基于VaR的风险分析理论与计算方法，本文主要内容关键词为：计算方法论文,风险论文,理论论文,VaR论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F830.9
引言
VaR（Value at Risk）是一种利用统计技术来度量有价证券金融风险的一种方法。其数学定义为：
P（△P[,△t]≤VaR）＝δ其中△P[,△t]表示在△t时间内，某个有价证券的市场值的变化，δ为给定的概率。
即：对某个有价证券，在市场条件下，对给定的时间区间的置信水平，VaR给出了该有价证券最大可能的预期损失。VaR回答了：发生损失大于给定的VaR的概率小于δ。也即是说，我们可以1－δ的概率保证，损失不会超过VaR。例如，某公司其每天交易的有价证券的日VaR值在99%的置信水平下为100万，这即是说，在正常的市场条件下，仅有1%的可能其损失在一天之内超过100万。这一数据不仅给出了公司市场风险暴露的大小，同时也给出了损失的概率。在过去的几年里，VaR 已成为市场风险度量的代名词。
1994年J.P.Morgan[1]银行首先公布了它的VaR 系统RiskMetrics，它能够测评全世界30个国家140种金融工具的VaR值。从此以后VaR 发展迅速，目前正在成为金融风险管理的国标标准。在银行界，无论是国际银行业的巴塞尔委员会、美联储、国际清算银行，还是新近成立的欧洲中央银行，都倡导将VaR作为一种可行的风险管理方法。1996年9月6 日，美国三大金融管理机构：财政部货币监管署、联邦储备系统、联邦存款保险公司联合作出决议，从1998年1月1 日起美国所有银行必须实施VaR风险管理方法，并定期报告评估结果。在证券界，VaR已得到了国际掉换与衍生工具协会、美国标准普尔公司、穆迪投资服务公司等权威机构的支持。美国证券交易委员会与华尔街六大证券公司也达成协议，用VaR并结论其它方法来制定资本金的最低要求。
一、VaR的计算方法
根据VaR的定义，VaR 分析依赖于收益率特别是极收益率（Extreme Returns）的分布，而极收益率的特性与整个收益率过程的特性是不相同的。因此如何准确描述、估计收益率的尾部特性，成为计算VaR 的方法好坏的关键因素。
VaR的分析、计算方法很多，有基于局部赋值的Delta-normal 方法，Delta-gamma估计，也有基于全部赋值的Historical-Simulation方法，Stress Testing方法，Structured Monte Carlo方法以及Heavy Tail方法等。本文给出4种计算VaR的方法；J.P.Morgan的RiskMetrics方法，Historical Simulation方法，Heavy Tail方法和基于Bootstrap抽样的Monte Carlo方法，以便分析比较它们各自得出的VaR值的特征。我们仅考虑单因素的情况，即汇率的变化所带来的有价证券值的变化。这样，收益率即是汇率的变化率。
（一）RiskMetrics方法
RiskMetrics方法的实质是假定有价证券的收益率服从正态分布。 这样通过样本估计出均值与方差，对某个给定的概率，就可计算出相应的VaR值。
例如，一美国公司持有1.4亿德国马克的外汇头寸， 由于马克对美元汇率的变化，带来公司收入（以美元计）的变化。设现在马克／美元的汇率为1.4，则公司头寸的市值为1亿美元。下面我们来计算公司每日最大可能的损失，当概率δ＝0.05时。
如果我们假定外汇市场的收益率服从正态分布N（0，σ[2]）， 且σ＝0.565%，则当概率为0.05时，该公司的VaR值为：
外汇风险：VaR＝1亿×0.65×σ＝932000（美元）
即公司在一天之内，其损失超过932000美元的可能性不大于5%。也就是说，有95%的把握保证公司一天之内的损失小于93200美元。
在对工作日内的险及隔夜风险分析与估计时，正态性假定是很有效的。但对非经常事件，正态性假定是不恰当的。事实已经证明，收益率的分布是厚尾的，因而正态性的假定会导致对极事件的VaR 值的严重低估。后面对外汇市场的VaR分析证明了这一点。
（二）Historical Simulation方法
Historical Simulation （HS）方法作为一种常用于VaR估值的方法，其好处是对收益率的分布几乎无需什么假定，且极容易实现。其主要的假定是：在样本周期中，收益率的分布是不变的，它用收益率的历史值来预测未来值。同其它方法相比较，历史模拟还是很好的[2]。
