基于整体思想设计的“二次函数”教学片段的记录与分析_数学论文

基于整体思想设计的“二次函数”教学片断实录及评析，本文主要内容关键词为：片断论文,实录论文,函数论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      前些时候，工作室成员开设研究课，教学内容是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第6章第1节“二次函数”.作为工作室主持人，笔者组织成员进行教学设计研讨，大家认为，本节课的教学应提供让学生感受学习二次函数必要性的载体，问题的设计要符合学生知识的最近发展区（一次函数、反比例函数分别为八年级上、下册的内容，间隔时间较长，学生已有遗忘），要利于学生学习一次函数和反比例函数时形成的活动经验的迁移，关注研究函数问题的“基本套路”，注意思想方法的追索，“既见树木，又见森林”.吸收大家的意见后，执教者进行了教学设计，设计的思想是：遵循初中阶段函数知识内容和结构的完整性，关注初中函数教学过程教与学方法的完整性，“由林识柳，柳在林中”.现将课堂教学片断实录如下，并做些评析，以供参考.

      一、课堂教学片断实录及评析

      1.创设情境，“由林识柳”

      如图1，记录了小球滚落0 s，0.1 s，0.2 s，0.3 s，0.4 s，0.5 s时的位置.表1记录了小球各时刻的位置与起点的距离.

      

      

      师：在小球滚落的过程中，距离s（cm）与时刻t（s）之间的关系是一种函数关系吗？说说你的理由.

      生：是函数关系，因为s随着t的变化而变化.

      师：有补充吗？

      生：t每取一个值，s都有唯一的值与之对应.

      师：请同学们回忆函数的定义.（学生回答、完善，呈现函数的定义）

      师：以表中t值为点的横坐标、对应的s值为点的纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点.

      师：这6个点在同一条直线上吗？在反比例函数图象上吗？

      生：不在同一条直线上，也不在反比例函数图象上.

      师：你是如何判断它们不在反比例函数图象上的？

      生：反比例函数的图象在第一象限中y是随着x的增大而减小的，而这6个点却不是.

      师：很好，你们从函数图象特征上看出这6个点不在反比例函数的图象上.这6个点既不在同一条直线上，也不在反比例函数图象上，说明s不是t的一次函数，也不是t的反比例函数.那么s与t有着怎样的函数关系？这就是本章我们要研究的一个新函数.根据以往学习函数的经验，你觉得本章会研究这个新函数的哪些内容呢？

      生：定义、图象、性质和应用.

      师：还记得学习前面的两种函数时，它们的定义是如何得出的吗？

      生：由具体的问题归纳出来的.

      师：看来大家的记忆力很好，那应该知道接下来我们该干什么了！

      生：研究几个具体问题.

      师：聪明.那就开始吧！

      评析 该情境来自教材中本章的章头图，选择这一情境，一方面，可以引导学生整体回顾已学过的函数知识和研究具体函数的“基本套路”，做好“新函数”学习的“先行组织者”，便于学生“由林识柳”；另一方面，可以引导学生对本章将要学习的内容、结构和思想方法进行“整体感悟”，为学生发现问题、研究问题和形成新知识提供脚手架的结构支撑，便于学生按照研究具体函数的“基本套路”展开“从整体背景到局部知识的学习”；再者，填表、描点等数学活动都是学生可以轻松愉快完成的，符合学生的最近发展区，可以发现描出的点不在同一条直线上，也不在反比例函数图象上，从而引发学生的认知冲突，感悟研究“新函数”的必要性，增强学习的内驱力.

      2.建构活动，“由杨及柳”

      问题1 水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，试写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式及面积S与半径r之间的函数关系式.

      问题2 我们曾讨论过用16 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大的问题.在这个问题中，如果设长方形的长为x m.

      （1）写出宽y（m）关于x的函数关系式；

      

      师：“踢脚线”指装饰在地板边缘与墙面之间缝隙上的保护条，既能装饰美化，又能保护墙脚免受污损，踢脚线的价格通常是按长度计算的.

      师：这个问题中，踢脚线的费用如何表示？

      生：30（4x-0.8）.

      师：为何要减去0.8呢？

      生：因为门是没有踢脚线的.

