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Ⅰ
1、一个句子，不论是以何种表达方式， 只要它在语法上是完全清晰的，那么它在逻辑上就是完全可以分析的。我们所能做的和必须做的，就是把我们语言中本质的东西与非本质的东西区别开来——这归根结底是一种现象学语言的结构。现象学就是物理学理论建立其上之事实情况的语法。
2、哲学的复杂性并不在于它的材料之复杂性， 而在于我们疑窦丛生的理解之复杂性。
3、如果逻辑学研究的是“理想的”语言，而不是我们的语言， 那就太稀奇了！
4、如果我说， 我必须创造语法规则是因为例如颜色具有某种特性，这样我就能描述语法规则的目的，那么由此这些规则就多余了，因为我也可以说出恰恰与这些规则不相容的东西。
5、是否可以说，虽然小孩必须学习用某种语言讲话， 但是不必学习思维？
6、语言的使用在一定意义上并不是教会的。
7、语法规则不可能通过对被表述物的描写来说明： 每一种这样的描写都是以语法规则为前提的。
8、作为语言功能之基础的那种约定方式， 就像是有人说：“当你听到枪声或看见我挥手时就跑开。”
9、迄今为止哲学家们是否总是说些废话？
Ⅱ
10、把句子理解为关于做模型的规定。为了使语言能够驾驭我的手，它必须具有所要求的动作的多样性。这种多样性也说明了否定句的本质。
11、我如何能够知道，当我看见红色时我能认出它来？我又如何知道，这就是我所指的那种颜色？
12、如果对颜色的想象与实际看到的颜色不一致，那该如何进行比较？
13、语言具有信号机的多样性，以便使行为与其句子相对应。
14、只有使用才使棍棒成为杠杆。——每一种规定都可以被理解为描写，每一种描写都可以被理解为规定。
15、什么叫把一个句子理解为句子体系的一个环节？句子的错综复杂只有通过有目的的使用才能说明。
16、我如何知道，我期待的正是这个？我如何知道，我现在称作“白色”的颜色就是我昨天在这里看到的同一种颜色？是通过我对它的再认出。
17、逻辑学是否应该关心，句子是自然而然地想出来的还是经过系统思考形成的？逻辑学感兴趣的是作为一种语言体系之部分的句子。
18、我并不认为，逻辑学所说的句子与我们说“这里写着一个句子”时所谈论的句子具有不同的意义。
19、句子与现实的一致。对再认出就像对记忆可以有两种不同方式的理解：理解为过去概念和同一性概念的来源，或者理解为对已过去的事物和同一性的检验。
Ⅲ
20、如果把意向的因素从语言中分离出来，那么语言的全部功能将由此瓦解。
21、（意向的）图像观同罗素观点的本质区别在于，前者把再认出视为对一种内在关系的认识。语言与行为之间的因果关系是一种外在的关系。
22、罗素的理论可以归结如下：如果我给某人一个指令，他根据这个指令之所为使我愉快，那么他就是执行了这个指令。
23、如果在学习语言的同时建立起了语言和行为的联系，这种联系也许会断裂吗？如果会断裂，我究竟有何种手段，把原先的约定同后来的行为相比较？
24、意向现在已经通过我此刻如何拿这幅图像同现实相比较表达出来了。
25、期待p是某情况，必然与期待这一期待的实现相同。
26、仅有外部联系，是根本无法对联系作出描述的，因为我们只有借助内在联系才能描述外部联系。
27、问题的含义在于其回答的方法。告诉我，你是如何探求的，我将告诉你，你在探求什么。
28、期待和探求相联系。我知道我在探求什么，而我所探求的东西并非一定真正存在。取代期待的事件是对期待的回答，这就是说，期待必须与被期待的对象在同一空间之中。
29、期待不可能通过对被期待对象的说明而外在地加以描述；通过有待描述的东西来描述期待是一种内在的描述。
