中国和日本初中数学教材中问题提出的比较研究，本文主要内容关键词为：日本论文,中国论文,初中数学论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
爱因斯坦曾指出：“解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.”[1]历史上的数学家通过提出数学问题、猜想赋予了数学生命力，近年来，在数学教育领域，问题提出能力也被认为与问题解决、创造力以及知识掌握情况等有着密切的联系[2-19]. 纵观当今世界各国的数学教育，不难发现问题提出正逐渐成为关注的焦点.美国《学校数学教育的原则和标准》（2000）提出，教师的重要任务之一是鼓励学生思考、提出问题，并讨论解决问题的思路[20].日本文部科学省颁布的《中学校学习指导要领解说·数学篇》（2008）中指出，数学活动即产生问题、解决问题并在此基础上产生新的问题的过程，这个过程是不断持续下去的，在这个过程中获得的方法和知识观有助于新问题的发现.要在已习得知识的基础上发现新的课题、注意到新的事物、通过归纳、类比进行预测[21].在近年来的日本全国学力调查中，也设置了基于一定数学情境发现新的结论的题目[22].中国义务教育数学课程标准对问题提出进行了多方面的论述，在课程设计思路中提出“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”；课程内容中“综合与实践”的设置在于“培养学生的问题意识”等；在总目标中提出“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”；在评价建议中将“提出问题和分析问题”作为过程评价的指标之一[23].可见，中国新一轮数学课程改革对于学习者的问题提出十分关注. 虽然不同国家对于问题提出都给予了一定的重视，但由于各自文化背景、教育理念等的不同，对于数学课程中学习者的问题提出也有着不同的处理方式[24].辨别差异，发现问题，取其长处，对于中国课程改革、改进课程实施是十分必要的.教材不仅反映了课程改革的理念，也是指导教师课堂教学、学生学习的依据，一些国家的教材设置的各类问题中，也包含有要求学习者作为主体，进行问题提出的问题.这里就以教材中这类问题提出型的问题为研究对象，选取日本东京书籍2011年审订通过、预定使用期限为2012～2015年的“新数学”（包括新数学1、新数学2、新数学3）系列初中数学教材与人民教育出版社2012版义务教育数学七～九年级教材进行比较.“新数学”系列教材依据最新版《中学校学习指导要领》编写，在日本有着较高的使用率[25].中国人教社2012版教材是依据2011版义务教育数学课程标准编写，蕴含着中国课程改革研究与实验的最新成果.中日这两个版本教材的比较，能够反映两国近年来课程改革的精神. 二、问题提出分析 对于“问题提出”的内涵，在此选取美国学者希尔弗给出的定义：所谓问题提出是指从一个给定情境中创造新问题或者对给定问题的再阐述[26].从而，作为研究对象的“问题提出型问题”即是指有这样要求的一类问题：学习者从该问题的情境中创造新问题，或对该问题进行再阐述. 为便于研究的进行，依据定义，可进一步对问题提出型问题（下文简称为“问题提出”）进行分类.对于原问题，有3种“再阐述”的方式.可以是要求学习者解答问题后进一步提出新的问题；也可以是改变原问题的条件而产生新问题——这种情况的“再阐述”指的是对于原问题条件的挑战，即采用“what-if-not”策略提出问题；第三种“再阐述”是指当原问题不完整时，通过学习者自己的理解补充条件，形成问题.