梯形模糊偏好关系的 DEA交叉效率群决策方法研究 ^①

曹朝金¹， 刘金培^1,2， 范咪娜¹， 李晓雪¹， 黄 冲¹

(1.安徽大学商学院,安徽 合肥 230601; 2.北卡罗莱纳州立大学工业与系统工程系,美国 罗利 27695)

摘 要： 针对梯形模糊偏好关系信息环境下的群决策问题，设计了一种面向区间DEA交叉效率的群决策方法。首先，利用α -截集将梯形模糊偏好关系转化为区间模糊偏好关系，并证明其符合DEA的产出特征，进而建立区间模糊偏好关系对应的交叉效率DEA模型，将自评和他评相结合，得到每个方案的区间交叉效率值。将不同专家的区间交叉效率矩阵通过UOWA算子进行集结，然后计算出决策单元的最大后悔值，据此得到最终的方案排序结果。实证分析表明该方法不需要对偏好关系进行一致性调整，可以有效减少决策信息的损失，有着较好的适用性。

关键词： 群决策；梯形模糊偏好关系；交叉效率DEA；α -截集

0 引 言

在群决策中，决策者通过两两比较方案给出偏好关系。常见的偏好关系分为确定性和不确定性两类^[1～3]。在实际的决策过程中，因为决策问题的复杂性和不确定性以及决策者主观和客观因素的不同，决策者们往往更倾向于用模糊的决策信息来描述自己的判断，如模糊语言评价信息^[2]和梯形模糊偏好关系^[3]等。近年来，对梯形模糊偏好关系的群决策研究已经成为了人们关注的热点。针对梯形模糊偏好关系的群决策问题，Wu等^[3]提出乘性梯形模糊偏好关系的相容性测度，并以单个偏好关系与群体的相容性指标最小化为准则，建立了群决策模型。目前，对偏好关系排序向量的求解，大多基于偏好关系的一致性来构建优化模型，通过求解模型得到排序向量^[4]。Zhang^[5]以群体区间乘性偏好关系一致性水平最大化为目标，通过构建一致性模型，以解决区间乘性偏好关系的群决策问题。然而，目前已有的乘性梯形模糊偏好关系的群决策还存在以下两个问题：一方面，由于对偏好关系使用一致性调整，使决策者们给出的原始信息被修改，这令决策结论的可靠性难以得到保证^[6]。另一方面，在梯形模糊偏好关系的群决策环境下，如何建立合适的模糊DEA交叉效率模型来解决这类决策问题，尚未见到相关的研究。为了解决上述问题，提出一种新的基于α -截集的区间DEA交叉效率群决策方法。利用α -截集将梯形模糊偏好关系转化为区间模糊偏好关系，进而建立区间模糊偏好关系对应的交叉效率DEA模型，将自评和他评相结合，得到每个方案的区间交叉效率值。将不同专家的区间交叉效率矩阵通过UOWA算子进行集结，计算出决策单元的最大后悔值，据此得到最终的方案排序结果。进而通过实证分析来验证该方法的适用性。

1 基本概念

梯形模糊数的定义如下：

“人才强桂”的青年创新人才培育研究 ……………………………………………………………………… 邵雷鹏 张 慧（5/42）

定义 1^[3] 若模糊数a ₂a ₃a ₄，其隶属度函数满足：

周去非在“氈”（“氈”即“毡”，本文以下用皆用毡”字——笔者按）一则中提到：“西南蛮地产绵羊，固宜多毡毳。自蛮王而下至小蛮，无一不披毡者，但蛮王中锦衫披毡，小蛮袒裼披毡尔。北毡厚而坚，南毡之长至三丈余，其阔亦一丈六七尺，摺其阔而夹缝之，犹八九尺许。以一长毡带贯其摺处，乃披毡而紧带于腰，婆娑然也，昼则披，夜则卧，雨晴寒暑未始离身。其上有核桃纹，长大而轻者为妙，大理国所产也，佳者缘以皂。”

(1)

则称模糊数是梯形模糊数。

对任意的两个梯形模糊数和有加法运算法则：

在群决策过程中，设方案集为X ={x ₁,x ₂,…,x _n }，x _i 表示第i 个决策方案，i =1,2,…,n 。专家对于方案集X 中的多个方案进行成对比较，根据语言评价集S ={s _α |α =-t ,…,-1,0,1,…,t }，其中t 为偶数且满足t 8，给出语言偏好关系矩阵P =(p _ij )_n×n 。这里p _ij =s _α ∈S 表示方案x _i 对方案x _j 的偏好程度。