30、当我说“这就是我所期待的同样的事件”和“这就是也发生在那个地方的同样的事件”时，这里“同样的”这个词在两句话中意思不同。
31、语言与意图。当人们说“这是刹车杆，但是它失灵了”时，所论及的是意图。
32、只有发声表达出来的东西我才称之为想法——或者也可以说期待、愿望等等。
33、人们如何探求，在一定程度上表达了人们期待的是什么。期待准备了一个用来衡量事件的尺度。假如期待与现实相脱离，那么人们所期待的就可能是一件荒唐事。
34、当我说，描述必然涉及我的世界时，人们不能说，“因为否则我就不能证实这一描述”，而是说，因为否则这一描述一开始就对我没有意义。
35、奇怪的是，我们知道，这是一种期待。这表明，期待直接与现实有联系。我们必须能够对期待和现实做出比较性的描写。
36、我当初称为“对象”的东西，简单地说就是那个我们可以说它始终如是的东西。“我期待着三下敲门声”，就像我回答说：“你怎么知道有三下敲门声？”
37、这个现在在周围看不到任何红色东西的人是不是同那个没有能力看见红色的人处于同一状态？如果前者想象着红色，那么这不是所见到的红色。
38、回忆和事实必须在一个空间中。同样，想象和现实也在一个空间中。
Ⅳ
39、如果我只是看见一些黑的东西并且说，这不是红的，如果不是因为红色正好是这个有黑色刻度的标准尺上的另一种刻度，那么我如何知道，我说的不是废话，也就是说，它可能是红色的，存在着红色？
40、如果同标准尺的比较是正确的，那么，蓝色这个词肯定向我指明了从黑到蓝的方向。但是这些不同的方向如何在语法上表达呢？
41、红—绿色盲者的辨色系统不同于常人。现在的问题是不是这样：这个不能辨别红和绿的人真的能看见我们称之为“蓝”和“黄”的东西吗？
42、灰色肯定已经被想象处在从深到浅的空间之中。肯定已经用一个尺度衡量过了：我不可能在内在的听觉和内在的耳聋之间作选择。
43、一个问题总是有一种探求方法与之相对应。如果人们不能把一种图像作为尺度来测量现实，那么就不能把这种图像同现实进行比较。
44、怎样使一个“正式得到证明的命题”成为可能？尺度的使用并不以被测量的客体的长度为前提。由此我可以在一般意义上学会测量。
45、但是，言词与以言词描述其长度的客体是否处于同一空间呢？因为，单位刻度属于符号体系；它包含了特殊空间的因素。
46、一种语言使用一个坐标系。不带坐标系的文字符号是没有意义的。
Ⅴ
47、如果我们环视四周，在空间里走来走去，感觉我们自己的身体，等等、等等，我们并不觉得有什么异常的，因为这与我们的世界的形式并无矛盾。世界的理所当然正表现在，语言只是意喻它、也只能意喻它。
48、生命之流，或世界之流，在滚滚向前，而我们的句子，可以说只是在瞬间被验证。那么，它们就是与当前有公约性的。
49、也许全部的困难就在于把物理时间的时间概念转用于直接体验的进程中。我们并没有谈论当前的、过去的和将来的观念。
50、“我看见的不是过去，而只是过去的图像。”但是我从何处知悉，它是过去的图像？
51、这样在电影胶片上就有一个当前的图像以及若干过去的和将来的图像；而在银幕上却只有当前。
52、如果人们用“时间”来指称变化的可能性，那就不能说，“时间在流逝”。——在我们看来，回忆似乎是我们初始很清楚地看到的东西的比较弱的图像。在物理学语言中这是对的。
53、但是还可以有另外的说法；这一点很重要。例如“视觉错觉”的表述就给出了错误这一观念，即使原本并没有什么错误。它使人想到一种绝对如实的语言。
54、只有我们还能作另外想象的东西，语言才能说。万物流逝，只能在语言的使用中表述出来。如果说，只有当前经验具有现实性，那么这里“当前”这个词必然是多余的。
55、某些描述经验的重要句子，也可以是另外的样子，例如，我的视觉图像几乎不间断地处于变化之中。