这3种依次对应了后文问题提出类型维度中的“追问型”、“改编型”与“补充型”. 从原问题的情境中创造新问题，也可分为3种情况.包括学习者在现实情境中搜集资料、分析数量关系提出问题；情境是某一数学运算或结果，要求给出相匹配的现实或数学情境——显然后者即可看作一个问题，该问题的结果为先前的情境；以及对情境进行观察、归纳等从而提出猜想或发现.对于最后一种情况，从结果上来看，并非疑问形式，而是命题形式、即“预答式”问题提出[27].学习者通过归纳、类比、观察等思维过程提出的猜想与发现并非确定的事实，尚待进一步论证，因此也可看作待解决的问题.预答式的问题提出并不仅局限于这一类型，实际上，中日两国教材中“追问型”的问题提出都是以预答式的形式出现.从原问题的情境中提出问题的3种模式，依次对应着后文问题提出类型维度中的“数学活动型”、“运算给定型”与“猜想型”. 下面先从量的角度，就问题提出在不同维度的分布情况对两国教材进行统计与分析，随后根据几个具体例子，从质上进一步论述其区别. 1.量化比较 首先考虑两套教材中总的问题数.中国教材中的问题包括各章节中的思考、探究、例题、练习、习题、复习题、数学活动与选学部分等内容中的问题.日本教材总体上可分为章节部分和卷末部分.章节部分的问题包括用于引入新内容的问题、例题、课堂练习、节末和章末习题、数学之窗中的问题等；卷末部分的问题包括课题篇（数学探究、生活与数学、数学的历史、数学谜题）和问题篇（该卷知识及过往知识的复习题、知识专题、活用的问题）中的问题.其中，问题篇中过往知识的复习题如下，“新数学1”中是小学知识复习题，“新数学2”中是“新数学1”内容的复习题，“新数学3”中是“新数学1”、“新数学2”内容的复习题.这类复习题在中国教材中没有相对应的部分，其中也没有安排问题提出，因此不进行统计.统计时，对于具有多个小题的问题，计作一个问题；对于两国教材中带有问题的某一专题（如中国的选学内容），均看作一个问题.按照以上标准，统计列表比较如表1所示.
可以发现，中国教材中七、八年级问题数均多于日本，其中八年级的差异多达375个，七年级也达到了129个.中国教材问题数在九年级有明显减少，且比日本九年级还少了30个.而日本教材中问题数明显较少的则是八年级.就总问题数来说，中国比日本多了474个. 为了更有针对性地比较两国教材中问题提出的差异，选取问题提出所属年级、问题提出类型、在教材中所处环节及所属知识领域等4个维度，对两国教材中的问题提出进行量化比较.中学阶段不同年龄的学习者在数学与数学学习信念、动机、统计能力、空间图形认知能力等诸多方面都存在一定的差异[28～32]，这种差异也将导致不同年龄学习者在提出问题上的差异，从而对不同年级教材中问题提出的设置提出了要求.不同类型的问题提出对于学习者的发展有着不同的价值，例如，猜想型问题提出能够帮助学习者在新知识的学习中更加主动，改编型则帮助学习者抽象出问题的模式从而加深理解.教材中问题提出所处的环节往往决定了其在课堂教学中实施的方式，后者对于发挥问题提出的效果有着直接的影响.不同的数学知识领域中，适合设置问题提出的程度各不相同，问题提出在不同知识领域中也发挥着独特的作用.研究者重点关注教材中问题提出在这4个维度中的设置情况，并通过在这4个维度上的比较，分析差异，汲取经验. （1）中日两国教材中问题提出的总数及年级分布如表2所示.