然而HS方法对极事件的预测，效果很差。这主要是：根据HS的定义，用历史的信息并不能预测未来的突发事件；HS也没有对样本中处于边界的事件给出准确的概率估值；而且样本大小的选取对HS的估值影响很大，加上HS方法过于简单，难以进行敏感性分析。
在本文中，我们将外汇市场的收益率按由小到大进行排序，然后用频率做为概率的估计，从而确定VaR的值。
（三）Heavy Tail方法
对应于5种汇率的变化率，其直方图如图1所示。
图1
从图1 中我们可看到其分布基本上都不满足正态性。 因而用RiskMetricks技术所估计的VaR值，误差一般比较大， 而且常常是低估。
由于VaR分析在很大程度上依赖于极收益率或峰值， 因此对收益率分布的尾部的估计就显得特别重要， 这里我们采用Danielsson
Jon and Casper G.de Vries[3～5] 所给出的半参数方法， 即厚尾（Heavy Tail）方法进行VaR估值。
设收益率X的分布函数为F（x），在适度的正则条件下，当x→∞时，F（x）有二阶展式：
F（x）≈1－ax[-a][1+bx[-β]] α，β≥0其中，a，b，α，β都是参数，该展式中，主要的参数为α，称之为尾指数，它代表了尾的厚度。参数b和β二阶等价于a和α。
由Hill估计量为：
这里，｛X[,i]｝是一将收益率按升序排序后所得的数列，M是一随机数，其确定方法如下：
对每一个M，M＝1，2，…，n，可以得到一个1／α的值，其中n 代表样本的个数。
图2为对应的外汇市场上5种汇率变化率的1／α的分布图，横轴为M，纵轴为1／a。
从图2中我们可以看到，相对于加元／美元的汇率，当M≥8时，1／α的波动不大，变化比较有规律，因此我们选取M＝8。同理对英镑／美元、法郎／美元、马克／美元、日元／美元的汇率分别选取M 的值为10，10，10，12。从而由下式：
可计算出VaR的值。
由分布的经验性质可知，对于对称分布，偏度为0。若偏度大于0，则分布曲线右偏；若偏度小于0，则分布曲线左偏。对于正态分布， 峰度为0。峰度越小，分布曲线的峰越“陡峭”； 否则分布曲线的峰越“平坦”。表1为汇率变化率的数字特征。 下面我们可以看到用HeavyTail方法所估计的VaR值与上述特征完全相吻合。
表1 汇率变化率的数字特征
加元/美元 英镑/美元 法郎/美元 马克/美元 日元/美元
标准差
0.013450.032510.032870.033970.03440
偏度 0.715830.147710.215960.05761-0.43613
峰度 5.311234.970714.049544.139244.51151
（四）The Bootstrap 方法
前面所给出的3种方法，都是在已有历史数据的基础上进行VaR分析。借助于蒙特卡罗仿真的思想，我们用Bootstrap 方法来模拟汇率在未来时刻其可能的取值，从而对VaR进行估值。事实上， 蒙特卡罗分析由于其计算方法的易实现性，是迄今为止最常用的计算VaR的方法。 它可用来分析各种类型的风险，如非线性的价格风险、波动性风险、甚至是模型风险。它可在波动性中包含时间的变化，厚尾和极端的情况。
Bootstrap[6,7]是一种基于计算机的统计推断方法，它不需对未知总体作任何假定，通过对已有的样本采用有放回的抽样（每个样本被抽到的概率都相同）来产生伪随机数，从而对总体的特征作出推断。
设R[,k]，k＝1，2，…，M是汇率的变化率，S[,t]是汇率的现值，S[,T]是汇率的未来值。对R[,k]采用有放回的随机抽样，每个R[,k] 被抽到的概率都是1／M。设第i次抽取的是R[,m(i)]，由公式：
S[,t+i]＝S[,t+i-1]（1+R[,m(i)]）
当i从1变到n时，记S[1][,T]＝S[,t+n]是汇率的一个未来值。重复上面的步骤N次，我们可以得到汇率的一列伪随机数S[1][,T]，S[2][,T]，…S[N][,T]。将其与S[,t]进行比较，从而可求出VaR的值。
由S[,t]的计算公式可知，如果R[,k]服从正态分布，由此生成的S[,T]也一定是正态的。由Bootstrap方法估计的VaR值与RiskMetrics 估计的VaR值应完全一样，任何的偏差都一定是由抽样误差造成的。
在下面的计算中，我们取N＝8000，由R＝lnS[,T]－lnS[,t]计算而得的各种汇率的变化率的直方图如图3所示。
由5种汇率其变化率的直方图， 我们不能认定汇率的变化率的分布满足正态性。
Monte Carlo方法，常常所需的计算量很大，计算时间长， 尤其是对较复杂的有价证券。因而在现今瞬息万变的金融市场上，常常需在计算精度与计算量上作某种程度的折衷。
二、结果及其分析