56、当我说出“尤利乌斯·凯撒翻过阿尔卑斯山”这一句子时，我是否只是以此描写了我当前的精神状态？——这个句子说出了我的想法。如果我想知道这是什么，那么最好是问一问，我为什么这样想。
Ⅵ
57、我们语言中的一个引起歧义的表达方式，是“我”这个词的使用，特别是在表达直接经验的地方。如果这种经验不借助于人称代词来表达，会怎么样呢？
58、大概是这样：如果我L.W.牙疼，就说“牙疼”。另一种情况是：“当牙疼时，A的表现同L.W.一样。 ”这种语言可以把任意一个人作为中心。语言的以我为中心，在于它的使用。这种特殊地位是不可表达的。无论我说，被表述物不是许多事物之一；或者我不可能说出我的语言的优点——这二者都会导致同一结论。
59、要人们相信无法通过某种方式证实的东西，这是不可能的。如果我认为某人在悲伤，这我能做到。而我却不能认为，我在悲伤。
60、说两个人有同一个身体，这有意义吗？
61、如何区别他的和我的牙疼？
62、“如果我说，他牙疼，那么我的意思是指，他现在有我曾经有过的感觉。”但是，这是不是一种关系，即，牙疼曾经与我有过的、而现在与他有的关系？
63、在似乎有可能感觉到他人嘴中的牙在疼这一意义上，我或许可以谈论别人的牙疼（感觉事实）。
64、当我说“A牙疼”时，我使用的是疼痛感的想象， 其方式正如我说电流的流动时使用流动这一概念一样。——（1）其他人有牙疼， （2）其他人与我有同样的举止但并不牙疼， 这两种假设就其意义来说可以是一致的。
65、我们的语言使用“我的疼痛”和“他的疼痛”这种表达，以及“我有（或感到）疼痛”这类表达。而“我感到我的疼痛”和“我感到他的疼痛”的表达是无意义的。
66、假若我有两个身体，也就是说，我的身体由两个彼此分开的肉体组成，那情况会怎么样呢？——认为在思想中可以同时延展体验的哲学家们应该想到，通过电话只能传送话语，不能传播麻疹。
Ⅶ
67、假设，我的记忆力很好，我可以回忆起我全部的感觉印象；我可以描写这些感觉印象，例如，我可以用雕塑来表达视觉图像，但仅限于我真实地看到过、并通过一个机械装置活动的视觉图像。
68、当我描述一种语言时，我描述的是一些物理的东西。但是一种物理语言如何能够描述现象呢？
69、现象（似是而非的当前）包括时间，但并不在时间之中。而语言的进行是有时间性的。
70、我们需要一种可以用来孤立地描述视觉空间现象的表达方式。
71、只有在物理空间的语言中，视觉空间才叫做主观的。重要的是，视觉空间的描述表现的是一个客体，不包括主体的暗示。
72、我如何知道我是通过我的眼珠的瞳孔看世界的？这与我通过窗户看世界没有本质的区别。
73、在视觉空间中没有一个属于我的眼睛，也没有属于他人的眼睛。仅有空间本身是不对称的。
74、我的身体在视觉空间中的特殊地位仅仅起因于其它感觉，而不起因于某种纯粹视觉。
75、孤立的“视觉”现象的时间是我们日常物理学表达方式的时间吗？我想象我的视觉空间中的变化是有节奏的，并且和节拍器的拍打在时间上是合拍的。这样我就可以描写它，而且把这一描写同真实发生的事相比较。我的记忆出了错误吗？不，一个原则上不能被发现的错误，就不是错误。在这里，我记忆中的时间恰恰是我所描写的时间。
Ⅷ
76、红色和绿色同时在一个地方是不可能的。什么是红和绿的混合色？不同程度的红色也是不能彼此相容的。——尽管如此，我仍然可以说：“还有比这两种红蓝色中较红的那一种更红的红蓝色。”也就是说，我可以从已有中建构出尚未有的。——在元句子内部不借助于真值函项也具有从一个句子到另一个句子的逻辑推导作用的结构是可能的吗？这样两个元句子可能会彼此矛盾。
77、这是同完全性描述的思想相关联的。