由表2可知，两国教材中问题提出在不同年级间的分布不存在显著差异（
（2，187）=4.68，p＞0.05）.中国教材在问题提出总数上略多于日本，如果考虑在总问题数中的比例，日本则略高于中国，但不存在显著差异（z=0.04，p＞0.05）.具体到每个年级的比例，也都没有显著差异（z=1.30，p＞0.05；z=0.05，p＞0.05；z=1.30，p＞0.05）. 两国教材中，九年级问题提出的比例分别都是最低的，且明显低于其余两个年级.两国教材中问题提出的比例最高和最低的情况都出现在日本教材中，中国教材分布则相对平稳. （2）中日两国教材中不同类型的问题提出. 依据前文的问题提出分析，现将两国教材中的问题提出分为以下类型. 类型一（猜想型问题提出）：提供一定的数学或现实情境，要求从中发现事实或者提出猜想.例如：计算9-8，9+（-8）；15-7，15+（-7）.从中又能有新发现吗？（人教版教材，七年级上册，P22）在猜想型内部，根据提出猜想的方式，又可以分为归纳、类比型和观察发现型.这两类并没有严格的区别，提出猜想的过程往往依次经历观察和归纳这两个步骤.在这里，观察发现型主要是通过观察图形、图表等直接发现新的结论，而归纳、类比则强调抽象出某一结论. 类型二（追问型问题提出）：原问题有完整的条件和问题.在问题解答后，要求进一步提出问题.例如：从△ABC的边BC中点M出发作AB，AC的垂线，垂足分别为D，E，且有MD=ME.求证：△ABC是等腰三角形.如果连接DE，由已证明的结论出发，说说你进一步还能知道什么？（新数学2，P127） 类型三（运算给定型问题提出）：提供一个给定的运算或结果，要求据此编写一个数学问题，或是对于某数学模型解释它的现实原型.例如：在□内填入合适的内容，编制成所求概率为1/2的问题：掷一次骰子，请求出投出的结果是□时的概率.（新数学2，P161） 类型四（改编型问题提出）：原问题有完整的条件和问题，要求在对原问题改编的基础上提出新的问题.例如：某个月的日历如图所示（图略），（1）设日历中某个数为x，x右边与下边的数之积与14x+2相等，求x；（2）类似上面的问题，编制有关日历中的数的二次方程问题.（新数学3，P85） 类型五（补充型问题提出）：原问题没有完整的条件，要求补充条件形成完整的问题.例如：在□内填入适当的数，编制利用联立方程式解决的问题，并说出联立的方程式：350日元一个的蛋糕和400日元一个的蛋糕一共买了□个，共用□日元.两种类型的蛋糕各买了多少个？（新数学2，P49） 类型六（数学活动型问题提出）：通过给定的现实情境或自己联系现实情境，从中搜寻资料，分析数量关系，编制问题.例如：从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编成问题.看看能不能用二元一次方程组解决这些问题.（人教版教材，七年级下册，P109） 不同类型问题提出的百分比分布统计结果如下页表3所示. 根据表3，两国教材在7个类型问题提出的百分比分布上存在显著差异（Fisher确切检验，p＜0.001）.中国教材在两种猜想型问题提出上的比例均高于日本教材，其中归纳、类比型的差异达到显著水平（z=2.22，p＜0.05），观察发现型的差异则并不显著（z=1.06，p＞0.05）.在运算给定型方面，日本的比例明显高于中国.改编型、活动型分别是两国教材中独有类型.追问型、补充型问题提出在两国教材中出现都非常少. 中国教材中，归纳、类比型问题提出的比例超过了一半，属猜想型的更是合计达到了86.14%.日本教材中的问题提出主要分布于归纳、类比型，观察发现型和运算给定型3种. （3）中日两国教材中不同环节的问题提出. 两国教材中的问题主要分布于6个环节：课堂引入、例题、课堂练习、节末习题、章末习题、探究活动.其中，用于引出新内容的探究性问题归为课堂引入环节，日本教材数学之窗、中国教材选学内容中的问题根据具体出现的位置归为节末习题或章末习题.中国教材中的数学活动和日本教材中的课题篇与问题篇归为探究活动环节. 不同环节问题提出的百分比分布结果如表4所示.
根据表4，两国教材在6个环节中问题提出的百分比分布上存在显著差异（Fisher确切检验，p＜0.001）.虽然在章末习题（z=0.05，p＞0.05）和探究活动（z=0.41，p＞0.05）中的比例相近，但中国教材在课堂引入（z=2.94，p＜0.005）、节末习题（z=4.18，p＜0.001）中问题提出比例都高于日本教材，后者在课堂练习中的比例则远高于前者，并超过了其总数的一半.两国都较少在例题中安排问题提出内容.值得注意的是，两国教材课堂引入环节中的问题提出中，总共仅有3道不属猜想型问题提出. （4）中日两国教材中不同知识领域的问题提出. 日本《中学校学习指导要领》中，将初中内容分为数与式、图形、函数与概率统计（原文为“资料的活用”）4个部分，中国方面没有把函数单独列出，但另外设立了综合与实践板块.在此以日本方面的领域划分为依据，列表比较如表5所示.