      评析 由于年龄原因，学生对“踢脚线”有些生疏，教师的讲解可以帮助学生扫清因生活知识的不足而引起的认知障碍；单独提出踢脚线费用的问题，降低了解决问题的难度，并暗示学生从策略上考虑整体与局部的关系，便于整体问题的解决.

      师：不错！请同学们认真思考，写出y与x之间的函数关系式.

      

      师：以上我们得到了6个函数，其中有我们熟悉的函数吗？它们是什么函数？

      评析 如果问：“你能给上述6个函数分类吗？你为什么这样分类？”由于可以按项数、按次数、按右边是否是整式进行分类，分类的标准过多，不利于突出主题.而“其中有我们熟悉的函数吗？”不仅减少了分类的标准，突出了主题，而且可以引导学生从知识体系上进行思考，感悟新旧知识的联系，为新知识的学习从知识和方法上做好“先行组织者”.

      

      师：什么样的函数是一次函数呢？

      生：y=kx+b（k≠0）

      师：有补充吗？

      生：形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数，当b=0时，为正比例函数.

      师：不错，你还说出了一次函数与正比例函数的关系.一次函数和反比例函数都是按照表达式的特征给出定义的.请同学们观察剩下的几个函数有共同特征吗？

      

      师：它们与一次函数、反比例函数有什么不同？

      生：一次函数中自变量的次数是1，反比例函数是关于自变量的分式，剩下的函数表达式的右边都是整式，且是2次的.

      师：剩下的这几个函数有不同点吗？

      生：右边的项数不一样.

      师：一个关于x的整式，它的最高次项的次数为2，在合并同类项后最多可能有几项？

      生：3项.

      

      师：能用一个函数式表示这类函数吗？

      

      师：能给这类函数下个定义吗？

      评析 学生数学知识的获得、能力的发展、情感的建立，不可能一蹴而就，都有一个过程，因此数学课程总是把许多重要的数学概念、数学思想按螺旋上升的方式分散编排.但数学又是一个有机的整体，有着严谨的逻辑体系，数学概念的学习既要沿着数学的逻辑体系进行，又要建立在已有的学习经验之上，所以数学教学经常要“瞻前顾后”“由此及彼”.一次函数、反比例函数的概念与二次函数的概念有着密切的联系，几种函数整体呈现，既可以渗透分类思想，在“森林中认识树种”，又可以回顾一次函数、反比例函数的形式化定义，为二次函数概念生成找出固着点.比较二次函数与一次函数、反比例函数的不同点，可以使学生学习一次函数、反比例函数时的经验有效迁移，从而进行“由杨及柳”的类比学习，顺利归纳抽象出二次函数的特征，形成二次函数的概念，也使学生获得的研究函数问题的“基本套路”更加巩固，实现知识和方法的整体建构.

      3.数学认识，“柳影婆娑”

      辨一辨 下列哪些函数是关于x的二次函数？若是请说出其中的a，b，c.

      

      师：判断一个函数是否是二次函数应注意什么？

      生：根据定义，函数式的右边要是整式，二次项的系数不为0.

      生：有时要注意先整理，再判断.

      师：你说的整理是什么意思？

      生：就是化成

的形式.

      师：同学们对如何判断一个函数是否是二次函数有了很好的认识.刚才我们研究了几个生活中二次函数的实例，大家还能再举几个这样的例子吗？

      评析 对二次函数概念的精致化认识，关键是弄清它“一般长得是什么样”，“还可以长成什么样？”“说出其中的a，b，c”，可以引导学生观察、思考，通过对不同类型函数进行辨析，进一步理解二次函数概念的本质特征，明确概念的外延（关于自变量的二次整式中一次项的系数或常数项可以为0），形成判定二次函数的方法与策略（化成

的形式后再根据定义判断）.

      师：得出了二次函数的定义，下面我们研究什么？

      生：图象、性质、应用.

      生：还没研究自变量的取值范围呢？

      师：是应该先研究自变量的取值范围，后面再研究图象、性质、应用.辨一辨中的几个二次函数

的自变量的取值范围分别是什么？

      生：都是一切实数.

      师：能得出一般性的结论吗？

      生：一般地，二次函数自变量的取值范围是一切实数.

      师：在实际问题中，自变量的取值范围还是一切实数吗？比如上面“用篱笆围成长方形的生物园”中的

.

