数学问题：从教材到教学，本文主要内容关键词为：教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心.创设富有教育意义的数学问题是数学教育取得实效的关键，培养学生的数学问题意识和数学问题解决能力是数学教育的神圣使命.数学教材（本文中的数学教材主要指数学教科书）正是担负数学教育使命的基本载体，它不仅为师生的教与学提供了基本线索，而且是数学教育表达的一种手段和过程.精心分析数学教材的结构特点，发现数学问题是建构数学教材体系的核心要素，唯有创设精妙的基于数学问题的情景和活动，才能为数学教育实践编织富有生命活力的教育场景，把学习者带到数学学习与创造的天地.教材中的数学问题虽然是基于学生的数学现实设定的，但与学生的认知水平仍有一定的间距，因此通过数学教学这一途径才能转识成智，变成学生数学智慧的素材与源泉.本文以3种版本教材中的“圆”一章为例，[1-3]分析探讨数学问题在教材与教学两个维度的功能与价值，以增强教材研究意识与发展教学能力.
二、数学教材：问题表征及体系建构
数学教材是浓缩人类创造的数学文化的精华，最大限度地将数学知识逻辑化、系统化、教学化的结晶.美国数学家哈尔莫斯（Paul Halmos）说过，数学的真正组成部分是问题和解.那么建构数学教材的主体成分或出发点就是问题和解.这里的数学问题是指认识主体对某个给定过程的当前状态与目标状态之间存在着某种差异，需要一定的数学知识来消除这种差异的具体任务.[4]那么如何基于学生的现实与发展设计数学问题就成为数学教材建设的核心问题.
（一）数学教材中的问题表征
所谓教材中的问题表征是教材建设者利用编制技术，运用数学语言，以问题为核心基于可读可教的原则，将知识与技能、过程与方法、情感态度价值观进行教学化组织而形成的单元体系.从现有的教材中处处可见问题的踪影，但表征的方式各有特色，就北师版、华师版、人教版中的数学问题表征而言，发现数学问题主要存在于教材中的正文、例题、练习、习题、复习题、小结6个方面，以3种版本教材“圆”一章为例，数学问题分布的大致情况如下表1所示.
表1表明，数学问题以不同的形态渗透到数学教材的不同部分，3种版本中华师版在“圆”这一章节中问题表征的密度最大，北师版较低，但每页问题都超过2个，具有较浓厚的问题意识，这种意识的营建可让学生在发现、提出、分析、解决问题的过程中提高数学能力.
真正的数学问题都是知与未知的统一体，为了达到促进学习者的数学水平，数学问题中的“知”与“未知”要镶嵌到一定的情境中去，这种情境是让学习者产生内心的情绪体验和心灵感悟，启动学习机制，通过数学活动理解、知晓和应用数学.因此数学问题的情境建构就是问题表征的基本方式，这种情境建构的基本出发点就是要易于学生对数学知识的理解和掌握.数学教材建构中最关键的两类问题是源问题（基本问题）与靶问题，所谓源问题是指导引性问题，所谓靶问题是指目标问题.“圆”一章的源问题、靶问题的表征如下页表2所示.
表2发现，3种版本中的源问题各有其特色，但都是在贴近现实、易于学生掌握和理解的情境中建构的.与之相应的靶问题，它是以必要的源问题引发的知识为前提，是关于某个问题无知的自觉意识状态，排除“未知东西”可激发学生产生问题解决的愿望与动机，通过问题解决过程，获取数学智慧，提高数学学习水平.透视3种版本教材表征问题的方式，一个明显的特点是通过巧妙的方法把数学知识、思想、方法渗透到独特的问题情境中，使人文科学、社会科学、自然科学的知识融为一体，全方位地拓展问题情境空间，使问题走进学习者.
