专题复习要促进学生对数学思想方法认识的深化与提高，本文主要内容关键词为：促进学生论文,思想论文,数学论文,专题论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
专题复习的核心教育价值是促进学生深化数学思想方法的认识.数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识.数学思想是建立数学理论和解决数学问题的指导思想，数学方法是研究数学问题的手段、途径、方式、步骤、程序等.前者指的是观点和思想（如数学抽象概括的思想、推理的思想、模型的思想、转化的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等），后者指的是数学活动中的操作方法和程序（如坐标法、消元法、待定系数法、特殊化与一般化方法等）.一方面，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）进一步提高了数学思想方法的教学要求；另一方面，很多专题复习的课堂变成了习题课，没有承担起深化学生数学思想方法认识的教育责任.因此，研究专题复习教学，具有较高的理论和实践价值.
一、《标准（2011年版）》对数学思想方法的要求
《标准（2011年版）》通过课程关键词和总体目标进一步强化了对数学思想方法的要求.首先，《标准（2011年版）》在“总目标”中提出了“获得适应社会生活和进一步发展所必须的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”的要求，其中的基本思想指的是数学抽象的思想、推理的思想和模型的思想，这是基于数学本质的三种最基本的数学思想，抽象的思想是生成新想法、新知识的基本思考方式；推理是建立知识内部关系的逻辑范式；而模型思想则是建立数学知识与外部联系的基本思考方式.《标准（2011年版）》还通过“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想”这10个关键词体现了数学基本思想.比如，与“数与代数”领域内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念不同程度地反映了代数抽象、推理和模型基本思想的要求；与“空间与几何”领域直接关联的空间观念、几何直观、推理能力等关键词则不同程度地反映了几何抽象概括、几何推理和几何模型等基本思想要求；数据分析观念体现的是数据收集、整理、描述、分析、决策等活动，体现的是随机现象中的抽象、推理和模型的基本思想；“综合与实践”则体现的是灵活运用数学思想方法和知识发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的要求，是数学思想方法学习的高层次要求.
二、专题复习的核心内容：数学思想方法的概括和应用
数学历史的发展始终贯穿着两条主线，数学知识的发展和数学思想方法的创新.一方面，数学思想方法是对数学知识及其形成和应用过程的再概括；另一方面，新的、有价值的数学知识的产生依赖于数学思想方法的创新.例如，欧几里得（Euclid）在系统整理和概括前人的几何研究的基础上，写成了《几何原本》，其中贯穿了数学的逻辑推理的思想，标志着数学逻辑推理思想的成熟；笛卡儿在“任何问题转化为数学问题，数学问题转化为代数问题，代数问题转化为方程问题”思想的指导下，创造了坐标法和解析几何，奠定了数形结合思想的基础.个体数学思想方法的形成需要对数学知识的形成和应用活动的过程进行再概括.例如，在数轴、平面直角坐标系、函数图象性质等知识学习过程中，蕴含着“以形表数，以数释形”的数形结合思想，但只有在相关知识的学习过程中不断体验、感悟和概括，才能形成用语言明确表述的更高抽象层次的陈述性知识——数形结合思想.数学思想方法的概括过程如图1所示.
在概括出数学思想方法后，还需要经过应用训练达到巩固内化，通过相互联系达到融会贯通.这种数学思想方法的巩固提高过程可用图2表示.
综上所述，数学思想方法的学习需要经过四个阶段：
在第一阶段，需要学生在模仿操作中体会数学思想方法的应用，学生处于“只可意会，不可言传”的状态，会学着做，但说不出操作要领、步骤方法和适用范围；
在第二阶段，学生在充分体会的基础上，能说出数学思想方法的操作要领、步骤方法和适用范围，能在出声或内部语言（操作指令）的指引下按部就班地操作；
在第三阶段，学生用操作指令进行应用数学思想方法的集中训练，压缩指令系统并逐步把操作程序自动化，把一种数学思想方法转化为问题激活的自动模块；
在第四阶段，学生会根据需要选择适当的数学思想方法，或把几种数学思想方法组合成新的操作程序，或把一些数学思想模块嵌入到其他思想方法中形成新的思想方法，或概括出更抽象、更一般的数学思想方法.
数学思想方法学习的这四个阶段分别称为操作体会阶段、明朗化阶段、自觉运用阶段和融会贯通阶段.