78、r（红）和g（绿）完全地填满了f （颜色）——这一点在我们的指号（Zeichen）中并没有显示出来。 如果我们观察的不是指号而是符号（Symbol），那它肯定就显现出来了。因为符号包含着对象的形式，因此在这种形式中，就肯定会显示出“f（r）·f（g）”的不可能性。
79、我能并列写出某两个句子，但是却得不出它们的逻辑结果吗？人们可以说，这里的“·”有另外的含义。
80、一种蓝和红的混合色，或者蓝和红的中间色，是通过与红和蓝的结构的内在联系得到的。这种内在联系是原本的。也就是说，它并不在于，“a是红蓝色”，这个句子是“a是蓝色”和“a 是红色”的逻辑结果。
81、颜色的情况与声音或电荷的情况是一样的。始终是对一个点的或在同时间内的某一状态的完全描述。但是我如何才能表达，例如，完全地描述这种颜色呢？怎么会导致，相同形式的第二个句子与第一个句子相矛盾呢？——两个元句子是不可能相互矛盾的。
82、有关于真值函项的规则，这些规则也涉及句子的基本部分。在这种情况下，这些句子就变得更像是尺度。一个量度的规定很自动地排除了所有其它的量度。我不是用句子而是用句子系列作为尺度去衡量现实。否定的描述：没有这个尺度，也就不可能有它的零点。
83、描述的独立坐标的概念。这些诸如通过“和”而相互联结的句子并非彼此独立，它们构成了一个图像并且可以检验其一致或不一致。
84、每一种陈述都取决于一定数量的尺度的调配，把一个尺度同时调到两个刻度上是不可能的。
85、一切句子都包含着时间，与真值函项适用于一切句子相比较，前者在我们看来是偶然的。
86、句法不允许有“a是绿的，a又是红的”这样的构成，但是对于“a是绿的”来说，“a是红的”这个句子可以说并不是另外一个句子，而是同一个句子的另外一种形式。由此，句法把具有同一规定的句子联系在一起。
Ⅸ
87、一般的句子（我看见红底色上的一个圆）是一个有各种可能性的句子。这种一般性同物体的总和又有什么关系呢？因此这一意义上的一般性被纳入元句子原理。
88、当我只是描述视野的一部分时，我的描述却必须包含整个视觉空间。色斑的这种形式（逻辑形式）事实上是以整个空间为前提的。
89、我是否可能在一个句子中悬置一个规定而不同时详细说明悬置的可能性是什么？“一个红圆在正方形中”。我究竟如何知道这样一个句子？我是否可以总是把它理解为无穷的析取式？
90、一般性与否定性。“有一个不在正方形之中的红圆”。在表达“这个圆不在正方形中”这个句子时，我不能把“不”放在句子前面。与此相关联的是：为一个圆确定一个名称，这是无意义的。
91、“所有的圆都在正方形中”或者只能意味着“一定数量的圆在正方形中”，或者意味着“没有一个圆在外边”。“没有一个圆在外边”这一句子是对一种一般性的否定而不是对一种否定的一般化。
92、词类通过对一个词有效的全部语法规则才得到规定，如此看来，我们的语言有许多不同的词类。
93、主谓形式还不是逻辑的形式。“这个盘子是圆的”，“这个男人是高大的”，“这个斑点是红色的”，这些句子在形式上并没有共同的东西。——概念与对象，就是谓语与主语。
94、谁一旦开始进行算术，他关注的就不再是函数与对象。描述对象不能表述出什么对于对象的实际存在是本质性的。
95、如果我给三个看到的、同样大小的圆起了专名——不管怎样我总是（直接或间接地）指定了一个位置。“这是……”这类句子的特征只在于：在所谓信号系统之外的现实以某种方式进入了符号。
96、当形式和颜色变换后，还留下什么呢？因为方位是形式的一部分。很清楚，在这里“特性之载体”这一词使人们产生了一个完全错误的（根本不可能的）想象。
97、附带提一下，一个圆的方程式就是圆的概念的符号。这就好象这里的圆心坐标相当于属于该概念名下的物体。事实上，表述圆心坐标的一对数字不是物，而是表明圆的“不同性”的符号。
