数学教育中的若干认识误区——基于数学哲学的思考，本文主要内容关键词为：数学论文,误区论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在今天的数学教育中，我们不得不面临着这样的现实：对部分学生来说，数学学习是一个失败的经历，数学是一种苦味的回忆.其实，在数学教育中，某些认识对数学教育观的影响既是显性的，也是隐性的.可以说，正是人们对数学本质、数学教学以及数学价值存在一些认识上的误区，才导致了数学教育意义的缺失.
一、数学是绝对真理吗
自古以来，人们总是渴望确定的知识，渴求那种超越千年而永恒不变的知识.于是，我们总是回到数学领域.古希腊的数学家之所以坚持一定要用演绎推理，是因为他们认为这样可以得到永恒的真理.笛卡尔指出，“观察以前在科学上探求真理的学者，唯有数学家能够找出一些确实而自明的证明”.[1]
然而，数学发展表明上述观点不是绝对的.这是因为“自明”的公理可能为假，而为真的公理可能根本不“明”.其实，把关于数学真理的判定最后归结于一种自明性的感觉的观点，会遭遇到许多困难.首先，许多数学定理很难确立，甚至在数学家看来，它们也绝不是自明的.第二，数学的某些结果与根深蒂固的直觉和习惯上的自明感背道而驰.第三，像哥德巴赫猜想那样的在内容上很初等但至今尚未判定的数学猜想的存在问题，表明并非所有的数学真理都是自明的.最后，即使自明性只被归因于数学的基本公设，然而，指出对什么可被认为是自明的所作出的判断乃是主观判断，这种判断可以因人而异.1931年，当哥德尔无可辩驳地证明，存在着可被看做真但却不能证明为真的数学命题时，给数学界带来了强烈的震撼.因为，数学已经失去了许多“绝对可靠性”.从最本质的意义上说，哥德尔定理打破了真与证明同一的信念.因为即使我们采用全部逻辑推理和数学形式证明的工具，但仍有些真的数学陈述是不可证的.简言之，在可证的和真的之间永远存在一条不可逾越的鸿沟.哥德尔定理打破了人类已经坚持了两千多年的关于完全的、无矛盾的知识的梦想.
事实上，数学真理观对数学教育的影响是明显的.例如，在数学教育中，如果数学教师认为数学是静态的、绝对的，那么他就会把数学看成是一种可以由教师传递给学生的客观知识，没有探究，没有反驳，只有唯一正确的答案和唯一的解题思路.又如，“为什么-1乘-1等于1，而不是-1？”教师对这个问题的回答只能是：“就该这样，别再提这样的问题”、“不要问为什么，记住就行”等等.其实，运算法则本质上无所谓“正确”或“错误”，说它们“正确”或“错误”是针对指派给它们的用途而言的.
二、数学等于逻辑吗
逻辑主义的数学观是长期以来数学家和逻辑学家为了解决和寻求数学的可靠基础而逐步形成的.历史上，很多数学家做过把数学归约为逻辑的努力.弗雷格在其名著《算术基础》中就试图把算术归约为他自己塑造的纯逻辑.罗素和怀特海合著了《数学原理》，希望能证明数学可以化归为严格的符号逻辑.然而，罗素和怀特海的目标很快就被证明是不可能达到的.因为，随着理论的展开，不断增长的复杂性使得整个规划失去了原来所希望的简单性和自然性.哥德尔不完备性定理表明：不仅不能从逻辑公理中推演数学，而且连推出算术也做不到.维特根斯坦反复声明，他不赞同罗素关于逻辑是数学的基础的观点，并称数学绝不是立足于逻辑之上.希尔伯特认为，“数学具有安全的独立于逻辑的内容，所以永远不可能仅仅基于逻辑”.[2]奎因认为，说“数学已经普遍地被还原为逻辑学，这暗示着数学建立在某种新的牢固基础上，这是骗人的”[3].尼采的思想更精彩，逻辑（如几何与算术）只能够很好地把握我们已经创造出的所谓实在.在数学史上，许多数学知识的发展并不是严格按照逻辑顺序.从某种意义上说，寻找数学性质的新知识，逻辑框架其实是多余的.数学主要是由那些在直觉方面而不是在逻辑方面具有相当的严密性能力的人们所推进的.没有新观点和新目标的不断揭露，数学在追求严格的逻辑推理中，很快就会筋疲力尽，并将由于缺乏新材料而停滞不前.
