情景创设，应与小学生的个人生活紧密相连。比如新教材中“统计”一课，就以班上学生“蛀牙”的颗数为统计对象。随着自我意识的觉醒和视野的开阔，开始突破自我为中心，能够领会他人的感受，对事物做出移情性理解。
3.由以外部肢体操作为主逐渐向内部心智操作为主过渡。心智图像既有静态的，像反映内容之间联系的图表；也有动态的，像在头脑中放电影一样，反映一种变化过程。低年级小学生若要形成一种程序式的动态图像，往往需借助自己肢体动作。从这个角度，对新课程强调动手操作是小学数学学习的一种重要方式，就有了新的理解。当学生年龄增长，这种外部肢体操作，就逐渐过渡到内部心智操作。
三、利用心智图像使学生获得数学理解应注意的几个问题
1.注意使用适度概括水平的心智图像
凡心智图像，肯定具有一定的概括性。其概括水平有高低之分，由此也就有不同的迁移能力。数学学习中，并非概括水平越高的心智图像越有利于数学理解。在不同的阶段，应采用相应水平的心智图像。比如，上文所述的“推导多米诺骨牌”，它是理解第一类数学归纳法的有效的心智图像，但却不能迁移到“第二数学归纳法”中。
再以“鸡兔同笼”问题为例，教学时通常是采用假设法，“假如鸡有四条腿，那么……”或“假如兔子有两条腿，那么……”，都试图给学生一个心智图像，使学生方便地找到解决问题的路径。但是小学生对此却难以理解。为什么呢？因为这种心智图像对小学生而言不够具体生动。与此相对照的是，有位教师这样教，“如果把鸡的翅膀也看作腿，那么鸡共有多少条腿？”“如果让兔子起立，那么兔子还有几条腿在地上？”这时，“把鸡的翅膀看作腿”或“让兔子起立”，就能使学生产生鲜明生动的心智图像，有助于问题的理解和解决。但是，当学生遇到其他的“鸡兔同笼”类问题时，后者给学生的心智图像显然不再能发挥作用，而前者假设法“假如……”带给学生的心智图像却能够发挥作用。可见，在不同的认知阶段，考虑问题所依赖的心智图像是不同的，教学中构筑适当的心智图像并随着学习的深入，及时调整完善学生已有的心智图像是非常必要的。正如上例，学生初次接触鸡兔同笼问题，可以采取第二种心智图像，一旦学生有了进一步的理解之后，就应及时调整并将“假设法”介绍给学生，而不能仅停留在“把翅膀看作腿”的通俗理解上。
2.注意使学生形成正确的心智图像
教师试图通过心智图像使学生达到理解数学的目的，那么引导建构的心智图像必须能够反映数学本质。下面的例子说明，不当的甚至是错误的心智图像将带给学生错误的理解。
在学完“分数的初步认识”之后，紧跟着一节课是“简单分数的加法”。一位教师让学生计算“1/2+1/2=”，大部分学生结果是1，惟有一个学生结果是2/4。教师感到非常恼火，又将分数如何运算讲了一遍，可是这位学生也十分固执地认为他做得对。看到学生执拗的态度，下课后，听课的老师和这位学生交谈，问他是怎样想的。没想到这位学生振振有词，在纸上边画边说：“上节课老师说过，1/2表示把一个‘饼’平均分成两份，画成图就是
。1/2+1/2就是这样的两块‘饼’相加，不就是2/4吗？”。他画出的实际上是他借以理解分数加法的心智图像，如下图1。
附图
初看他画的图，听课的教师也觉有道理。那么，问题出在哪里呢？笔者以为，正是因为不当的心智图像造成了理解上的错误。课本上出现的，以及教师课堂上反复强调的，就是“1/2”与图形“”的反复联系。教师在结合“分饼”讲解分数定义时，着重强调定义中“平均分”，而相对忽视了定义中“表示这样一份的数”的重要性（见图2），从而就使学生对分数产生了不当的心智图像。这从另一角度也说明，心智图像的形成，需要一个反复的过程，即形成之后，还需要不断修改、润色、完善。
附图
3.注意范例在构筑心智图像中的作用
通过特殊的例子，概括出一般的数学概念或命题，是小学数学教学常用的方法。好的例子不仅在于能“引出”结论，还应成为学生深刻理解知识的“抓手”。教学中的经典范例通常能联系学生已有的经验和情感，提供给学生关于数学理解的精致的心智图像。因此小学数学应重视范例教学。
以“有余数的除法”这节课为例，教学难点是让学生理解“余数不能比除数大”的道理。一般来说，教师的教学也是通过举例，但往往是从计算本身抽象地加以探讨。例如举出例子38÷5=6……8，它之所以不对，是因为商7的时候，余数为3，更小。并且如果商再大点，比如商8，“五八四十”，这样38-40就不够减了。这时学生的理解是不深刻的，停留在“余数就应该比除数小”以及“通过调整商的值可以使余数达到最小”这样的浅层次上。至于为什么“余数比除数小”以及“为什么可以通过改变商的值，来改变余数的大小”缺乏真正的理解。原因正在于，以“38÷5”这样的运算式作为学生理解的范例，其蕴含的图式并不能给学生以明确具体的形象，也不能触及学生的经验从而将数学理解引向纵深，因而这就是一个不恰当的心智图像。
另一教师采用下面的例子却达到了较好的效果。他让学生拿出13根小棒，要求每三根搭建一个自己喜欢的图形，直到小棒不能构成一个完整图形为止。学生动手操作之后，相互交流，教师将一个学生的结果展示给大家。
附图
依此，教师开始启发，“你们能把摆小棒的活动用数学语言表达出来吗？”在引导学生得出算式13÷3=4……1后，又问“13表示什么”，“3表示什么”，“4表示什么”，“1表示什么”。然后总结，这个算式表达了“我们共有13根小棒，每个图案需要3根小棒，可以摆4个图案，还剩下1根不够摆一个图案了。”教师又问“有一个小朋友是这样摆的，
他用这样一个算式表示它，13÷3=3……4，他这样做对吗？”学生思考后，说“不对，因为剩下的4根小棒还够摆一个图案的。”教师又问：“如果让你用这13根小棒，每4根摆一个图案，你最多能摆几个图案？在摆之前你能猜出最多剩下几根吗？你是怎么猜的？”学生不难回答“最多能剩下3根，因为再多的话，就又能构成一个图案了。”经过这样的教学，学生自己就能够总结出“余数和除数有关系”“余数一定比除数小”这样的重要数学结论。在这个教学过程中，学生用小棒构筑图案的过程以及图像
就成为学生对有余除法达到真正理解的心智图像。
心智图像在小学数学教学中具有十分重要的作用，本文限于篇幅，仅就其在小学数学理解中的作用做出阐述。期待小学教育界同行的参与，共同对心智图像做出进一步研究。