98、给出这里并不能表明什么在这里。F（x）肯定是关于x 的一种外延的描述。——但是如果现在我说“这里是一个圆”，另一次又说“这里是一个球体”，这两个这里是同一种形式吗？
Ⅹ
99、数字和概念。谈论不属于同一概念的诸多对象的数目是否有意义？但是我们可以构造比如“a和b之间的项”的概念。
100、数字是概念范围的图像。 人们也许能够像考察一个物体一样考察概念范围，这个物体的名称只有在句子的联系中才有意义。在符号体系中作了实际的分类，而在意义中谈论的只是分类的可能性。
101、在任何情况下我都可以在1+1+1+1+1+1+1的记号中区分3和4。
102、数字只能由式子形式来定义，而不依赖于式子的真假。 把这四个苹果归结为两两相加的可能性涉及的是意义，而不涉及一个式子的真实性。
103、PM表示法中的命题（A）能够给出5+7＝12的意义吗？但是如果我不知道，右边括号中的数目记号是由左边两个括号中数目记号相加而得出的，那么，我究竟如何得出右边括号中的数目记号？
104、使我们知道5条线和7条线恰好合成12条线的， 始终只是对结构的内在关系的认识——而不是逻辑的思考。
105、外延是一个句子之意义的特征。
106、除了算术范式以外，A所包含的只能是范式的应用所必需的东西。但是，根本没有什么对此必需的东西。
107、能够得出3+2＝5的，不是对概念的探讨；就像不能从概念的思考中得出A是重言式。数必须具有我们表述它们的方法的性质。
108、算术是数的语法。
109、数学的每次运算都是它本身的一次应用， 也只有作为数学运算才有意义。由此也就不必在这里谈论逻辑运算的一般形式。——算术是一种更一般的几何学。
110、同时，人们感到奇怪， 这些数字能离开它们的定义而运作得如此正确；这同几何学的内在无矛盾性相联系。算术应用的一般形式似乎可以这样表述，即：对此什么也没有说。
111、算术的结构同几何结构一样是独立的， 因此它们本身保证了其可应用性。
112、如果纸上的三条线是3的指号，那么人们就可以说，这个3 的用法像三条线的用法一样。（参见第78条）
113、关于一个概念之范围的数字说明是一个命题。 关于一个变量之范围的数字说明却不是命题——因为对一个变量之范围的数字说明我可以从其本身得到。
114、我是否以知道房间里有6个人的相同方式知道3个要素有6种排列呢？不是，所以后一个命题与前一个命题是不同的类型。
Ⅺ
115、数字说明并不总是包括一般性和不确定性。 例如：“我看见3个同样大小的圆等距离排列。”不确定的似乎是：我知道， 三个物体具有特性E，但却不知道是哪些特性。这里，说我不知道是哪些圆， 则是荒谬的。
116、没有“纯色”的概念。排列的情况与此相类似。当人们说，AB有两种排列时，这听起来就像是人们作出了一个一般的陈述。但是“可能有两种排列”这一句子的含义，并不少于AB，BA范式的含义，即说出比后者更一般的东西。它们不是一个概念的延伸，它们就是概念。
117、“4要素有多少种排列？”是一个数学问题，正如25×18等于多少一样。因为存在着一种解答两个问题的一般方法。
118、在罗素的理论中， 只有实际的对应才表明两个集的“相似性”。而不是对应的可能性，因为这种可能性恰恰存在于数目的相同之中。
119、三个圆同两个十字一一对应的不可能性具有何种类型？ ——说度有这个或那个数，这是无意义的，因为数是度的一种内在特性。
120、拉姆塞把符号“＝”解释为：x＝x是重言式，x＝y是矛盾，那么，符号“定义”同“＝”又有什么关系呢？——人们只能把数学方程式同意义完整的命题相比较，而不能同重言式相比较。