在新授课的教学中，学生学习的重点是通过探究活动形成数学新知，初步体会知识形成过程中的数学思想方法；在基础复习中，学生学习的重点是进行知识结构的优化重组，选择性地应用知识解决问题，在解决问题的过程中体会数学思想方法的应用.在前面的两个学习阶段，学生对数学思想方法的认识基本上仍然停留在操作体会阶段；而用自己的语言概括数学思想方法的操作要领、步骤方法和适用范围则主要在专题复习中进行，因为需要通过应用同一思想方法和不同知识解决问题过程的反思和总结，把基于部分问题解决的基本想法一般化、程序化，对单一的数学思想方法应用的训练也需要在专题复习中进行；数学思想方法的融会贯通则需要通过蕴含不同思想方法的问题解决才能达成，这需要在解题指导教学中进行.
由抽象的思想、推理的思想和模型的思想以及数学研究对象的属性可以派生出更多的数学思想方法，如由模型思想的具体化可以派生出数形结合思想和函数方程思想，由抽象思想可以派生出特殊化与一般化思想，由推理的思想可以派生出归纳、类比、演绎、数学转化和数据分析等思想方法，由特殊化与一般化思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想可以抽象到数学转化思想（这些思想可以看作是转化的方法）.初中阶段数学基本思想和派生出的经典数学思想方法之间的关系如图3所示.
三、数学思想方法在学业水平考试中的体现
数学思想方法是数学的灵魂，因此，数学思想方法的考核应该是数学学业水平考试中的重要内容，数学思想方法产生于数学活动中，也应用于数学活动中，往往蕴含在知识的探究和应用的过程中.
1.数学归纳思想
数学归纳思想的考核，基本上是在规律探索和应用中进行，其中的规律既可以是数据规律也可以是图形规律.数学归纳需要经历对象特征观察、特征数学表示、对象类比、对象特征一般化和检验等过程，大多数试题只要求得出规律，没有展开考核学生归纳中的主要心理活动水平（如例1），也有一些试题考核了归纳类比的一般心理过程（如例2、例3）.
例1 （2012年贵州·毕节卷第20题）在图4中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有________个小正方形.
【评析】此题是在找图形规律中考核数学归纳推理，解决问题的方法是常规的方法——考查第n项
的下标n和项值的关系（如表1），或者考查后项和前项之间的关系，或者采用图形重组方法（如图5）.
例2 （2012年广东·汕头卷第21题）观察下列等式：
试解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式；
（3）求
的值.
【评析】此题给出了前4个等式，先要求学生通过类比写出第5个等式，再通过一般化写出第n个等式，做出归纳，在归纳出规律的基础上应用规律解决问题.通过分项设问方式考核归纳中的观察、类比和一般化操作水平.
例3 （2012年安徽卷第17题）在m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数.
（1）当m、n互质（m、n除1以外无其他公因数）时，观察图6并完成表2：
猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形个数f与m、n之间的数量关系是________；
（2）当m、n不互质时，试画图验证你猜想的关系式是否仍然成立.
【评析】此题属于简单题，但完整考核了归纳推理的“观察、类比、一般化、检验”等基本活动.
2.数学逻辑证明思想
数学逻辑证明思想的考核一般分为纯证明题和探索与证明两类进行考核.前者一般属于中等难度及以下问题（如例4），后者一般属于较难题（如例5）.
例4 （2012年山东·淄博卷第19题）如图7，在
ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE.
求证：四边形AECF是平行四边形.
例5 （2012年辽宁·锦州卷第25题）已知：如下页图8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
（1）如图8（1），当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF；
②CF=BC-CD.
（2）如图8（2），当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，试直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
（3）如图8（3），当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：
①试直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
【评析】此题中的问题（1）是考查逻辑推理和计算；问题（2）则考查数学类比推理，需要学生观察两个图形的相同点（△BAD≌△CAF）和不同点（图8（1）中BD=BC-CD，图8（2）中BD=BC+CD），把握对象的相同点和不同点是类比的核心.同样，问题（3）中第1问也考查学生对图形中的相同点和不同点的把握，第2问则又是利用直角三角形斜边上中线性质及正方形性质进行逻辑推理，其中还考查了化OA、OC关系为正方形对角线关系的转化思想，同时也考查了特殊化与一般化的思想.其实，此题中如果进一步要求学生综合问题（1）、（2）、（3）写出一般化的结论，则能更有效地考查学生的数学概括能力.
3.数学抽象思想
数学抽象体现在对客观事物的数量关系和空间形式特征的概括过程，具体表现为定性把握、定量分析、建立数学模型、研究其性质并推广应用的过程.这种抽象既可以命制小巧型试题（如例6），也可以命制综合性试题（如例7）.
例6 （2008年浙江·台州卷第10题）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图9（1））.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图9（2））的对应点所具有的性质是（ ）.
