高中数学新教材第十章教学问答（二），本文主要内容关键词为：第十章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
207 怎样尝试把恒等式C[0][,n]＋C[1][,n]＋…＋C[n][,n]＝2[n]还原到实际生活中去？
答：例如，让学生设想他们所在的班级共有学生n名， 大家正在讨论下星期日是否去某地郊游，求有几种可能的结果。
思路1：按照愿意去郊游的人数，分以下情况进行计算。
无人愿意参加，共有C[0][,n]种结果；
恰有1名学生愿意参加，共有C[1][,n]种结果；
全班学生都愿意参加，共有C[n][,n]种结果。
思路2 ：班主任张老师对全班学生一一询问“你愿意参加这次郊游吗”，那么每一名学生有“愿意”或“不愿意”这2种可能的答复。 问遍全班学生后，就得到了这个问题的全部结果数。根据重复排列的计算方法，一共有
即2[n]种结果。
由于思路1、思路2考虑的是同一个问题，答案应该一致，所以
。
208 怎样运用“构造法”证明一些与组合数有关的等式？
答：我们看一个例子：求证
证法1：考察恒等式
。把等式两边分别用二项式定理展开，并比较x[5]的系数，立即得到原式右边＝左边。
证法2：考察实际问题“高二（1）班共有学生50 人， 其中有男生28人，女生22人，现在要选出5名学生去电视台参加知识竞赛， 问一共有多少种选法”。
一种思路是利用组合的定义，得到一共有C[5][,50]种选法。
另一种思路是按男生、 女生被选出的人数分情况计算：如果选出5名男生，未选出女生，那么共有
两种思路考虑的是同一个问题，答案应该一致。原等式得证。
209 怎样让学生区分排列、组合问题和概率问题？
答：我们可以举例说明：从6名男生和4名女生中，选取1 名男生和2名女生去参加会议，有多少种方法；选取3人，其中有1名男生和2名女生的概率是多少；等等。
要注意用计算概率的方法解一些排列、组合问题。例如，由0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？把这5个数字中任取4个进行排列看作一次实验，这个试验有A[5][,5]种等可能的结果。由于0，1，2，3，4排在首位的概率相等，所以从这5个数字中任取4个组成四位数的概率是4/5。于是所求四位数的个数是A[4][,5]·4/5＝96。
210 怎样使学生正确认识等可能性事件和它的概率的意义？
答：这里的实质在于学生对“等可能性”的正确认识。教学时，应通过实例让学生弄懂“等可能性”指的是其出现的可能性相等的各种结果，而不是指事件。例如，掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”和“一正一反”这3种结果。但是，这3种结果不是等可能的，等可能的结果有4种。又如，从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个的组合数，由于是任意抽取，这些结果出现的可能性都相等。如果这100件产品中有5件次品，那么从中取到1 件合格品，1件次品的等可能的结果数就是C[1][,95]C[1][,5]。
211 怎样让学生区分互斥事件与对立事件？
答：教学这两个概念时，可以用表示集合的文氏图直观说明事件、互斥事件与对立事件之间的关系。还可以利用下面的分类：
据此弄清事件、互斥事件与对立事件的区别和联系。不要让学生误认为：任意两个事件都是互斥事件，所有的互斥事件都是对立事件。
212 怎样使学生正确认识相互独立条件？
答：教学时要通过实例，使学生弄清事件之间“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，前者是指两个事件不可能同时发生，后者则是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。一般地说，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果这些事件是同一个随机试验的不同结果，或同一结果的不同试验，并且其中没有不可能事件）为研究前提的。