121、一个方程就是一个句法规则。符号规则可以理解为命题， 但并不是必须把它理解为命题。“异质的”矛盾。
122、一个数学论断的一般性，不同于已被证明的命题的一般性。一个数学命题就是对一个证明的提示。一般性，只有当它——变量的一切值被完全确定的时候，才有意义。
Ⅻ
123、 我用与把握一条无终点的线路不同的方式把握一条无限的线路。关于这条线路的命题不能通过无止境地想象的前行来证明，而只能一步证明。
124、逐渐地把握全体数不仅“对我们人”而言是不可能的， 而且是无意义的。整体只能作为概念而存在。
125、通过逻辑概念（1，ζ，ζ+1 ）给定某对象物的存在这一事实表明，概念决定对象物的存在。其基础不过是一种运算的重复。1 的三次相加产生且等于3。
126、现在看来，对数的一般性表述似乎是无意义的。
127、如果一个命题不通过任何有限的结果而成为真的， 这等于说，它不通过任何结果而成为真的。因而它不是一个逻辑的结果。
128、我是否能够知道，一个数字满足方程， 而不必为这个数字在无限序列中的出现限定某个有限范围？
129、一个涉及所有命题或所有函数的命题是不可能的。 数学的普遍性通过归纳得到说明。
130、狄得金德（Dedekind ）对无限性概念的解释中的错误（圆圈）在于形式内涵中对“所有”这一概念的应用。与我们所意指的东西真正相符的不是一个命题，而是从φx到ψx的结论——如果这个结论成立的话，但是这个结论不是通过一个命题表述的。
131、欧几里得几何的一般性。奇怪的是， 对一个三角形适用的就该对所有其它的三角形都适用。然而，证明的构思又不是实验，而是，对这一构思的描述就足够了。——凡是被论证的东西，都不可能通过一个句子来表述。
132、“有朝一日，世界将毁灭”等于什么也没说， 因为这与世界在任何既定的一天里还存在相一致。“在π的展开中3.1415后面紧跟着多少个9？”如果这个问题与延展有关， 它就不具有我们所感兴趣的问题的意义。（“把握一条无限的直线的方式不同于把握一条无终点的直线。”）
133、应用简单原理的困难使人对这些原理本身产生了迷惑。
134、“我看到直尺从切线t1向t2的运动，因而我也一定在t中看到这把尺”。如果我在这里似乎是从一个普遍的命题推论一种特殊的情况，那么这一普遍性命题的来源就不是经验，这一命题实际上也不是命题。
135、“我们只能从描述中认识无限性。”那么， 存在的也只是这一描述，别无他物。
136、对于无限的表示是否以无限的空间和无限的时间为前提？ 据此，这样一个假设的可能性似乎必然预先存在于任何地方。肉眼可见的最小差别的问题。
137、如果我不再能够在可视范围内划分线段，那么， 我也不可能进行这种划分的尝试，因此也就不可能目睹这样一种尝试的失败。我们视野中的连续性在于，我们看不到间断。
138、作为对事实之体验的经验给我以有限性； 对象则包含无限性。当然这并非指一种同有限之体验相竞逐的量的大小，而是指一种内在性。（无限的可能性不是量的大小。）空间没有延展，只有空间之对象才能延展，但是无限是空间的一种特性。
139、无限的可分性：每个关于部分的有限数是可想象的， 但无法想象一个关于部分的无限数；然而恰好就在其中却存在着无限的可分性。——一块斑点在视觉空间中可以被分成3部分，意味着， 表述这样一块被分之斑点的句子有意义。与此相反，无限的可分性并不意味存在着一个描述可分成无限多部分的线段的命题。这种可能性并非凭借符号的现实性来表现，而是通过符号本身的其它形式的可能性来表现。
140、时间现在就在自身中包含整个未来的可能性。 人的运动空间如同时间一样是无限的。
141、 关于数制的规则（例如十进位制）包含着有关数的一切无限的东西。所有这一切归诸于现实性和可能性的句法。m＝2n 内含了把每个数与另一个数对应的可能性，但是它并没有把所有数与其它数对应。