通过语言评价集S 和梯形模糊数的对应关系^[8]，可将语言判断矩阵P =(p _ij )_n×n 转化为梯形模糊数判断矩阵其中为梯形模糊数。

2) 自装置开车以来，黑水角阀阀座及阀芯被冲刷磨损，角阀筒体侧上部多次因冲刷发生泄漏，严重制约着装置的稳定运行，气化炉停车检修期间发现阀座局部冲刷严重，阀芯表面硬质材料磨损严重。分析原因后，确定为阀门CV值过大，开度变小，黑水流经角阀处形成偏流，从而导致闪蒸，角阀阀座出现局部磨损，内件磨损腐蚀，引起黑水偏喷现象。

则称乘性梯形模糊偏好关系P 满足完全一致性。

定义 2^[3] 对判断矩阵其中是梯形模糊数，表示方案x _i 对x _j 的偏好程度，且∀i ,j =1,2,···,n ，有a _ij1 a _ij2 a _ij3 a _ij4 9，满足：

a _ii1 =a _ii2 =a _ii3 =a _ii4 =1,i =1,2,…,n ;

(2)

a _ij1 a _ji4 =a _ij2 a _ji3 =a _ij3 a _ji2 =a _ij4 a _ji1 =1,

α -截集在将梯形模糊数转化为区间数的同时，也可将梯形模糊偏好关系转化为区间模糊偏好关系。下面，通过定理1来说明将语言术语对应到梯形模糊数，然后利用α -截集转化为区间数的过程中，保证了信息的单调性。

(3)

则称区间数A (α )为梯形模糊数的α -截集。可见模糊数的α -截集是隶属度不低于α 的数据集合，即

定义 3^[9] 若乘性梯形模糊偏好关系满足：

(4)

农村居民点各项景观指数随公路距离增加而减小的规律明显。距离交通1 000 m以内的农村居民点数量占比为52.4%，且景观形态指数较高，区域内农村居民点数量分布多而离散。农村居民点总面积随距离增加下降明显且平均斑块面积及标准差逐渐下降。形状指数随距离增加变化不明显。表明道路交通对区域农村居民点数量分布影响较大，对于农村居民点规模分布具有一定程度的影响而对于其形态特征无明显影响。

文化建设型古村古镇应在深度挖掘地方特色文化基础上，以开放态度传承革新，将现代文化要素低调注入，形成传统文化与现代元素完美结合的文化区。洪江古商城的核心优势是凝聚着商人思维方式、价值观念及哲学思辨的商道文化。应强化“中国商业古都”文化品牌，一方面挖掘有关商业故事的地方文化，同时积极吸引国内各行各业企业家前来展示行业的发展史；另一方面注重古建筑修缮保护工作，将商道文化精神体验与怀旧审美体验结合，向世人传输正确的商业价值观，形成具有独特商道文化气质的旅游地。

2 梯形模糊偏好关系的DEA交叉效率群决策方法

2.1 梯形模糊偏好关系的α -截集

首先利用α -截集，将梯形模糊数转化为区间数。同时，梯形模糊偏好关系转化为与α 相关的区间模糊偏好关系。

定义 4^[7] 对梯形模糊数和任意隶属度α ∈[0,1]，可以将梯形模糊数转化为与隶属度水平α 相对应的区间数A (α )=[A ^L (α ),A ^U (α )]，其中

编者按：2018年是中国改革开放四十周年。四十年来，上海化工行业发展由封闭向开放，由简单初级向绿色高端，由传统要素投入向科技创新驱动加快转变的40年。四十年来，上海化工人众志成城、砥砺奋进、艰难探索，实现了上海石化产业的跨越式发展。四十年的历史值得记载，四十年的经验值得总结，四十年的春华秋实，让人感慨。本刊特开辟纪念专栏，向读者介绍上海石化产业改革发展的典型事例和成功经验，以飨读者。

A ^L (α )=αa ₂+(1-α )a ₁,A ^U (α )=

αa ₃+(1-α )a ₄.

(5)

则称P 为乘性梯形模糊偏好关系。

i ,j =1,2,…,n .