（二）数学教材中的问题建构
数学教材建构离不开数学问题，这种建构表现为问题—回答—问题的环状连接，作为文本存在的教材，蕴藏其上的意义实现的基本方式是看、读、听、议、做.[5]因此教材体系建构就要将一些数学事实，通过源问题、靶问题以及单元问题、核心问题、关键问题的形式组织起来，尽最大可能地体现、实现学习目标.
分析北师版“圆”一章的建构，每节基本上都是问题导入的，然后通过想一想、做一做、议一议、读一读等活动的实施，以获取一些基本的几何事实，如圆的概念，圆的性质，圆中的量之间的关系，圆与直线，圆与圆之间的位置关系以及圆中有关量的计算等基本知识，都是由环环紧扣的问题串起来的，并与之相接的练习、习题、复习题一起将圆中的基本的数学思想方法，如对称、变换思想，推理论证思想，分类归纳思想，算法思想等体现出来.细心品味，不管是源问题还是靶问题的提出、发现、分析与解决，着力点是学生数学经验的获得.
华师版也是以数学问题为纽带，而且密度更大，通过试一试、思考、探索、观察、做一做、操作确认、数学说理和逻辑推理等相结合的方法来建构“圆”的相关内容，同时附以旁白的方式引出一些数学概念、提出一些数学问题，把运动变化的思想，化归的思想，分类的思想，数形结合的思想，特殊和一般的思想等囊括其中，且用词用语十分简洁.
人教版在“圆”这一章中，引入的源问题与北师版相类似，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等建构圆的相关内容一个显著的特点是要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，特别注意联系实际，重视渗透数学思想方法，重视知识间的联系与综合.
从3种版本建构圆体系的特点可以看出，数学问题是建构数学教材的主因素，而语料是其建构的基因.由于教材是一类读者引领另一类读者解读文本把握意义的现象，是在一定的情境下，彼此影响着去理解、去接受文中的意蕴，如教师引领学生，那么基于精细加工理论、学习环境设计思想、认知弹性理论选用语料，进行问题选择、情境创设、结构组建就能达到可读易理解的目标，顺利地将学习者纳入到参与探究、进行讨论、实践应用、发掘事实的意义场景.
三、数学教学：问题生成及教学策略
教材中的数学问题上通数学，下达课堂.但源于教材用于教学的数学问题具有生成性的特点，师生共同体通过问题这一桥梁，形成良好的教学生态环境，通过问题解决过程促使学习者数学智慧的形成.
（一）数学教学中的问题生成分析
数学教学就是要创设良好的问题情境，让学生通过问题来学习，在问题视域下，通过观察、实验、操作、计算、推理、讨论、探究等方式夯实四基，提高能力.而数学教材中的问题又是教学的源问题，因此教学中要针对学生的数学现实重构适切的问题情景及问题空间，让问题的表达、问题的解决、问题的评价更具生成性、智慧性.
1.数学问题表达体现生成性
数学问题是借助于语言提出来的，并借助于语言来分析和解决.由于数学问题具有经验性和非经验性的特点，因此，数学教学中数学问题表达的用词用语就要尽量适合学生的学习经验与语言习惯，无论是提出问题的方式、呈现问题的样态，还是展现问题解决的思路与教育价值，都要以更加饱满的问题域来承载学生对教学的高期望，使问题在当下的教学情景中与周边的环境相适合，切实展现问题产生的背景及过程，体现问题的联系，赋予问题以活性，使教学朝着有利于学生数学知识、数学思考、问题解决、情感态度的方向发展.
在“圆”一章的起始教学中，要对源问题、靶问题进行生成性表达，使学生渴望通过圆一章的学习实现学习目标.可设计如下问题：（1）老师给每位同学发了一张形状不同的纸（诸如三角形、四边形等），你能在纸上画出一个最大的圆吗？（2）回忆以前三角形、四边形图形性质探讨的方法与技巧，在所发纸的背面联想着写出圆图形可能的一些性质，你希望通过什么路径来挖掘更多的性质？等等.提出适合学生实际的问题域可激发和舒展学生的思维空间.