在数学教育中，为什么教师们强调数学的逻辑性呢？首先，目前绝大多数的数学教师教育课程只是把教师训练成为一名具有逻辑思维能力的教育者.其次，数学本身就是一个紧密相连的结构，一个概念建立在另一个概念的基础上，一个方法建立在另一个方法的基础上.在数学教材中，数学知识的系统论述所依据的是逻辑的连续性，而不是产生的先后顺序.在数学学习中，一个学生如果错过了一个关键的思想，一个关键的内容，可能以后永远也跟不上.此外，用逻辑推理的方式进行数学教学，对于教师来说更为容易.教授抽象概念的运算，远比赋予学生以直觉的领悟，掌握这些抽象概念更为容易.因此，教师特别喜欢逻辑，并倾向于在数学中加入过量的逻辑.这就可能把“不可能的证明讲得似乎成立”，导致“证明是虚假的，本来可以根据心理学的考虑通过承袭性原则而得出法则，现在却让位于一种伪逻辑的考虑”[4].我们要清楚地认识到，完全被抽空了意义的数学才能在连续的逻辑建构中得到传递，以纯粹逻辑的方式建立起来的几何与代数在中学里不曾有过.“三边对应相等的三角形全等”、“负负得正”等结论从来就不是通过逻辑证明得到的.为了揭示几乎不可攀登的逻辑大厦而耗费太多的精力，只能会“使人们越来越远离起源，并使人们对于起源的问题以及同时对于所有科学的本真的存在意义和真理意义变得无动于衷”[5].
三、数学教学应该强调公理体系吗
对公理体系影响最大的莫过于《几何原本》.然而《几何原本》既是人类智慧的胜利，又是教学法上的大不幸.一方面，整个世界从这部经典中学到了数学证明的观念和数学知识整体的逻辑结构的概念.另一方面，很多人包括数学家都误解了欧几里得的著作的意义，形成了关于数学的过于狭隘的概念，以为数学应该从明确陈述的公理和定义开始，对定义中界定了的数学概念演绎地证明种种结果.体现在数学教材上就是要按公理体系进行编排，体现在数学教学中就是要按照公理体系来进行教学.
尽管直到19世纪大半段时间以前，数学家一般都把《几何原本》看成严格性的典范.但是，从现代意义上来看，《几何原本》从来就不是严格意义上的公理体系，它存在一些严重的缺陷.再说，数学家也是经过不断地探索才得到最终结论的.既然如此，如果数学教学严格按照公理化体系进行，只会出现“冰冷”的美丽而没有“火热的思考”，不会让学生体会如何数学地思维.从貌似教义的公理出发并使用演绎方法，是覆盖数学思维的捷径.尽管公理化方法在数学发展史上起过巨大的作用，但是公理化不是数学最本质的东西.在数学教学中，认为公理体系是最本质的或最主要的方面，只会导致数学教学缺乏活力，只会导致数学教学难以引人入胜.按照公理体系进行教学既不符合数学发展的基本规律，也不符合学生的认知规律，反而会使学生对数学本质的理解出现偏差.
柯朗在其名著《什么是数学》一书中，曾表示过这样的忧虑：过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险.克莱因强调，保持一流大师的遗风：回到固有的生动活泼的思考，回到自然！由此看来，在数学教学中，欧几里得式的陈述是不可接受的.数学教材必须要改变欧几里得的解释模式，否则它的僵化会让学生感到枯燥无味，毫无生气.如果只研究纯粹形式系统的逻辑相容性问题，完全忽视了数学系统发展中特有的人类与历史的内涵，那么这种研究是否会使数学无意义？这大概是胡塞尔在《欧洲科学危机和超验现象学》一书中的主题.公理方法是一种总结、整理经验的方法.这些都应该给数学教育极大的启示，数学教学不应该过分强调公理体系.在数学教学过程中，既需要隐喻，也需要适当的严格性.如果只选择一种，则存在着很大的危险.
四、数学教学应该很抽象吗
数学意味着抽象，抽象意味着远离现实，从而抽象使实在变得贫乏.爱因斯坦说：“只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在”[6].抽象是数学的一大特征，然而数学却有过分推理的危险.其实，一般与个别，演绎与构造，逻辑与想象——它们相互作用正是活生生的数学的深刻本质.另外，抽象也是一个渐进的过程.因为只有在文明的高级阶段，我们才能把零当做我们的起点.
