一节以理性思维为主的研究课——三角函数的图象变换，本文主要内容关键词为：图象论文,函数论文,理性论文,思维论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2002年全国数学高考中，首次将思维能力提高到理性思维的高度来考查（见本刊2002年第10期晨旭的文章《数学教育改革与高考命题——关于2002年高考数学试题的命题说明》）.什么是理性思维？在此我们不作深入的探讨，但我们觉得理性思维应具有理论性、抽象性、严密性等特点，它与形象思维的直观性、具体性、粗略性相对应.高考命题的改革对中学数学的教学提出了新的要求，为了适应这种改革，高中数学教学应有意识地在课堂教学中加强理性思维的训练和培养，研究在新课教学中如何体现理性思维的作用.为此我们设计了一节以理性思维为主的研究课，选择的教学内容是三角函数的图象变换.这个内容的研究课以前搞过不止一次，记得有一次的主题是以学生为主体；还有一次是体现图形计算器在课堂教学中的作用，但课堂教学设计的基本框架都是由特殊到一般，由具体到抽象.考虑到学生在第一学期已经有了y=f（x）与y=f（x+a）图象关系的认识，那么在研究y=sinx与y=Asin（ωx+
）图象关系的过程中，能不能跳出老路子，变“由特殊到一般”为“由一般到特殊”呢？即把y=sinx看成一个特殊函数，研究工作能否从一般函数y=f（x）开始呢？也就是从研究一般函数y=f（x）与y=Af（ωx+）的图象关系入手.这种设计思路所体现的思维要求恰是理性思维的核心，体现了思维的抽象性，所研究问题的一般性.经过几次讨论和备课，我们进行了一次大胆的尝试.课后反思，我们觉得学生能力的高低与教师的引导与培养密切相关，只要教师精心设计，符合学生的认知规律，就没有达不到的教学目标.
下面就是这节课的教学实录.北京市第五十五中学虽是市级重点中学，但学生的水平在我区七所重点中学中处在偏低的位置.
一、提出问题
教师：前几节课我们研究过y=sinx的图象，上节课我们又学习了用五点法画y=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的图象，今天咱们来一起探讨这两个函数图象之间的关系.
写出课题.
教师：对于这两个函数图象之间的关系你打算从哪个角度开始入手研究？我想同学们一定能通过自己的思考确定一个研究方案.
几分钟后，许多同学带着自信的微笑等着老师的提问.
二、研究策略
教师：谁愿意将自己的方案拿出来和大家一起讨论？
学生1：我先把A、ω、三个字母赋值，研究他们的特殊情况，比如先研究y=sinx与y=2sin（2x-π/3）的图象关系，然后再将这种关系一般化，研究y=sinx与y=Asin（ωx+）之间的关系.
学生1刚说完，学生2已经迫不及待地站了起来.
学生2：我认为没有必要先赋值，可以直接研究y=sinx与y=sinωx的关系，再进一步考虑y=sin（ωx+），最后是y=Asin（ωx+）.
学生2说完洋洋得意的坐下.下面许多同学都频频点头，但有几个学生似乎还有其他方法.其中学生3迟疑地举起了手.
教师：学生3你有什么不同的策略吗？
学生3：我想从上学期讲的一般函数平移变换的角度入手研究，能不能从y=f（x）与y=Af（ωx+）的关系着手研究呢？但我还没有考虑成熟.
学生3坐下后，有的学生比较茫然，有的学生若有所思，有的学生向学生3投去了肯定的目光.
教师赞许地环视一周后问：还有同学有其他方法吗？
若没有，下面我们把这三种研究方案整理一下（板书）：
教师：比较这三种方案，方案（一）是我们常用的从特殊到一般的研究方法，方案（二）是由y=sinx到y=Asin（ωx+）的研究顺序，而方案（三）是从抽象函数的角度入手，更具一般性和指导作用，难度也更大、更抽象.今天我们能不能先不涉及具体的函数，而由抽象函数入手，按照（三）的方案、（二）的顺序进行研究呢？
有的学生说：能.有的同学说：可以试试.
教师：我非常赞同同学们这种勇于探索的精神.下面我们就开始分组研究吧！
三、协作探索
学生先是独立思考，之后开始分组讨论.有的组在分配研究任务；有的组开始小声争论；有的组在倾听某位组员的发言.教师各组巡视，听取不同的思路，并提出意见和问题.（10分钟后）
教师：现在请我们每个小组指定一名同学公布自己的研究成果.哪个组先来？
学生积极踊跃准备发言.