中日教材在不同知识领域中，问题提出的百分比分布间的差异没有达到显著水平（
（3，187）=7.18，p＞0.05），并体现出了一些共同特点：在“数与式”中都达到最高且接近一半的比例，“图形”次之，在“函数”领域中的比例都是最低.总体而言，日本教材中的问题提出在各领域分布更均匀.具体到每一项领域中问题提出的百分比，两国教材在数与式中十分相近（z=0.09，p＞0.05），图形领域中国高于日本（z=2.04，p＜0.05），函数、概率统计领域的差异则没有达到显著水平（z=1.85，p＞0.05；z=1.08，p＞0.05）. 2.具体问题的设置 以上从量的角度，按照不同维度探讨了中日教材中问题提出的区别.实际上，由于两套教材诞生于不同的理论与实践背景，具体到每一处问题提出的设置，多少都蕴含着各自独有的特点，因此，有必要结合具体问题进一步来分析.以下主要从3个方面谈一谈两国教材在“质”上的区别. （1）问题提出专题的安排. “新数学1”第三章“方程式”的章末，专门安排了一个围绕问题提出的“数学探究”环节，由一道应用题及5个分问题组成，如下页表6所示.
专题围绕一道典型应用题，提供了3种不同改编变式样例，包括不完备样例，并反复要求学生总结其中的共同点、不同点，在不同阶段编制自己的问题.在多次重复的过程中，抽象出该问题模式从而掌握这一类问题的特征与解法.而在中国教材中，并没有发现类似的以问题提出为核心的专题. （2）深度挖掘问题提出的现实材料. 实际生活是提出问题的重要来源，教材要充分挖掘实际生活中、尤其是与学生生活密切相关的教学资源.中国教材中有这样一处数学活动（人教版教材，八年级下册，P17）.教材给出了A、B两种类型纸张的常用规格，并提问：使用计算器求出各规格纸张长与宽的比，你有什么发现？ 这里将该问题归为猜想型问题提出.巧合的是，日本教材也采用了类似的材料.“新数学3”的卷末课题系列中，连续使用了两个课题来探索书本规格这一现实问题.在“数学探究”（P208～P209）中，从教科书的长宽比问题出发，又提供了一种新型规格的书本，通过列方程计算，导出其长宽比为黄金分割比，进而介绍了雕刻、建筑中的黄金分割比，并证明了正五边形中也存在该比例，最后要求学生自行在生活中寻找黄金比.紧接着，在“生活与数学”（P210～P211）中，又对A类与B类纸张的关系等问题进行了进一步探讨. 同样是从书本的长宽比问题出发，日本教材中涉及了二次根式、方程、四边形、正多边形、相似等多方面内容并蕴含数学审美于其中，充分展示了数学知识间的紧密联系、数学与生活的紧密联系.虽然日本教材在此并未设置问题提出，但作为借鉴，对于作为问题提出原料的现实材料，是否可以进行更具深度与广度的挖掘？中国教材中也设置了黄金比的内容（八年级下册，P64），又为何不将其联系在一起？ 类似地，日本教材在“字母与式”一章中安排了火柴棍拼连续排列的正方形（新数学1，P72）这一游戏活动，其中既有依据提示写出相应火柴棍总数表达式的问题，也要求学生根据作为结果的表达式（4x-（x-1）、x+（x+1）+x，x为正方形个数）给出相应计算原理，后者即属于运算给定型问题提出.相应地，中国教材在数学活动环节也安排了相似内容（七年级上册，P72），但仅仅只是让学生计算不同个数正方形所需火柴棍的个数. （3）问题提出表现形式的多样化. 表现形式不同于类型，同种类型的问题提出可以有不同的表现形式，后者的多样化、趣味化可以调动学生的主动性与创造性，这对于问题提出来说是格外重要的，日本教材充分注意到了这一点.