2.数学问题解决体现生成性
教材中提出、展现的某些数学问题给出了解决的思路，具有一定的示范性，通过师生、生生的多边数学活动，在赋予了师生的数学智慧后完成.师生在不断解构源问题、靶问题的过程中，通过对基本问题解决模式的建立、分析与解决，深化了数学理解.数学问题的解决是一个高度情境化的过程，无论是对静态的数学问题结构要素分析，还是对动态的数学问题中的思想方法挖掘，都要激活解决者动态体验和灵感，在动态生成的过程中探讨问题解决的思路、寻找问题解决的方法、串联众多的知识，形成自己的理解，真正实现过程性生成.数学问题解决的过程，是感悟数学思想、掌握数学方法、理解数学概念、获取数学经验的过程，是对数学知识的一种加工、应用、拓展的过程.在流动的数学问题解决过程中？师生之间的对立主要通过教材中的数学问题形成，由对立走向统一，在解决愿望推动下，发挥能动性，使未知向已知转化，并以关于对象的知的形式呈现出来，[6]从而拓展着师生之间数学问题解决域.
通过问题解决来学数学，是最有效的学习途径.如华师版、人教版教材中都涉及有关太极图的问题.可以设计成：以小组为单位，在观察太极图的基础上讨论下列问题：（1）整个图形的构成有什么特征？（2）太极图中圆周长、圆面积与圆中曲线的长度有什么关系？（3）能否用一条直线把阴阳太极图中的每一部分再分成面积相等的两部分？（4）能否像太极图那样用圆规和直尺画n-1条曲线把圆的面积划分成面积相等的n个区域？能得出哪些数量关系？（5）要把圆分成面积相等的3部分，你能给出几种分法？分成面积相等的6部分，又能给出几种分法？这种基于教材并在学生合作解决问题中生成更多的问题有利于激发学生的探索欲望.
3.数学问题评价体现生成性
数学问题是通向数学理解之途.通过数学问题的发现、提出、分析、解决过程就能达成学习数学知识、丰富数学智慧、促进数学进步的目的，有效与否，取决于对数学问题解决过程的评价与反馈.无论对数学中的基本问题、单元问题，还是重大问题、核心问题带着评价反思的眼光进行源与流、正与反上的思考与分析，总能有新的收获和感悟.在批判与质疑中才能挖掘教材中数学问题的本质，促其理解深化，进而防止接受片面的观点，抑制有创造性的思考.
在“圆”一章的学习中，不可避免地要碰到圆中最重要的一个量“圆周率π”问题，正是因为π带给人类无限的智力挑战，在初中教学中设计一个活动，让学生查阅π的相关知识，并在全班进行汇报展示，教师点拨评价，从数学文化的角度评析学生的成果，可达到良好的教学效果.
（二）数学教学中的问题解决策略
通过问题解决学数学不仅仅是一句口号，更多的是一种行动.教材中蕴藏着大量丰富的问题，这些问题的解决、思考、拓展为夯实学生数学素养提供了极其重要的经典素材.在认真思考问题背景、结构以及解决思路时，要进行生成性的教学设计与实施，使其真正发挥数学问题的文化力量.因此数学问题解决的教学策略就至关重要.
1.问题解决的准备策略
首先要细读研读教材中的数学问题，防止片面孤立的理解教材所呈现的数学问题，在系统观的导引下，从学生现实、数学现实、环境现实入手，剖析问题的结构特征；一个问题的解决需要一定的知识储备，精心析理问题解决所需的知识就相当重要，不仅是数学知识，还需准备相关学科知识、教育心理知识、社会科学哲学等知识，确保数学问题能够上通数学、下达课堂；数学问题的分析和解决都离不开语言因素，因此语言准备也是不可或缺的，不仅要对教材中的数学问题以适合学生理解的语言进行改造，而且还要通过问题语义的变迁促使学生数学思维方式的深层变化；问题的解决着力点还在于思想方法，因此思想方法的准备也十分关键，在对数学问题话语形式、叙事模式、形式结构、修辞机理进行准备时要将思想方法渗透其中，使之更加适合学生的心理特征.