（A）对应点连线与对称轴垂直
（B）对应点连线被对称轴平分
（C）对应点连线被对称轴垂直平分
（D）对应点连线互相平行
【评析】此题以植物特征为背景，结合平移和轴对称抽象出新的概念，要求学生研究新概念的性质，试题小巧有趣.
例7 （2012年浙江·台州卷第24题）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点.
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图10（1），线段BC与线段OA的距离是________；
当m=5，n=2时，如图10（2），线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为________.
（2）如图10（3），若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2.线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0.作MH⊥Ox，垂足为点H，是否存在m的值使以A、M、H三点为顶点的三角形与△AOD相似.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【评析】此题是建立在两点之间距离、点到直线的距离和平行线之间的距离最短性的基础上抽象出两个图形（线段之间）距离的新概念，要求学生能整合两点之间距离、点到直线之间的距离及两平行直线之间距离等概念的本质属性，在此基础上理解新概念，研究新概念的性质，并要求学生能应用新概念表示和研究图形的属性，用几何图形表示到一条固定直线的距离等于2的平行线段运动时中点所经过的路径，实现定性分析和定量刻画之间的转换，同时也考查了分类讨论和函数方程思想（实际上也考查了模型思想）.
4.数学模型思想
根据《标准（2011年版）》的要求，数学模型思想的考查主要在函数、方程和不等式建模活动中进行（如例7、例8）.建模的背景可以是实际问题背景（如例8）、数学背景（如例7），相应地，解决这些问题时需要从实际问题情境和数学知识中分析数量关系.
例8 （2012年浙江·绍兴卷第23题）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）.
（1）如图11，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为484
，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）.
【评析】此题设计了学生熟悉的背景，考查学生的方程模型和函数模型应用水平，用“平常”的情境承载了核心数学思想.
5.数形结合思想
数形结合思想是几何直观思想的反映，也是反映数学学科本质特征的基本思想（数学是研究数量关系和空间形式之间的科学，两类主要研究对象之间的联系反映了数学研究对象的本质特征）.初中数学中，坐标法和度量法是实现数形结合的基本平台，对数形结合思想的考查，主要以坐标系（如例9）和几何度量为背景（如例7（3））.用数形结合思想解决问题的关键是用几何知识对问题进行直观表示和分析，对图形进行代数刻画，建立适当的模型（函数、方程、不等式）解决问题.
例9（2012年湖北·咸宁卷第24题）如图12，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位的速度，从点O出发沿x轴正方向运动，M是AC的中点，将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为点E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，点A运动时间为t秒.
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BDC的面积为S，当t为何值时，S=
？
（3）连接MB，当MB//OA时，如果抛物线
的顶点在△AMB内部（不包括边），求a的取值范围.
【评析】此题以平面直角坐标系为背景，考查数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想（第2问本质上是求变量S与t之间的函数关系在此基础上求函数值为时对应的自变量的值，转化为方程问题）等.
综上所述，学业水平考试中重点考查的数学思想方法，既有抽象、推理和模型这些基本思想，又关注函数方程、分类讨论、特殊化与一般化、数形结合、数学转化等经典数学思想方法.这类试题要求学生能根据问题特点合理选择、熟练应用这些数学思想方法解决问题.因此，在初中阶段，需要学生对这些数学思想方法有比较深刻的认识，达到融会贯通的水平.这既需要在专题复习中概括和应用数学思想方法，又需要通过解题指导促进学生更好地应用这些数学思想方法.
四、专题复习教学建议
建议1：创设问题情境，引导学生用特定的数学思想方法解决问题
引入性问题情境应该简单，其解决过程中明显地蕴含着某种特定的数学思想方法.例如，在方程思想专题复习教学中，用下面问题作为引例：
古时候有曹冲称象的故事（可先说说故事内容），能用弹簧秤称出大象的重量吗？
2001年在杭州动物园，有人用一把弹簧秤成功地给大象称体重.其做法是：在象笼上安装了一把特长杠杆，用起重机在支点处向上吊起象笼.动力臂长6米，阻力臂长0.8cm，弹簧秤的读数是350牛
（千克），这样就大致称出了大象的体重，能算算大象的体重是多少吗（象笼重0.6吨）？
该引例的价值在于：看似不可能的任务，只要用方程建立已知与未知的联系，就可以解决问题.这个引例本身不难，但蕴含的方程思想相当明显.
建议2：给学生充分的时间和空间进行反思总结，提炼数学思想方法，明确操作步骤和要点，并通过相互交流使概括的结果一般化、简约化
如在方程思想专题复习中，在解决引例问题后，教师通过下列问题引导学生进行充分的反思总结：
①我们是用什么方法解决这个问题的？
②我们是按照哪些步骤解决这个问题的？
③说说用方程解决实际问题的思路.