学生4：我们小组的方案是：先将y=f（x）的图象向左平移个单位，即得y=f（x+）的图象.再将y=f（x+）的图象的横坐标缩小到原来的一倍，得到y=f（ωx+）的图象.最后把y=f（ωx+）图象的纵坐标伸长到原来的A倍就是y=Af（ωx+）了.
教师：大家同意他们的结论吗？（学生点头）他们小组的研究思路非常清楚，而且学生4的表达也非常清晰，其他同学还有什么补充吗？（学生摇头）学生4表述的是否严谨呐？
教师提示点的坐标分为横坐标与纵坐标，之后
学生5：在y=f（x+）变形到y=f（ωx+）的变换过程中应再补充说明纵坐标不变，这样是否更严谨些？
教师：对，你说得非常好！
学生5：同样，在y=f（ωx+）到y=Af（ωx+）的变换过程中应补充说明横坐标不变.
学生们都点头表示赞同.
教师：将y=f（x+）的图象的横坐标缩小到原来的1/ω倍，得到y=f（ωx+）的图象是我们今天学习的重要结论.这个结论你们是怎样得出来的？
学生4：类似于平移变换，联想到的.
教师：你们还是很聪明的，下面我再给你们作个详细的解释（略）.
教师：别的组还有不同的研究方案吗？
学生6：我们小组的方案是先研究y=f（x）与y=f（ωx）的关系，进而是与y=f（ωx+）的关系，最后是y=Af（ωx+）.具体的变换过程如下：y=f（x）到y=f（ωx）是纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1/ω倍；再把y=f（ωx）的图象向左平移个单位就可得到y=f（ωx+）的图象.
学生7：不对吧？平移的单位错了吧？
学生7坐在下面不由自主地说.
教师：学生7，先让学生6把话说完再发表你的意见好吗？
学生6接着说：在得到y=f（ωx+）图象的基础上，把y=f（ωx+）的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍就是r=Af（ωx+）了.
教师：刚才学生7对学生6的变换过程有不同的见解，下面请同学7说一下自己的观点.
学生7充满自信地说：由y=f（ωx）的图象到y=f（ωx+）的图象是向左平移/ω上个单位.
教师：他们俩说的的确不同，谁是正确的呢？还是都有错误？
学生3：我们组的讨论结果与同学7的说法是一致的.记得以前在学习函数图象平移变换时学过，横向的变换是针对自变量的，所以应该把ω提出来再进行平移.也就是说左移的是/ω个单位.
教师：同学3解释得很正确.大家都听明白了吗？
同时把平移的过程写在黑板上.（略）
学生齐声回答：明白了
教师：还有其他的研究方案吗？
停留片刻后继续说：下面我们把这两种变换进行归纳、整理，请看大屏幕（屏幕上打出“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”的过程）.
教师：我们上面已从抽象函数的角度探讨了y=f（x）与y=Af（ωx+）的图象之间的关系，下面再回到三角函数，看看几个具体的实例.（学生看大屏幕）
教师：下面做两道练习检验同学们是否真的明白.
1.把函数y=sinx的图象向左平移π/3个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变，所得的函数图象的解析式为______.
2.把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把图象向右平移π/3个单位后，所得的函数图象的解析式为______.
学生的练习与订正错误的过程略.
四、总结收获
教师：谁愿意简练地谈谈上这节课的体会？
学生8：我明白了如何由y=f（x）变换成y=Af（ωx+），而且加深了“无论是横向还是纵向的变换，都是针对变量本身进行的”.
学生3：上学期学习平移变换时，最终得到的结论是用抽象函数表述的，对今天的研究很有作用.
学生1：我们以前在研究一个新问题时，一般都是从特殊情况开始，再推广到一般，而今天却相反，是从抽象函数入手的.
教师：刚才几个同学说的都非常好，这节课我们没有采用以前常用的“由特殊到一般”的研究方法来学习函数y=sinx与y=Asin（ωx+）的图象变换关系，而是用“由一般到特殊”的研究方法.两种方法比较起来，我觉得虽然“由一般到特殊”比“由特殊到一般”的方法抽象得多，但同学们却研究得很成功，说明同学们有很强的抽象思维能力.在今后的学习中我们还会有意识地加强这方面的，我相信你们的抽象思维水平会越来越高.
布置作业（略）.