我国的公共决策机制是与人民当家作主的民主政治制度相适应的，同时也是社会环境和国家治理模式共同作用的结果。坚持人民立场，充分保证人民参与和制定政策的权利，不断维护和增进人民利益。经过新民主主义革命，在马克思主义的指导下，不断总结党和人民的实践经验，我国建立起以中国共产党的领导为核心，人民代表大会制度、政治协商制度、基层群众自治制度、民族区域自治制度为基础的社会主义多元民主参与机制，以中国特色社会主义法律体系为保障的监督机制的“一核多元”格局的公共决策机制，但由于民主政治制度发展不充分，机制的作用没有充分发挥，制度潜能没有充分释放。

证明： 若s ₁优于s ₂，由表1可知，a _1i ≥a _2i ，i =1,2,3,4，根据式(5)得：

3）高职生就业的岗位环境也是复杂的，一般公司招聘的高职生比较多，无法像本科生、研究生那样对口；或者一些比较小的公司把一个人当作几个人来用，要求员工什么都要会用。而相反，一些本科生或研究生从事的工作就很专一，不需要不断地变化工种。

αa ₁₃+(1-α )a ₁₄

αa ₂₃+(1-α )a ₂₄

显然，且从而有A ₁(α )≥A ₂(α )，证毕。

2.2 梯形模糊偏好关系的交叉效率DEA模型

其中，为DMU _k 的自评效率上限值，通过求解模型(10)，得到最优权重解该权重使DMU _k 本身的效率值上限不变，让其余决策单元DMU _j (j =1,2,…,n )的效率值下限之和最小。因此，可以利用该最优权重求得DMU _j (j =1,2,…,n )的他评效率值下限为：

设专家对方案集X ={x ₁,x ₂,…,x _n }给出梯形模糊偏好关系将方案集X 中被评价的方案视为独立的决策单元，方案x _i 对应决策单元为DMU _i (i =1,2,…,n )。一般来说，若方案x _i 优于x _j ，则对∀k ∈{1,2,…,n }，方案x _i 对x _k 的语言评价要优于方案x _j 对x _k 的语言评价，将语言评价对应的梯形模糊数和后，再使用α -截集转化为区间数A _ik (α )和A _jk (α )，由定理1可知，此时对于∀α ∈[0,1]，有A _ik (α )≥A _jk (α )，所以区间模糊偏好关系P =(A _ij (α ))_n×n 满足DEA模型的产出变量特征。P =(A _ij (α ))_n×n 中的每一列均可视作DEA模型的一类产出。又因为DEA模型中的决策单元需要至少一个的投入变量，将每个决策单元都设置一个相同的虚拟投入变量A ₀(α )=(1,1)，该投入变量是“同等重要”语言评价转化的梯形模糊数，再通过α -截集得到的区间数，由于左右两端点的值一样，因此A ₀(α )可以退化成一个实数1，即A ₀(α )=1。基于P =(A _ij (α ))_n×n 的DEA模型投入产出表如表1所示，其中

培育壮大新动能有利于推进供给侧结构性改革。与需求管理政策相比，供给侧结构性改革一方面强调通过提高效率驱动经济增长，另一方面强调通过培育增量来化解存量矛盾。而培育壮大新动能，既可达到通过提高效率驱动经济增长的结果，又可达到通过培育增量来化解存量矛盾的效果。

表 1 P =( A _ij ( α )) _n×n 对应的 DEA投入产出表

根据表1，构建CCR模型(6)和(7)，分别计算决策单元DMU _k (k =1,2,…,n )效率值的上限和下限

(6)

(7)

其中，v _k 和u _rk (r =1,2,…,n )分别表示投入和产出变量的权重，通过对模型(6)和(7)的求解，可以得到决策单元DMU _k 的最优区间效率值当时，决策单元DMU _k 有效，且效率值为1。

为了使评价结果更加公平，将自评价与它评价相结合。为此，建立如下的二次目标交叉效率DEA模型：

(8)

其中，为DMU _k 的自评效率下限值，通过求解模型(8)，得到最优权重解该权重使DMU _k 自身的效率值下限不变，让其余决策单元DMU _j (j =1,2,…,n )的效率值上限之和最大。因此，可以利用该最优权重求得DMU _j (j =1,2,…,n )的他评效率值上限。DMU _k 对DMU _j 的效率评价值上限为：

(9)