      生（小组讨论后）：长方形的长为x，周长为16，所以4x＞16，x＞4，宽为8-x，宽大于0，所以x＜8，所以4＜x＜8.

      师：实际问题中，确定自变量的取值范围，我们要考虑哪些方面？

      生：自变量的实际意义，问题中各量之间的关系.

      师：好，老师把问题变式如下，根据上面的经验，我们应如何解决？

      

      （师生共同完善，教师写出规范的解答格式）

      

      4.拓展延伸，“柳在林中”

      师：已知函数

（其中a，b，c是常数），它可能是哪种函数？请把你的结论填入下表.（先小组讨论，然后师生共同完成表格的填写）

      

      评析 教学中，教师应注重拓展学生的思维空间，拓展设计要有利于发展学生的综合应用能力，有利于完善学生的知识结构，要围绕课时教学的核心进行.以上“拓展延伸”是在与先前所学函数知识做一个横向沟通，通过分类讨论，对相近概念进行比较性认识，对同类概念进行结构性认识，揭示二次函数与一次函数（正比例函数）的联系；从系统的角度学习知识，置二次函数于函数知识系统中，明晰函数表达式

（a，b，c是常数）对二次函数、一次函数（正比例函数）的“统领”，体会“柳在林中”，深入本质，去伪存真，发展思维的灵活性，建立科学完善的知识结构，更有利于本节课教学核心的深化.

      1.教学方式的选择合理恰当

      “教学有法，但无定法”，前者是说教学内容的呈现方式和教学指导方法要遵循数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律；后者是说教学内容的反映方式和教学指导方法可能具有多样性，可以在遵循教学规律的前提下，根据内容的特点选择最能反映数学的本质和最有利于学生认知的教学方式.合理恰当的教学方式的选择既要考虑教材内容的编排，又要考虑学生的认知基础和学习经验，应当是二者的协调融合.

      “数学整体教学”是指用整体方法优化数学教学系统的一种教学方法，它不仅关注数学知识内容和结构的完整性，而且还要考虑教学过程和方法的完整性等.对于具有“整体性、系统性”的数学知识板块的教学，整体教学具有其明显的优势.

      苏科版义务教育课程标准教科书对“函数”内容进行了如下的整体设计：从实际问题到函数——建模，这是“由外到内”的过程，感悟数学模型的简明及其适应的广泛性；解决数学问题——研究函数的图象与性质，这是解决数学内部问题的过程；用函数解决实际问题——应用，这是“由内而外”体现数学应用价值的过程.其中，一次函数是学生学习的第一类函数，其研究思路、研究方法对反比例函数、二次函数的研究具有方法论意义，其“基本套路”完全适用于反比例函数、二次函数的学习.所以，本课教学设计采用“数学整体教学”既符合教材的体系，又符合学生的认知基础和学习经验.

      2.教学环节的设计有序有效

      “数学整体教学”能有效促进学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的发展，能使学生已有学习经验在新知识学习中得以有效迁移，能使相关的数学思想在新知识的学习过程中得以彰显，有利于学生形成科学有效的学习方法，提高学习效益，提升数学素养.但以上功能的实现还依赖于教师教学设计的科学选材和合理立序.本课教学设计的情境创设以填表、画图象和一次函数、反比例函数的判别（具体函数类型的判别既可以根据定义，也可以根据图象）为先行组织者，引导学生类比发现问题、提出问题，从整体上概括思考二次函数研究的内容和方法，实现了“整体感悟”和学习经验的有效迁移；建构活动和数学认识，让学生经历了二次函数概念的抽象过程，明晰了二次函数的内涵、外延和自变量的取值范围，实现了对二次函数概念的“整体认识”，教师引导学生对二次函数的概念内涵进行“深加工”，让学生在对二次函数的正例、反例作判断的过程中，更准确地把握概念的细节，使得用概念作判断的“操作步骤”（化成

的形式后再根据定义判断）得以外显和巩固；在学生对二次函数概念内化的基础上拓展延伸，引导学生对一次函数（正比例函数）和二次函数进行结构性认识，实现了函数类型的“整体建构”，建立了不同类型函数的联系，实现了函数学习中更高水平的概括.

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