142、“这一方向上可能有3样东西”和“这一方向上可能有无限多的东西”这两个命题只是看起来是同样构造，但是事实上它们具有不同的结构。也就是说，第二个命题中的“无限多的”并不发挥第一个命题中的“3”的作用。
143、空洞的无限的时间只是那刚成为现实性的事实的可能性。 ——如果存在一种无限的现实，那么也就存在着处于无限中的偶然。例如，因此也可以说存在着不是通过规则而产生的无限的十进制数。——无限性内在于时间之本性中，它绝非时间的偶然的延展。
144、无限的数列仅是有限数列的无限的可能性。 符号本身中只存在可能性而不存在重复的现实性。数学不能去尝试谈论其可能性。如果数学试图表述其可能性，亦即如果它把可能性与现实性相混淆，那么人们就会让数学退回到其界限之内。
145、无规律的无限小数。 “在一个人无止境地投掷的情况下所产生的数字”，这看起来是无意义的。——一个无限的树列。如果有一个法则，树高都是按这个法则而变化，那么这个树列就是由这个法则所确定，并且可以通过这个法则来设想。如果我现在设想可以有一个无规律的序列，那么我对这个序列的本质所能了解的无异于我对其一无所知。
146、乘法原理。 人们在诸集中的一种有限集的情况下可以确实地产生出一种选择。但是，在无限多分集的情况下，我只能认识一种选择的形成规则。在此，这种无限性仅仅内含于定律之中。
147、导致我们相信也许存在无限多东西的因素仅仅是， 我们将物理事物同认识因素相混淆了。对“斑点位于a和b之间的任意一点”的分析：这里并没有表述该位置的无限可能性。——一种无限假说的假象，在这里人们把物质的部分与简单的物体相混淆了。可被想象为无限增加着的东西是事物按照其无限可能性形成的组合，但永远不是事物本身。
ⅩⅢ
148、尽管我们不知道如何去证明某个命题， 但可以问：“这个命题可以证明还是不能证明？”人们不可能有逻辑有计划地去求索自己所不了解的那种意义。命题必然通过其意义表明，我们应该如何证明这个命题是真实的还是虚假的。
149、对这种适用关系的证明似乎是这样一种证明， 它并不得出命题，而是指出了一种方法的形式，据此我们能够检验这个命题。
150、我对一般（代数）命题能像对3×3＝9或3×3＝11这种等式那样或给以十分肯定或不予肯定。一般性的解答方法本身就是一种对方程式本性的理解。在单个情况下我又是只看见规则。“这方程式得出a ”表明：如果我根据一定规则变换这个方程式，我将得到a。 但是对我来说这些规则必然是在“得出”这个词有所指并且这一问题有意义之前就已经给定了的。
151、在数学中，只有在答案是“我肯定能计算出来”的地方， 才可以发问。“这个方程式有多少个解”这一问题是掌握解方程的一般方法。而这正是数学中的一个问题所意谓的东西，这就是：掌握一种一般方法。
152、 只有当我看见“圆规和直尺”体系被包容进了一个更大的体系，在该体系中这个问题有了一个意义的时候，我才能问，角的三等分是否可能。——确定一种计算的规则体系，也就由此确定了这种计算符号的“意义”。如果我改变了规则，那么我也就改变了形式，即意义。——在数学中不能一般地谈论体系，而只能在体系中谈论。
153、数学证明是对数学命题的分析。说“p是可证实的”，这是不够的，而要说：“可以根据一个确定的体系加以证明。”“理解p ”意味着理解它的体系。
154、我可以问，“这一方程有哪些解？”但我却不能问， “它有解吗？”——不可能发现适用于我们所熟悉的形式的新规则。 ——“p适合于全体数——尽管并非必然，却是可能的”这一句子是无意义的。因为在数学中“必然”和“全体”是一回事。