还可以使学生通过正反实例来认识：相互独立的几个事件一定两两独立，但两两独立的几个事件不一定相互独立。例如，几台机器生产同样的产品，用Ai（i＝1，2，…，n），表示第i 台机器出现次品这一事件，由于这n台机器中每一台出现次品的可能性都不受其余任意k（k＝1，2，…，n－1）台机器同时出现次品的影响，所以A[,1]，A[,2]，……A[,n]相互独立。显然，每两台机器出现次品的可能性彼此也不受影响，因而它们也是相互独立的。但是又如，从红笔、蓝笔、黑笔和红蓝黑三色笔各一支中任取一支，设事件A、B、C 分别表示用这支笔可以写出红字、蓝字、黑字，那么P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/2。当A发生时，即取出的笔或者是红笔，或者是红蓝黑三色笔，因此这时B、C发生的概率仍然是1/2，可见A发生对P（B）与P（C）都没有影响。 同样可以说明，B发生对P（A）与P（C）都没有影响，C发生对P（A）与P（B）也都没有影响。所以事件A、B、C两两独立。但是，当A、B同时发生时，取出的笔一定是红蓝黑三色笔，因此这时C发生的概率已经是1，而不再是1/2。所以事件A、B、C不是相互独立的。
213 怎样使学生把握概率公式成立的条件， 并且能正确运用这些公式？
答：教学中通过实例引进和验证概率公式时，要注意分析这些公式成立的条件。当A是等可能性事件时，P（A）＝m/n；当A、B 是互斥事件时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；当A、B是相互独立事件时，P （A·B）＝P（A）·P（B）。如果A是某随机试验中可能出现的事件， 且P（A）＝P，我们把这个试验独立地重复进行n次，那么事件A 恰好发生k次的概率P[,n]（k）＝C[k][,n]P[k]（1－P）[n－k]。这些都是学生学习时要特别重视的。尤其在解题时，更要把有关条件分析透彻，弄清它们是什么事件，确定可以使用哪一个概率公式，以至明确解题过程中每个等式成立的依据，使学生养成正确的解题思路。
214 怎样帮助学生分析事件的构成与概率的转化， 提高解决概率问题的能力？
答：对于复杂事件的概率计算，要让学生分清事件的构成与概率的转化，并熟悉“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“不都发生”及“都不发生”等词语的意义。例如，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P（A）、P（B），那么A、B中至少有一个发生为事件A＋B，都发生为事件A·B，都不发生
分析较复杂事件的构成与概率的转化时，也可以借助“树图”。例如，一名工人看管三台机床，在1h内这台机床不需要照顾的概率分别为0.9、0.8、0.85，求这1h内没有机床需要照顾的概率与至少有一台不需要照顾的概率。为此，可设Ai（i＝1，2，3）表示第i 台机床不需要这名工人照顾，画出如下的树图：
第1台 第2台 第3台 结果
由此图可以看到，没有机床需要照顾的概率为
＝0.612。由于至少有一台不需要照顾的情况比较复杂，它的对立事件则比较简单，因而把至少有一台不需要照顾的概率转化为
215 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式的推论是什么？可不可以给学生介绍这一推论
答：显然，n次独立重复试验中事件A至少发生k次的概率
叫做二项概率公式。今后有一部分学生还要继续学习这一概率类型。
学生在解决实际问题时，往往要用到上述推论。
例如，甲、乙两人下棋，每下3盘甲平均能胜2盘，某次甲、乙两人要下5盘棋，求甲至少胜3盘的概率是多少。
解：5盘棋中甲至少胜3盘的概率为
又如，20世纪60年代，某气象台天气预报的准确率仅为80 ％， 到90年代，由于科技预测手段的不断更新，此气象台天气预报的准确率提高了15个百分点。计算：
（1）20世纪60年代，5次天气预报中恰有4次准确的概率是多少；
（2）20世纪90年代，5次天气预报中至少有4 次准确的概率是多少。
解：（1）20世纪60年代，
P[,5]（4）＝C[4][,5]（0.8）[4]（1－0.8）[1]≈0.41；
（2）20世纪90年代，
P[,5]（4）＋P[,5]（5）＝C[4][,5]（0.95）[4]（1－0.95）＋0.95[5]≈0.98。
思考题
1.如何帮助学生了解利用概率的统计定义求概率的基本方法，并体会其中归纳法的实用价值？如何通过概率产生的背景、定义与求值，感受偶然性与必然性的辩证关系？
2.就学生在日常生活中要遇到的一些热点问题（例如竞赛、抽奖、盲答选择题等），引导他们运用概率知识去进行探究，并得出一些有用的结论。