强化知识整合注意方法归纳--以初中三年级第一轮复习为例_角平分线论文

强化知识梳理，注重方法归纳——以等腰三角形为例谈初三第一轮复习，本文主要内容关键词为：角形论文,为例论文,归纳论文,注重论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      与等腰三角形有关的问题能考查学生分析问题的周密性，是初中数学的重点内容之一.本文就初三第一轮复习等腰三角形的知识技能与思想方法进行了梳理，以期帮助学生构建知识，形成技能.

      一、基本定理和结论归纳

      1.等腰三角形的性质.

      如图1，AB=AC

∠B=∠C.

      

      2.等腰三角形的判定及判定方法.

      （1）如图1，∠B=∠C

AB=AC；

      （2）角平分线+平行线

等腰三角形.

      如图2，已知△ABC中，AD是角平分线，EF平行于AD交AB于E，交CA的延长线于F，得△AEF是等腰三角形.

      （3）双垂直+角平分线

等腰三角形.

      如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，我们把这个图形叫做双垂直，由余角的相关性质可得∠1=∠B，∠2=∠A.添加一条角平分线，∠A，∠B属于同一种情况，∠1，∠2属于一类，于是分两种情况研究：

      

      如图4，作∠BAC的角平分线，交CD于E，交CB于F，得△CEF是等腰三角形.

      如图5，作∠BCD的角平分线，交DB于E，得△ACE是等腰三角形.

      

      3.什么叫“三线合一”？它的逆命题是否成立？

      等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.它的逆命题分三种情况：①中线和高线重合；②角平分线和高线重合；③角平分线和中线重合.前两种情况学生较易理解，重点研究第③种情况.

      4.顶角与底角的关系；顶角、底角的取值范围.

      5.一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半（分类讨论）.

      6.一腰上的高与另一腰的夹角与顶角的关系（分类讨论）.

      7.两腰上的高、两腰上的中线、两底角的角平分线分别相等.

      8.底边上的一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长；底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高的长；等边三角形内一点到三边的距离之和等于一边上的高.

      9.等腰三角形的轴对称性，利用轴对称进行图形的旋转变换.

      二、基本图形

      等腰三角形的特殊性主要表现在两个方面：边和角；主要研究特殊的等腰三角形.

      比如，等边三角形中，三边之比为1:1:1；三角都相等，且等于60°.

      等腰直角三角形中，三边之比为1:1:

；三角为45°，45°，90°.

      

      对于前三种特殊等腰三角形，顶角度数分别为60°，90°，120°的等腰三角形，三边之比关系1:1:1，1:1:2，1:1:3；反过来也成立，即知道三边关系可得三角形各角度数，为什么？（学生讨论）

      应用：（1）半径为

的圆中，弦长为

所对的圆周角的度数是多少？

      （2）半径为r的圆中，弦AB为3r，点C是圆上一个动点（不与A，B重合），则∠ACB的度数是多少？

      后两种等腰三角形边的关系需要证明，通过证明，帮助学生复习相似三角形的内容.

      （1）如图6作底角的平分线，交点为腰的黄金分割点.

      （2）如图7作顶角的三等分线，交点为底边的黄金分割点.

      

      这两图都是过等腰三角形的一个顶点作一直线，将原等腰三角形分割成两个等腰三角形.

      拓展问题：过等腰三角形的一个顶点作一直线，将原等腰三角形分割成两个等腰三角形，这样的等腰三角形的顶角的度数是多少？

      这个问题难度较大，需要学生有一定的动手操作画图能力、计算能力，还需运用分类讨论的思想分析问题.

      三、与其他知识的综合

      1.点A（2，1）是平面直角坐标系内一点，P是坐标轴上一个动点，△AOP是等腰三角形，求点P的坐标.（与直角坐标系综合，分类讨论）

      2.以等腰三角形△ABC的腰为直径的圆与三角形的底边BC相交于点M，求证：MB=MC.（与圆综合）

      3.正十边形的半径为2，求它的边长.（与正多边形，黄金三角形综合）

      4.如图8，矩形ABCD，AB=3，BC=4，对角线相交于点O，点P是边BC上的一个动点，PF⊥BD于F，PE⊥AC于E，求PF+PE的值（与矩形综合）

      

      5.等腰三角形△ABC，∠C=90°，点P是AB边上的任意一点，作∠EPF=45°，交AC，BC于点E，F，若EA=3，AP=2，BP=5，求FP的长.（与相似综合）

      四、基本辅助线

      如图9所示，Rt△ABC中，∠C=90°，点E是边AC上一点，在BC的延长线上截取CD=EC，连接AD、BE，问：线段AD、BE有何关系？

      变式题：如图10所示，△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE是三角形的两条高，相交于点F，求证：DC=DF.