进一步，建立如下的二次目标交叉效率DEA模型：

(10)

为了使排序方法更具可靠性和合理性，本节提出一种基于交叉效率DEA的梯形模糊偏好关系排序方法，可以避免对原始梯形模糊偏好关系的一致性调整。

(11)

最后，对于决策单元DMU _j (j =1,2,…,n )，根据模型(6)和式(9)分别求出自评效率值上限和他评效率值上限后，再将它们的平均值作为方案x _j 的最终交叉效率值上限：

(12)

根据模型(7)和式(11)分别求出所有交叉效率值下限后，将其所有交叉效率值的均值作为方案x _j 的最终交叉效率值下限：

(13)

2.3 基于后悔值的区间交叉效率排序

在群决策过程中，专家集为E ={e ₁,e ₂,…,e _m }，每位专家给出乘性梯形模糊偏好关系根据梯形模糊偏好关系的交叉效率DEA模型，得到第j 个方案的区间交叉效率假设专家权重为w =(w ₁,w ₂,…,w _m )^T ，利用UOWA算子^[10]将所有专家的区间交叉效率加权平均集结成综合区间交叉效率

定理 1 对任意的两个语言评价术语s ₁、s ₂，若s ₁优于s ₂，分别对应模糊数对于∀α ∈[0,1]，有区间数A ₁(α )≥A ₂(α )。

(14)

利用最大后悔值准则对全部决策单元进行排序，方案DMU _k (k =1,2,…,n )与其它方案相比，最大后悔值为：

学习目标是双向的，既是学生的学习目标，也是教师检测课堂教学效果的依据。学生要学会什么？学生可以吸收的信息量有哪些？学生吸收这些信息最有效的方式是什么？学生能带走的印象最深刻的知识点是什么？教师需要明确每次课程要教什么内容？课前需准备丰富的教学资料，包括很多不同的知识点。

(15)

计算所有方案的最大后悔值，挑选出最小的最大后悔值对应的决策单元，为最优方案。然后，剔除该决策单元，重新计算剩余方案的最大后悔值，挑选次优方案。进而重复上述步骤，直至全部决策单元完成排序。

综上，提出乘性梯形模糊偏好关系的交叉效率DEA群决策方法步骤如下：

Step1 在群决策中，专家集E ={e ₁,e ₂,…,e _m }里每位专家基于语言术语和对应规则分别给出自己的梯形模糊偏好关系

Step2 利用式(5)将梯形模糊偏好关系转化为区间模糊偏好关系其中α ∈[0,1]。然后根据模型(6)和(7)，获得每位专家对n 个方案的自评区间效率值再分别利用模型(8)、式(9)和模型(10)、式(11)，得到全部方案的他评效率值上限和他评效率下限最后根据式(12)和(13)，求得区间交叉效率值

Step3 根据专家权重w =(w ₁,w ₂,…,w _m )^T ，利用式(14)对m 个交叉区间效率矩阵进行集成，得到综合区间交叉效率矩阵进而利用式(15)计算出各方案的最大后悔值，利用最大后悔值准则对不同方案进行排序。

3 实证分析

雄安新区的设立作为推进实施京津冀协同发展战略，疏解北京非首都功能的一项重大决策部署，有着非常重要的意义。但近几年来，雄安新区所处的河北省却一直位于雾霾污染严重省份的前几名，因此雾霾污染的治理迫在眉睫。现有5个雾霾治理方案供选择：x ₁：制定限制污染排放政策、提高污染气体排放标准；x ₂：加强扬尘治理、减少入城扬尘；x ₃：制造雾霾吸收装置；x ₄：提高能源利用率、降低不必要排放；x ₅：改变城市设计、增加绿色植被面积。

为了更好地解决雾霾污染问题，需要对这5个雾霾治理的办法进行优先级的排序。现由环保部门聘请3位专家根据自己的知识和经验，根据评价语言术语集S ={s _-4=绝对不重要，s _-3=非常不重要，s _-2=不重要，s _-1=稍微不重要，s ₀=同等重要，s ₁=稍微重要，s ₂=重要，s ₃=非常重要，s ₄=绝对重要}，对5个方案进行两两评价。已知3位专家的权重向量w =(0.3,0.4,0.3)^T ，3位专家分别对全部方案给出语言评价，分别为：