④这个问题的解决过程给我们以哪些启发？
最后通过交流获得一般化、简约化的方程思想操作模式（如图13）.
体会方程思想的本质是通过方程模型建立已知与未知之间的联系，利用等式性质确定未知量的值.
建议3：在概括形成特定的数学思想方法后，引导学生应用该思想方法进行系统训练
如在方程思想专题复习中，概括了方程思想“利用方程建立已知数据和未知数据的联系，通过解方程获得未知数据”的本质后，让学生从简单到复杂地进行如下的应用训练，并对方程建模的难点“怎样寻找等量关系”再次进行概括和总结.
问题1 （2012年辽宁·沈阳卷第21题）：甲、乙两人加工一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件与乙加工120个零件所用的时间相同，问甲、乙两人每小时分别加工多少个零件？
解析：这个问题中的等量关系是告知的，只要在题目文字表述中找出即可：甲加工150个零件所用的时间=乙加工120个零件所用的时间.
设乙每小时加工零件x个，则甲每小时加工零件（x+10）个.
根据等量关系列出方程
.
得出甲每小时加工零件50个，乙每小时加工零件40个.
问题2 （2012年江苏·南京卷第25题）：某汽车销售公司6月份销售某厂汽车.在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅销出1部汽车，则该汽车进价为27万元，每多销售1部，所出售的汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家还根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（包括10部）每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元.
（1）若该公司当月销售3部汽车，则每部汽车的进价为________元.
（2）如果该汽车销售价格为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车（盈利=销售利润+返利）？
解析：（1）26.8万元；
（2）基本的等量关系是：
盈利=销售利润+返利（这个等量关系需要在题目文字表述中寻找）；
销售利润=销售收入-进货成本（这个等量关系需要根据实际情境确定）；
返利与汽车销售量有关，进货成本与销售量有关（这两个数量关系需要在问题中找出）.
设销售量为x辆，
则每部进价为[27-0.1（x-1）]万元，
总成本为x[27-0.1（x-1）]万元，
总销售收入为28x万元.
返利则需要对销售量进行分类讨论：
①当1＜x≤10时，
有28x-x[27-0.1（x-1）]+0.5x=12.
解得
=6，
=-20（不合题意，舍去）；
②当x＞10时，有28x-x[27-0.1（x-1）]+x=12.
因为28x-x[27-0.1（x-1）]+x＞12，
所以该方程无解.
综上所述，该公司需要售出汽车6部.
问题3：如图14所示，Rt△BCA中，∠C=90°,BC=6，AC=8.点P、Q都是斜边AB上的动点，点P从点B向点A运动（不与点B重合），点Q从点A向点B运动，BP=AQ.点D、E分别是点A、B以点Q、P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于点Q，交AC于点H.当点E到达顶点A时，点P、Q同时停止运动.设BP的长为x，△HDE的面积为y.
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式，并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
解析：此题首先需要运用方程建立三角形形状与BP长之间的联系，然后从等腰三角形的几何性质出发，寻找等量关系，由于随着点P的位置变化，△HDE的形状也在变化，可能出现不同底边和腰的等腰三角形，因此需要进行分类讨论，进而得出答案.
【说明】问题1中的数量关系是直接告知的，问题2的数量关系需要根据实际问题情境寻找，问题3则是需要根据数学（几何）知识去分析的，而且问题表面上难以看出需要用方程来解题，解决这类问题，可以促进学生形成“把方程作为联系已知与未知的工具”的意识，从而促进实现方程思想的内化.在分析等量关系的基础上，要用含有未知数的代数式表示相关的量，这也是列方程中需要注意的.
训练题的选择原则是：表面不同、用到的知识不同，但应用的思想方法都相同.教师应该把训练重点放在思想方法应用的要点上.如方程思想应用的要点是寻找等量关系，而不是根据行程问题、工程问题等表面形式进行肤浅分类，因为问题的背景可以千变万化，进行类型覆盖是不可能的.
建议4：适当引导
由于数学思想方法具有较高的抽象性，学生完全独立概括还是会遇到不少困难，教师要引导学生从操作步骤、操作要领、适用范围等方面引导学生，给学生明确的概括任务，并及时进行评价，组织讨论交流，使数学思想方法明朗化，结果简单易懂，不要隐晦不清，复杂难懂.如把建立函数（方程）模型的步骤概括为“读题目，画图表—标数据，做表示—找关系，列函数（方程）”.
原标题：专题复习要促进学生对数学思想方法认识的深化与提高——谈2013年中考数学专题复习