本文中，数据来至于IMF（International Monetary Fund），各种汇率的数据为月度数据，从1973年1月到1998年12月共312个数据。
表2 外汇市场的VaR值
RiskMetrics Historical
δ CAEN FR GE JA CAEN FR
0.0001 4.92 11.86 12.19 12.84 13.04 3.37 13.98 10.71
0.001
4.07
9.84 10.12 10.70 10.89 3.37 13.98 10.71
0.013.03
7.38
7.62
8.11
8.27 2.29
8.00
8.18
0.052.10
5.18
5.38
5.79
5.94 2.04
4.96
5.31
simulation
GE
JA
11.64 15.01
11.64 15.01
10.68 9.13
5.59 6.71
Heavy TailThe Bootstrap
δ CAEN FR GE JA CAEN FR
0.0001 4.66 21.59 18.17 21.78 22.23 5.57 21.31 19.29
0.001
3.63 12.49 12.25 13.81 14.25 5.17 17.49 14.95
0.012.82
7.22
8.26
8.86
9.14 3.82 10.95 10.85
0.052.37
4.93
6.27
6.06
6.70 2.61
7.07
7.48
GE
JA
23.29 25.84
16.88 20.94
12.28 14.55
8.23
9.13
表中CA、EN、FR、GE、JA分别代表加元、英镑、法郎、马克、日元，表中的数据为百分数。VaR值的计算方法为：
VaR＝头寸值×表中数据
如一美国公司在1998年12月持有1.53亿加元的外汇头寸，此时加元／美元的汇率为1.53，则该公司的头寸市值为1亿美元。当概率为0.01时，由RiskMetrics方法估计的公司的VaR值为：
1亿×3.03%＝3030000（美元）
即该公司的损失超过3030000美元的概率小于1%。
根据上面对外汇市场VaR的分析，我们可以得出以下几个结论：
（1）用4种方法计算的VaR值，加元最小，日元最大，英镑、 法郎和马克相差不多。即在外汇市场上持有加元的风险最小，日元的风险最大。这同现实情况完全相吻合。
（2）从图表中我们可以看到， 外汇市场其收益率的分布具有厚尾性。用Heavy Tail方法和The Bootstrap 方法计算而得的VaR 值大于用RiskMetrics方法计算所得的VaR值。这一结果进一步验证了已有的结论：用RiskMetrics方法估计VaR时，其值常常被低估。而Heavy Tail方法，由于是用F（x）＝e[-ax]来模拟分布的尾部特征，它更接近于收益率的真实分布，因而效果也较好。而采用The Bootstrap方法模拟汇率在未来时刻其可能的取值时，能将极事件包含其中，因而随着模拟次数的增加，模拟值中极事件出现的次数也增加，从而对其分布尾部的描述也越准确。
（3）当概率越大，用4种方法计算的每个市场的VaR 值其差异也越小，说明对一般事件（Common Events）的描述也越准确。 当概率越小，如δ＝0.0001，极事件发生的频率也越小，对其分布的尾部的描述也越困难，准确性也越差，因此如何准确地描述、估计分布的尾部特性，成为VaR方法好坏的关键因素。
（6）对于HS方法，由于是用频率作为概率的近似， 因此样本的大小直接影响到VaR值的大小。如表所示，当概率较小时，如δ＝0.0001和δ＝0.001，HS方法无法区分VaR的值。
三、结束语
国内金融业，由于过去一直受到国家的严格控制与保护，经营效率低下，风险意识淡薄。随着我国改革特别是金融体制改革力度的加大，以及入关进程的加快，人民币资本帐户的自由兑换只是早晚的问题。这样在国际上衍生金融产品迅速发展、巨额游资大规模自由流动的背景下，我国金融业潜在着较大的风险，若处理不当，甚至会诱发一系列政府与社会问题，因此，如何有效地度量、防范、控制和化解金融风险，维护金融秩序的稳定备受金融机构、监管当局和社会各界的关注。中国人民银行最近提出，中国所有的金融机构都要在2 年内建立包括风险管理系统在内的金融监管体系。
目前中国金融界对VaR处在刚开始接触的阶段，可以预言， 中国金融业将很快步国际金融业的后尘，将国际上正在蓬勃兴起的VaR 方法做为一项主要的风险管理手段，VaR方法与产品在我国有着广泛的前景。 因此，适时开展VaR技术研究、开发相应的计算机软件， 将是一件很有意义的工作。
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