155、新体系的发现（例如舍费的发现）。 人们不能说：所有这些结果，我早就已经有了，现在我只是找到了一条通向所有结果的更好的途径。这条新途径构成了一个新体系。
156、数学中的解结。只有当清楚地看到结的结构的时候， 才可以谈得上真正地尝试去解结。
157、人们不能写数学，而只能做数学。——假设， 我偶然碰上了一个正确的五角形构建方法。但是，如果我不理解这种构建，那么，这种构建对我而言还完全不是一种五角形的构建。我能这样做的方式就消融在我所理解的东西之中。
158、过去不为人所知而现在已被知晓的联系所在的地方， 过去并不是一块空白，一个现在已被填满的空缺。归纳法：如果我认识螺线的规律，那么在许多方面，这就像是我认识了螺旋纹的整体一样。但不是完全类似——这就是全部。
159、全体质数是否有一个有限数目，这是一个问题吗？ 我能够写下质数的一般形式吗——就好像比如：“……除以更小的数得出一个余数”——那么也就不存在有“多少”质数的问题了。但是，在我们掌握某种严谨的表达方式之前，我们可能就有“质数”这个词了，因此人们就可能错误地形成这样的问题。只是在我们的文字语言中才存在着数学中“尚未解决的”问题。
160、无矛盾性的证明对于公理应用来说不可能是本质性的。 因为这些是句法定理。
161、极地探险和数学探索。在数学中，如何可能产生推测？ 我可以提出关于质数之分配的假说吗？那么，我承认哪种类型的证明适用呢？我不能推测证明。即使提供了证明，它所证明的也不是所推测的东西。
162、舍费的发现。诸体系并不是在一个空间中， 因此我似乎可以说，存在着带有3个和2个逻辑常数的诸多体系，现在我又力图以同样的方式来减少常数的数量。——数学命题仅仅是整个证明体系的直接可见的外表，但这一外表却事先就限制着证明体系。
ⅩⅣ
163、结合律的证明？作为一个系统的基本规律是不能被证明的。通常的错误就在于把证明之应用的延伸与它原本所包含的东西相混淆。——能否证明，通过〔（1+1）+1 〕等等的形式的加法总是不断产生这种形式的数字？证明在这种规律之中，也就是说在定义之中，而不在任何其它地方。
164、 递推证明不过是对任意特殊证明的一种一般引导：在这一序列上前行的一般形式。它的一般性不是那种所期待的一般性，而在于人们可以重复这种证明。我们从那个证明中所得到的东西是根本不能用一个命题来表示的。
165、结合律的正确表达不是一个命题， 而恰恰是这个命题的证明，这种证明并不是对法则作断定。我知道，特殊方程是对的，就像是我由始至终地把它引导出来的一样。这样，它就被实际地证明了。一条螺纹加上给定的方程式的数字形式，就足够了。
166、人们说，归纳是一种符号，表示这个或那个对全体数适用。但是归纳并不是某种不同于其本身的东西的符号。——比较一下真正命题中的一般性与算术中的一般性。真正命题中的一般性是通过另一种方法来证明的，因而它是另一种一般性。
167、归纳法并不证明代数命题， 但是归纳法从应用于算数的立场出发来论证代数方程式的列出。这就是说，代数方程式通过归纳才获得其意义，而不是由此获得其真理性。归纳与代数命题的关系不像证明与被证明物之间的关系，而是像被表示之内容与符号之间的关系。
168、如果我们问“a+（b+c）＝（a+b）+c对吗？ ”我们想表达什么意思？代数命题并没有说出一般性，而是，这种一般性表现在针对替代的形式关系中，这种替代作为归纳法序列中的环节而出现。
169、每一个a×b＝c形式的算术等式或它的反面都可以得到证明。这种可证明性的证明是一种归纳法的提示，这种归纳法使人们能看清这个梯子所导向的那些命题是什么类型的。
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