概念教学不妨尝试“事后补救”，本文主要内容关键词为：事后论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、错误与补救 课标强调：“数学教学应当使学生对概念和规律达到理性认识，教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿于高中数学教学的始终.”由此可见概念教学在数学教学中占据举足轻重的地位，数学概念是构建数学理论大厦的基石，是数学思维的细胞，数学是用概念思维的.章建跃博士在讲座、文章及论著中反复强调，概念教学要返璞归真、一针见血，核心概念教学更要舍得花时间、舍得花力气.然而数学概念具有高度的抽象性、严密的逻辑性及广泛的应用性，因此在实施概念教学过程中出现重形式轻内涵（如本文案例1）、厚公式计算薄概念内涵（如本文案例2）甚至出现失误也是在所难免，此时实施补救成为概念教学中不可或缺的重要环节.所谓“事后补救”就是新授概念后，面对学生作业或者考试中出现普遍性、典型性错误，尤其是涉及概念方面的错误，教师切忌暴躁如雷、烦躁不安，而应心平气和、循循善诱地与学生深入沟通并鼓励学生充分暴露思维过程及错误根源，把这些典型错误归类、整理，将这些真实的、一手的“错误素材”作为难得的、宝贵的教学资源.一则“照照镜”，即教师深刻反思概念教学的失误之处，诚恳看作检查自己教学效果的一面镜子，提高自身业务水平.二则“治治病”，即顺着学生思路，追根溯源，深究错误起因、深挖错误根源、深思错误预防，从本源上找出“元凶”、铲除“土壤”，肃清“根基”，真正厘清概念、吃透概念，以免学生再犯同样错误.本文拟通过两个真实具体的案例来阐述“事后补救”的策略. 二、案例与剖析
这是一道周末作业题，学生解答中出现三种不同的解法和结果.笔者特意让三位具有代表性解法的学生上台暴露他们的构思历程与解答过程.
上述三种方法看似都是正确的，可结果截然不同，这是为什么呢？原因何在呢？俗话说得好：“擒贼先擒王”.既然是求空间几何体的体积，那么我们必须从空间多面体概念入手方能解开谜团.文[1]是这样给出空间多面体定义的：
事实上，棱台可以视为用平行于棱锥底面平面去截棱锥，底面和截面之间部分叫做棱台.既然棱台“祖宗”是棱锥，那么棱台就可以还原为棱锥，即棱台各侧棱延长后必然相交一点.我们从逆否命题视角来看：若侧棱延长不是相交于一点，那么就不是棱台.为此我们假设DE与BF延长线相交于点P，依据公理3可知户点必然在直线
上，利用相似性质可得
出现矛盾！故几何体
不可能是棱台，再一次说明学生甲的解法是错误的. 值得指出的是：细心研究教材的老师一定注意到人教版《数学》（必修）第9页第2题就是专门为了考查台体概念而设置的习题，意在凸显台体的关键词：两个底面平行；侧棱相交于一点.事实上，新课标教科书有一个突出特点：主编往往把概念的内涵与本质蕴含在教材的例题、习题中，这一点尤其引起教师的关注.重视概念、追求本质的前提是研究教材，理解教材，钻研教材、重视概念的角度之一就是关注教材例题、习题潜在功能的挖掘与再利用.遗憾的是不少教师误以为例题、习题仅仅是一个普通的题目，甚至认为课本上的题目太简单而不屑一顾，其实例题、习题正是数学概念的延伸与拓展. 仅从表面上看，似乎学生乙与学生丙的处理策略是一致的，只是具体操作不同而已，其实不然！因为通过图3可以发现所求几何体
是一个凹多面体，而学生乙的处理方式本质上默认了所求几何体
是一个凸多面体，因此学生乙的解答是错误的.这一凸一凹正好相差6，这就是为何学生乙的答案比学生丙的答案多6的原因所在. 值得说明的是：目前教科书上呈现多面体一般都是凸多面体，因此学生误以为所有几何体都是凸多面体就不足为怪，由此说明教师在多面体概念教学中应该明确指出并非所有几何体都是凸多面体，并适当地举一些凹多面体的案例让学生辨析，以便预防这些错误的发生. 虽说图形具有形象性、直观性，但空间几何体直观图毕竟不同于实物，因此教师在教学过程中尽可能动手制作一些简单实物模型，让学生真真切切看得见、实实在在摸得着，对于例1，笔者特意用萝卜做了一个实物模型，学生顿时强烈地感受到几何体
，是一个凹多面体.眼见为实，事实胜于雄辩！一个简单的实物模型胜过千言万语！ 例2 假设生男孩和女孩的概率相等，已知一个家庭有3个孩子，其中1个是女孩，求至少有1个男孩的概率. 本题学生给出了以下多种解法： 解法1：设其中一个是女孩为事件A，至少有一个男孩为事件B，则有
解法2：设其中一个是女孩为事件A，至少有一个男孩为事件B，则有
解法3：由于生男孩和女孩的概率相等，因此事件“其中1个是女孩，至少有1个男孩”的概率就是事件“一女两男及两女一男”的概率，即