让学生查阅圆周率相关知识时，教师要准备大量的与此相关的史料性知识，3种版本的教材中都涉及一些史料性知识，需要教师整合，从π问题的起源、探索的过程、结论的得出等维度进行梳理，把人类近四千年漫长岁月中探索的思想精华提炼出来，与学生分享，会使学生受益无穷.特别提出的是要把工夫花在问题准备上，如π的值是如何猜测与估计的？用了什么好的方法与技巧（从割圆术、渐近分数、三角函数、无穷乘积、无穷级数直到蒙特卡罗法）？π有何性质？[7]等问题，可激发学生的探究兴趣.
2.问题解决的实施策略
有了好的数学问题，就得通过好的活动去解决它，首先要营造活动开展的环境，虽然数学教材已经预设了问题解决的活动策略，它是按照一定的逻辑性与整体性设计的，有其顺性、自由、共处、精确、控制、预设、理解、对话、生成的基本特征，但教学现实中仍然需要盘活问题解决的活动空间，让独立思考、自主探索、合作交流、经验分享、智慧生成成为可能；其次要精心设计活动进行的环节，不管是对问题域进行深度剖析，还是对问题解决每一个关键点的点拨及启示，都要控制教师的话语权，任何一种话语形式的背后其实都隐含了一个欲望的运作机制或者说一种权力关系，[8]合理利用这种权力关系，让学生在数学话语活动中理解，在理解中活动；再次在活动中要把问题置于开放性的途中，不断开放师生的成见和理解，学会承认自我理解的局限性，正视不同的理解的正当性或合法性，这样就能在活动中吸收他人的理解来充实自己的理解，并以各种不同的理解不断扩展和充实问题解决的共有意义.[9]
在“圆”章节中，无论涉及运算问题还是推理论证问题的解决，都要设计成启发学生思考的情景，想法拓展问题解决的策略空间.如3种版本的教材中都涉及面积最大问题的计算，在解决这个问题时，可拓展提出“等周问题”及“最速降线问题”，[10]引导学生到一个新的问题视域中，让精力旺盛的学生去思索与探寻解决的途径，会收到意想不到的效果.
3.问题解决的评价策略
当师生通过一定的数学活动解决完问题后可能需要教师进行有针对性、实效性的点评，对其涉及的“概念知识”、“原理思想”、“策略方法”、“语言表征”等方面进行剖析，这是提升问题解决实效性的根本保证.恰当及时的评析是引导思维正向思考的助推器，也是开拓问题解决新路径的润滑油.通过评价反思，重新梳理会使概念的本质揭示更能接近学生的理解水平与兴趣层次，加深学生对概念、思想、方法了解的程度与层次.点评与反思也是发挥教师解释权的机会，通过一定的解释途径帮助学生理解数学问题解决的要领，评价时可能面临着学生个体许多有意义的实际问题与许多新奇的解决思路，把具有价值和意义倾向的思想梳理呈现给学生就能帮助学生生成意义，超越狭隘的先前理解.对教师而言，评价有效的办法就是向学生下放自主权，让学生自己去理解问题解决的意义.而教师要对自身的解释保持一种清醒的批判与反思，从而不断地更新教育话语表达方式，促进学生不断产生新的文本意义.
在学习圆的周长、面积时，笔者在教初中数学特长班时，设计了一个开放的问题让学生探索：给出一个椭圆的标准定义（涉及高中知识，简要解释了其含义），让学生试着猜测出椭圆的周长与面积.有学生给出了这样2个公式，椭圆的周长是：π（a+b），椭圆的面积是：πab.笔者对学生猜测出的公式感到十分高兴，在分析思路的过程中，鼓励学生验证其是否正确，使学生认识到类比思维有可能犯错误，但勇于探索的精神是值得肯定的.