      

      上述两题，就是把条件和结论交换了一下，他们是互逆命题.

      思考：如下页图11，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于M，交AB于E，连接DE.求证：∠ADC=∠EDB.

      分析 本题证两角相等，可以考虑证两角所在的三角形全等，显然没有现成的三角形，考虑等腰三角形常用辅助线——三线合一的性质构造三角形全等.如下页图12，作CG⊥AB于G，交AD于F，由上述基本图形变式题易得GF=GE，再思考△CFD与△BED存在全等关系，已有条件CD=BD，还缺少什么条件，由学生思考、讨论、交流.

      

      启发学生：等腰直角三角形是正方形的一半，如果把其补成正方形，会有怎样的结论呢？

      

      如图13，补成正方形，再延长CE交BF于G，正方形内两条互相垂直的线段（线段的端点在正方形上）可得这两条线段相等，通过△ACD≌△CBD，将要证的∠ADC转换成∠CGB，再思考如何证∠CGB=∠EDB？学生应该立即会想到证明△EDB与△EGB全等.思路有了，接下来由学生自主完成.

      

      中考第一轮复习具有学生对知识的遗忘率高、存储的知识零散、学习策略水平差异大、介于单元复习与中考第二、三轮复习之间等特点.

      因此，“以课本为载体，夯实基础”是我们需要坚持的复习原则；保护学生的复习热情，让他们始终怀有一份期待，鼓励学生积极深度地参与复习活动是我们需要坚持的复习策略；提高复习效率的关键是研究学生，研究学生的重点在于关注学生的数学现实、关注学生的课堂学习、关注学生的作业质量、关注学生提出的问题.

      1.本文所选题目均来自学生课后作业，归纳的中等结论和方法都是学生耳熟能详，曾经做过、练过的题目，特别是一些中等结论的归纳复习，不仅帮助学生回忆起从题目中得到的一些重要结论，更能把学生的知识提高一个层次，这些结论的总结都是学生“跳一跳够得着的”，学生听得懂，有欲望参与归纳研讨，又有一定的挑战性，为后面解决较难问题打下基础.

      夯实基础绝不是始终练习基础题，没有一定新意和难度的问题很难引起学生学习研究的兴趣，长期下去会消磨学生的斗志，影响复习的效果.

      教师要在备课上花大力气，不能将教材的内容进行简单的罗列，要进行梳理、链接、延伸.帮助学生在不同的背景下寻找熟悉的图形，综合运用基本图形、基本结论解决问题.

      2.教师喜欢上新授课，此时学生面对的是未知的内容，好奇心驱使学生认真听课，积极思考，而复习课都是学生熟悉的内容，平时还有单元复习，期中期末复习，如何让学生在一轮复习过程中保持热情，让他们始终迎接新的挑战，需要教者精心安排教学内容，让旧知识上出新意，让内容呈现不断上升，设置的问题有一定梯度，让学生觉得在原有的基础上获得提高.文中编排的题目面广量大，教师要根据不同层次的学生合理进行调整使用.

      任何知识点的复习都要注重知识的迁移，把他放在不同的背景下，注重数学思想方法的渗透和培养；注重与其他知识的综合；让学生站在研究、剖析题目的角度审视.这样学生不仅解题能力提高，更重要的是看问题的高度悄悄发生着改变，长此以往学生也能改编一些题目，学生的思维越来越扩散，发现问题、提出问题的能力得到发展.

      3.在复习课中更要充分体现以学生为主体，教师加强对学生进行复习方法的指导，充分调动学生的主观能动性，是提高中考复习效益的关键.

      复习中，要以学生的研读、归纳、质疑为主体，以教师的引导、辨析、点拨为主导，把复习的主动权切实交给学生.教学设计应以学生所求、学生所需为出发点和落脚点，只有这样，才能使学生积极地参与整个复习过程，真正发挥他们的主体作用.

      总之，夯实一轮复习是二、三轮复习取得效果的前提，是决胜中考的关键，是学生能力得到提升的重要时间段，教师只有切实精心准备，做大量的试题，善于从题目中进行归类，举一反三，做一题会一类，做一类通一法，在广度和深度上下工夫，才能达到提高复习效率的目的.

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