绝大部分学生采用解法1，笔者求助于同行也觉得解法1是可行的.另外，笔者注意到解法3也多次出现在课外教辅书籍上.似乎上述三种思路及解法均有道理，可是答案却不相同！到底哪一个答案是正确的？为什么？给学生讲解这类问题时应该注意什么？带着这些疑问，笔者将上述三种解法整理成文投稿给杂志并发表得到很多同行的指教. 显然本例是涉及条件概率问题，因此追寻条件概率的原始概念成为厘清问题本质的关键所在.教材中对条件概率及条件概率公式是这样叙述的： 一般地，设A，B为两个事件，且P（A）＞0，称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 对照上述条件概率定义及公式，显然上述解法1就是利用这一公式进行计算的，因此解法1是正确的！ 若Ω表示所有结果全体，由古典概型的概率公式可得
这就是高中数学教师俗称的“缩小样本空间”的观点. 对照这一观点，显然上述解法2就是利用“缩小样本空间”这一观点的指导下进行计算的.应该说解法2构思是正确的，但是解法2将“缩小样本空间”理解为“一女两男；两女一男；三女”等三种情况，可是这三种情况发生的概率并不是等可能，为什么？因为事件“一女两男”与事件“两女一男”又各包含三个基本事件，而事件“三女”仅仅含有一个基本事件，因而与古典概型最关键的本质“等可能”相违背，因而解法2错就错在机械套用公式而没有弄清条件概念公式的本质内涵. 其实顺着解法2的思路，同样利用“缩小样本空间”这‘观点，为了转化为古典概型，就必须保证“等可能”，因此“缩小样本空间”应该理解为“女男男；男女男；男男女；女女男；女男女；男女女：女女女”，因此n（A）=7，此时相应的n（AB）=6，依据上述公式可得
这就是例2的正确解法与答案，其本质就与上述解法1一模一样！至于解法3，我们从解法3的表达式不难看出解法3就是从独立重复试验的角度来思考.其本质相当于求事件“一女两男及两女一男”的概率，这与本题的实质“条件概率”是不符的，因此解法3是错误的，这一点只要对学生阐述清楚，学生是不难理解的！ 无独有偶.笔者注意到人教版《数学》（必修）其中例4就是上述案例2，而且文[5]中还列举了一种错误的解法（不妨称作解法4），即
其实解法4和解法3本质上是一致的，其错误的根源都是在于没有理解条件概率的本质特征，再说因为上述解法4的表达式可以化为解法3，即
三、感悟与对策 （一）吃透教材 对于立体几何教学，将精力重点放在论证线线、线面、面面的平行、垂直位置关系以及求解异面直线、线面、二面角等各类角上，无可厚非.但是论证位置关系也好、求解角度也罢，所有这些都是建立在理解空间结构的基础上，尤其是多面体的概念上，这就是为何文[1]将整个立体几何分成三个模块：空间几何体、点线面位置关系及空间向量与立体几何的原因所在，这就是为何教科书主编特意将空间几何体安排在立体几何起始的原因所在，就是为了刻意凸显空间几何体概念重要性.但现实情况却是对于空间几何体的概念教学，不少教师自以为学生从小学就接触过，况且初中也学过，高中课时紧就让学生课外阅读而一带而过. 概率问题尤其条件概率是师生头疼的问题之一，对于条件概率可以按照上述①来计算，也可依据上述②来处理，其本质是一致的！但是不少学生没有理解从①到②，或者说①与②等价前提条件是古典概型在中间“穿针引线”，即确保“等可能性”这一关键条件，这就是上述解法2错误的根本原因所在！对于“条件概率”必须牢固树立“受一定条件干预”的大前提，否则就与条件概率的本质特征相违背，这就是解法3及解法4错误根源. 事实上，上述案例并非特别难，可是这类错误却在不断地上演，教师周而复始“苦口婆心”地纠正，学生“一如既往”“莫名其妙”地出现错误，甚至“翻新花样”地出现令教师无法想到的“新鲜”错误，为什么？原因在哪儿？归根到底还是概念教学出了问题，那种“一个定义、三个注意、N个练习”的概念教学模式是死记硬背套公式，是治标不治本的“豆腐渣工程”，这样的概念教学为学生日后的作业、考试出现错误培育了“土壤”、埋下了“祸根”. （二）精准定义 美国加州伯克利大学教授伍鸿熙认为概念教学有五个相关联的基本原则，其中首要原则就是概念必须精确定义.其实上述案例1与案例2中所出现的错误都是因为概念不精确、不清晰而导致.尽管教科书列举了大量空间几何体，但基本上都是凸多面体，导致不少教师自己也误以为或者至少没有慎重提醒学生仔细辨别凸多面体与凹多面体，因此出现案例1中的错误并非偶然.条件概率不仅对学生，其实对教师而言也是抽象的.师者传道授业解惑也！倘若师者自己没有吃透概念，没有强调①与②等价前提是古典概型在中间“穿针引线”，而一味反复让学生套用公式，又怎能苛求学生不犯错误呢！概念教学首要任务就是要对概念给予精准定义，让学生清楚明白，这是概念教学的底线.只有概念清晰、畅通，才能有效应用概念解决问题，机械套用公式对巩固概念、提高能力是没有作用的. （三）正反并重 概念教学就是要揭示数学本质，渗透数学思想.概念教学就是要以概念产生、发展过程为载体，让学生经历完整的数学研究过程.笔者认为概念教学不仅要从正面阐述概念内涵、外延等本质属性，同时不妨尝试从反面案例中剖析概念，适当地、有意识地在学生出现错误后采取“事后补救”，从反面剖析概念，加深对概念的理解与把握：从概念的反面突破，培养学生思维的批判性、缜密性及深刻性.让学生经历产生错误的原因以及破解错误的方法与策略，形成正反两方面有机结合，相辅相成.
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