例如，在正负数的四则混合运算节末的“数学之窗”（新数学1，P39）环节就介绍了日本传统数学游戏“小町算”，即将1～9共9个数字依次排列，在数字间填上运算符号从而得到特定结果.该问题从空缺一处符号到空缺两处符号，最后要学生自己改变运算结果，创造“小町算”，这与上文中的火柴棍游戏都属于运算给定型问题提出.又如，作为圆周角内容的引入，日本教材采用了这样一种活动：给4名站在黑板前的同学拍照，拍照人不断改变自己所站的位置，但始终保持黑板两端都正好在镜头之内.活动时使用手制相机模型（一个可以调节视线角度的纸模，教材卷末附有制作该模型的硬纸材料）并固定视线角度为45°，之后改用45°角三角板模拟该过程，最后由学习者对由不同位置的点组成的图形进行归纳猜想.这就比单纯通过使用量角器归纳出圆周角的性质更具趣味性.类似的例子还有很多，相比较而言，中国教材虽然也引入了不少趣味内容，但用来丰富问题提出形式的并不多. 四、结论与启示 为了更好地突出对比，在此分别总结出两国教材间问题提出的共同点和区别.共同点如下： （1）总体而言，两国教材中问题提出在各自总问题中所占比例相近且都不算高，在各个维度中的分布往往都集中于一两个方面. （2）两国教材中问题提出在各年级总问题中所占比例的分布比较一致，九年级的比例都较低；在不同知识领域中的比例分布比较一致，在“数与式”中都有较高比例，“函数”中的比例都较少. （3）两国教材中的问题提出都主要集中于猜想型；两国教材都缺乏追问型与补充型问题提出，都极少在例题中安排问题提出. 同时，两国教材中的问题提出也有着明显的区别. （1）在问题类型、问题所属环节这两个维度上，中日两国教材中的问题提出分布都有显著差异.在类型维度中，中国教材主要集中于猜想型问题提出，而日本教材除了猜想型，在运算给定型中也有较高比例.在教学环节维度，中国教材占比最高的依次是课堂引入和节末习题，而日本教材中则依次是课堂练习和课堂引入.即便是两国相对来说分布比较相似的领域维度，日本教材在各分类中的比重也明显更加均匀. （2）两国在每一维度中各分类的比例间也存在着较多差异，主要体现在问题类型维度中的归纳、类比型，运算给定型，问题所属环节维度中的课堂引入、课堂练习、节末习题等. （3）除了量上的差异，对于特定的问题提出，两国也体现出一定的区别.日本教材中安排了围绕问题提出的专题，对于提出问题来源的材料有着更深度的挖掘，并且采用了更加丰富多彩的形式帮助学生提出问题. 基于对两国教材种种区别的比较，针对中国教材中问题提出方面的优势及所存在的问题，在此从以下几个方面逐一进行讨论. （1）运用合情推理的同时警惕其负面影响. 中国教材中的归纳、类比型问题提出比例达到了53.47%，显著高于日本教材，数量上达到了54次，日本教材则是32次.归纳、类比猜想属于合情推理，本质上是数学抽象，在数学研究中，是发现新问题的重要手段，体现了人类对于数学认识的过程性；在教学中，是发现式教学模式的重要环节，是概念形成、命题形成教学的核心.运用归纳、类比猜想能够让学习者经历抽象的过程，加深知识之间的联系，增强学习者的主动性，也符合初中阶段数学知识的特征.另一方面，“演绎方法的应用可以被认为最为清楚地表明了数学相对于一般自然科学的特殊性”[33].一般情况下，只有通过演绎方法导出的结论，才能在数学的意义上被认为是正确的.如果过于依赖归纳与类比，误以为这种特殊性可以导出一般性而放弃演绎层面上的尝试，是与数学思想的精髓背道而驰的.从而，对于不方便进行证明的命题，采用何种方式安排导入或设置习题，如何化解归纳、类比方法带来的负面影响等都是值得深思的. （2）增加课堂练习环节的问题提出. 和传统型问题不同，问题提出的回答本身就是问题，或者尚未确定真实性的命题.