记者日前从上海市教委获悉，新学期上海将推动实施公办初中强校工程，为116所实验校配备名校长名师或优先把实验校校长教师纳入名校长名师培养对象，构建优质资源带动的紧密型学区集团，并启动针对强校工程的增值评估。

根据语言术语与梯形模糊数的对应关系得到梯形模糊偏好关系，利用所提出基于梯形模糊偏好关系的群决策方法，根据上述计算流程，取α 值分别为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9时，计算各决策单元的综合区间交叉效率值，然后利用最大后悔值准则对不同的α 值下的计算结果进行排序，最后得到的方案排序结果均相同，即在不同α 值下，5种方案的排序结果都为：x ₄≻x ₂≻x ₅≻x ₁≻x ₃。因此，计算结果表明，治理方案4应为最优先执行的方案。

4 结 语

对于梯形模糊偏好关系群决策中存在的问题，如一致性调整会导致专家的原始信息丢失等，提出了一种新的基于交叉效率DEA模型的群决策方法。该方法将备选方案作为决策单元，利用α -截集将梯形模糊偏好关系转化为区间数矩阵，建立区间DEA交叉效率模型。通过UWOA算子集结所有专家的区间交叉效率，得到综合区间交叉效率矩阵，最后基于决策单元的最大后悔值准则获取所有方案排序结果。我们所提出的群决策方法不需要在前期对偏好关系进行一致性调整，减少了原始信息的损失，因此具有较好的适用性。

新动能是相对于旧动能来说的。何为旧动能？旧动能主要是指规模速度型目标导向、模仿跟踪型主体支撑、GDP导向制度引领、传统低端产业发展、粗放投入型要素配置，具体表现为：大目标GDP增速、大国企外企主导、大规模造城运动、大规模基础设施建设、大规模开发区建设、大规模要素投入、大规模招商引资、大规模模仿复制等。何谓新动能？新动能主要指质量效益型目标导向、创新型主体支撑、可持续制度引领、新兴高端产业发展、高级要素配置，具体表现为：新动能驱动（新制度、新要素、新市场）；新产业形态（新产业、新产品、新业态、新模式、新品牌）；新主体支撑（新企业、新企业家、新居民、新平台）。

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Research on DEA Cross -efficiency Group Decision Making Method with Trapezoidal Fuzzy Preference Relations

CAO Chao -jin ¹,LIU Jin -pei ^{1, 2},FAN Mi -na ¹,LI Xiao -xue ¹,HUANG Chong ¹

(1.College of Business ,Anhui University ,Hefei 230601,China ; 2. Department of Industrial and Systems Engineering ,North Carolina State University , 27695 Raleigh USA )

Abstract : Aiming at the group decision making problem with trapezoidal fuzzy preferences, a new group decision making method based on interval DEA cross-efficiency is proposed. First, the trapezoidal fuzzy preference relation is transformed into interval fuzzy preference relation using cuts, which are proven to satisfy the output characteristics of DEA. Then, the DEA cross-efficiency model for any interval fuzzy preference relation is established. The cross-efficiency value of each alternative is obtained by combining self-evaluation and other-evaluation. The interval cross-efficiency matrix from each expert is aggregated by UOWA operator. The maximum regret value of the decision making unit is then calculated, based on which the final ranking results are obtained. The empirical analysis shows that this method does not need to adjust the consistency of each preference relationship and can effectively avoid the loss of decision information. Thus our method has good applicability.

Key words : group decision making;trapezoidal fuzzy preference relation; cross-efficiency DEA; α -cuts

文章编号： 1008-1402( 2019) 04-0658-05

^①收稿日期： 2019-05-29

基金项目： 国家自然科学基金(71501002,61502003,71771001,71701001); 安徽省自然科学基金(1808085QG211,1608085QF133); 安徽省高校省级自然科学研究重点项目(KJ2015A379，KJ2017A026，KJ2016A250); 安徽大学2018年国家级大学生创新训练项目(201810357186)。

作者简介： 曹朝金(1998-)，男，福建三明人，研究方向：决策分析研究。

通讯作者： 刘金培(1984-)，男，山东滨州人，副教授，研究方向：决策分析研究。

中图分类号： C934

文献标识码： A

标签：群决策论文;  梯形模糊偏好关系论文;  交叉效率DEA论文;  α-截集论文;  安徽大学商学院论文;  北卡罗莱纳州立大学工业与系统工程系论文;