数学不是“一堆数字的抽象计算过程”，而是我们借以了解周围世界的基本工具，它与我们的日常生活密切相关.抽象的东西不可避免地同具体的东西结合在一起.在数学教学中，如果教师的抽象和高级水平的概括只能被学生掌握而不能整合进他们的生活世界，那么这种抽象和概括就有可能把数学教育推向危险的境地.20世纪60年代起源于美国的“新数学运动”的失败给了我们很大的启示.由于新数学是完全抽象的，使用了不熟悉的前后关联，因而没有让数学成为一门易于被学生接受的学科.著名数学家托姆认为，新数学是“哲学和教学上的错误”.一味的抽象并不是真实的数学，也不是有意义的数学.在数学教学中，由于我们过分强调数学的抽象性，不与学生的生活经验联系起来，导致学生认为：“数学蛮抽象”，“数学在实际生活中没有什么用”，等等.
“愈多的思维，就有愈多的实在.”[7]反映在数学教学中就是，初等数学是对最直接的实践经验之反映.人们用整数来表示一个牛圈中牛的数量，而用分数表示一个人收入中的捐赠或纳税所占的份额.一条直线曾是一块田野的边界或一根拉紧的绳子的理想化，而月亮的形状则使人想起球面.其实，大多数数学分支都相当直接地阐释了自然的某些部分.例如，几何学关注空间，概率论是关于随机过程的知识，群论说明了对称性，数学分析是为了研究一些特殊过程而建立的.数学教学中应当以那种看得见、摸得到的东西与数的概念联系起来.即使在高年级中，也应当把数学同处在特定智力发展阶段上的学生真正感兴趣的东西联系起来.由于儿童的智力不是直线或斜坡式发展，而是阶段式发展，因此，在皮亚杰看来，衡量儿童智力发展的基本标准是看他们的活动是否具备了不同要求的运算水平.这说明，不关注学生智力发展水平，一味地强调数学的抽象性是行不通的.从而，“任何学科的基本原理都可以用某种形式教给任何年龄的任何人”[8]，这样的命题就值得思考.
五、学数学就是做题吗
在部分师生看来，只有多做题，才能保证升学考试中数学拿高分.我国自古以来就有“熟能生巧”的古训，数学教育中历来就是“练习，练习，再练习”.教师总是要求学生快速得到正确答案，让学生多见一些题目和题型.从平时练习、作业或考试来看，很多教师直接用原题，特别是一些热门的中高考试题，从而加大了这一趋势，导致了一种误解——认为见得多，就能考得好.由于在数学考试中存在大量的“原题”或“陈题”，那些考前见过或做过这些题目的学生自然而然地占了“便宜”.那么，怎样才能见得多呢？就是不断地做题！当用记忆铺平正确答案的道路时，学生就没有挖掘其自身创造力的余地了.
在“学数学就是做题”的背景下，学生经过训练之后，如果能够复述明确的程序和大部分信息，就会被认为“学会了”.教师记录学生学习过程的典型做法则是公布成绩.教师们总是悲叹学生的健忘，悲叹随着时间的推移，学生原先记住的知识所剩无几.难道说，真是学生忘了？事实上，学生从不曾遗忘，而是从未学会我们认为他们已经掌握的那些知识.在强调“学数学就是做题”的过程中，学生“上课记笔记，考前背笔记，考后全忘记”，丧失了数学思维的能力.真正的教育绝不容许死记硬背.我们为学生提供学习资料，帮他们准备考试，也许还帮他们通过了考试，却没有给他们学习和发展的机会.
在数学解题中，有些教师喜欢故弄玄虚，弄一些技巧性强、方法奇妙的解法，以此显示自己的解法的高明.有时这样的解法使学生如坠雾中，同时还给他们带来自卑感，使他们错误地认为：未能理解和掌握数学，是由于自己不是数学天才.一些教师乐于向学生灌输这种自卑感，使学生们感到迷惑，让学生们欣赏、赞叹教师自己的所谓的“数学天才”.这是何等错误而又愚蠢的数学教学啊！这加剧了学生学数学就是为了解题，为了获得某种技巧的观念的形成.知识按其程度变得越来越特殊时，知识就不能称其为知识.事实上，数学的真髓永远是偏爱更一般的概念而抛弃特殊的概念，偏爱一般的知识而抛弃特殊的知识，偏爱一般的方法而抛弃特殊的方法.无论如何，学数学终究不是为了做题.庞加莱说过，数学有三个目的：即研究自然的工具、哲学目的、美学的目的.由此来看，认为“学数学就是做题”的观念很难超越庞加莱所说的第一个目的，就更不用说其他两个目的了.其实，做题获得的仅是“呆滞的知识”，仅是做题的数学教育很难超越知识教育，有时甚至连知识教育都不是.