相比回答传统型问题，一般来说，对于学习者的表征问题能力、相关知识点的认知结构等有着更高的要求，回答的结果更具开放性，也能够从更广阔的层面反映学习者的知识掌握情况.一方面，这种问题适合通过合作学习来解决，在合作中，学习者可以互相弥补疏漏，并提供更多的想法；另一方面，如果考虑对答案的评价，相对于传统型问题，问题提出的评价显然是较为困难的，也更加依赖教师的指导. 从而，问题提出更加适合安排在课堂教学中，即课堂引入、例题、课堂练习这3个环节.实际上两国教材也的确是这样安排的.区别在于中国教材将39.60%的问题提出放在了引入部分，而日本在课堂练习中的比例则高达53.49%.中国教材的这一安排强调了新知识引入过程中的探究性，能够激发学生的求知热情，也充分反映了以发现问题为开始，到分析问题、解决问题的过程.另一方面，中国教材在例题与课堂练习中问题提出的比例之和不足10%，则说明对于概念和命题的进一步理解与掌握，依旧以传统型的直接运用为主，问题提出的作用被局限了.因此，可以考虑在课堂练习环节适当增加问题提出的数量，通过更富有挑战性的问题，激发学生创造性地思考与交流，将学生发现与提出问题的表现作为依据，在课堂中更全面地评价其知识掌握情况. （3）问题提出类型与形式多样化. 中国教材中的问题提出主要集中于猜想型，运算给定型仅出现两次，改编型、补充型问题提出则没有被教材所考虑；相比而言，日本教材中的运算给定型占据了较多的比例.中国教材的这种安排重点突出了合情推理在学习新知时的作用，上文已有论述.另一方面，其余问题提出类型也都有其价值.例如，运算给定型问题提出要求学生由数学结论出发给出相应条件或情境，这种过程是通常所进行的演绎或抽象思维的逆运算，是数学命题在较高水平上的应用；改编型问题提出通过让学生改变原问题的条件和题设，并做出解答，逐渐抽象出该问题的模式，牢固知识点之间的联系，完善相关认知结构.这些功能都是猜想型问题提出所无法替代的. 对于问题提出的形式，如果单看在“探究活动”这一环节中的比例来说，两国相差无几，说明两国都试图在多样化的活动或探索中融入问题提出，都意识到了形式上的丰富与学习者的投入息息相关，是调动其积极参与问题提出活动的前提.相比中国，日本教材还专门设置了问题提出的专题，更凸显了对其的重视程度.因此，中国教材有必要在形式与类型这两个层面上进一步丰富与拓展问题提出. （4）充分挖掘现实材料. 从现实背景材料中提出、发现数学问题，是中日两国课程标准中的共同要求，是将数学知识与现实世界联系的重要手段，也是学习者在现实生活中运用数学的前提.正如上文中已经提到过的，对于教材中所选取的、用来进行探索活动的现实材料，中国教材的安排有些浅尝辄止.实际上，就如纸张规格的例子一样，从一个优质的现实材料出发，往往能够将许多不同领域的数学知识联系起来，从而在这个过程中，学生有大量的机会尝试发现问题，解决问题，进而在数学知识与认识信念等方面都有所提高.相反，即便是优质的现实材料，但如果设置的问题太单一、模式化，则其功能必然会打折扣，甚至在教学中得不到应有的重视.此外，中国教材中还有一类数学活动型问题提出，该类型往往要求学生自行寻找材料，提出问题，解决问题，这种开放性太高的活动能否较好实施，依赖于教师的重视程度. 总之，中日教材对问题提出的处理体现出了一些共性，但更多的是差异.也正是有赖于此，才有必要求取他山之石，为中国的数学教育建言献策.研究者坚信，问题提出在中国未来的数学课程改革、教材编写中势必会引起更多的关注和重视.
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