生产函数的性质和利润率的变化规律，本文主要内容关键词为：利润率论文,函数论文,规律论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
马克思曾经说过，在资本有机构成提高的情况下，“利润率会不管剩余价值率提高而下降”[1]。然而，20世纪60年代初，Nobuo Okishio[2～3]提出了后来以他的名字命名的关于利润率趋于上升的“定理”。在此之后，围绕这个问题的争论一直没有停止过。例如，Laibman[4]的数学模型支持了Okishio定理，但Kliman[5]和Freeman[6]却认为，只要资本积累按某种过程进行，利润率就会下降。Wolff[7]对美国1947-1967年间所做的实证分析结论是：该时期剩余价值率的提高快于资本有机构成的提高，故利润率是提高的。Wolff[8]更进一步认为，那一时期美国资本有机构成实际上是下降的。Moseley[9]的实证研究结果却正好相反：美国资本有机构成的提高快于剩余价值的提高，所以利润率有明显下降。
上述研究的一个共同的不足之处是：没有充分地考虑生产函数的作用和利润最大化的要求，因而，不能全面地揭示利润率的变化规律。本文所要表明的是：按照利润最大化的要求，以及给定其他一些相当宽松的条件（如产品的价格和投入要素的价格均保持不变），利润率的变化趋势将完全取决于生产函数的具体形式。换句话说，在利润最大化的假定条件下，生产函数的性质决定了利润率的变化规律。
二、利润率方程
根据定义，利润率等于利润（它在量上与剩余价值完全一致）与总资本（简称资本）的比率。用公式表示即是：
C代表资本，①π和π′分别代表利润和利润率。
进一步来看，利润又等于收益减去成本，而收益是产出数量与价格的乘积，成本就是总的资本。因此，如果用q和p分别代表产出的数量和价格，则就有：
这里，为简单起见，我们假定产品的价格不随资本的变化而变化，即是所谓的“常数”，q(C)则意味着产出是资本的函数（后面将会看到，利润最大化的假定保证了该函数的存在）。
上式两边对资本求一阶导数后得到：
其中，等式右边括号中的第一项dq/dC是产出对资本的一阶导数，通常可称为资本的边际产出，括号中的第二项q/C则是资本的平均产出。(1)式表明，在假定产品价格p固定不变的条件下，利润率随资本变化而变化的方向完全取决于资本的边际产出与平均产出的相对大小：如果资本的边际产出大于平均产出，则利润率将随资本的增加而上升，反之，如果资本的边际产出小于平均产出，则利润率将随资本的增加而下降，最后，如果资本的边际产出恰好等于平均产出，则利润率将不随资本的变化而变化。
(1)式还可以变换为如下更加便于计算的形式：
是资本的产出弹性。根据(2)式，我们又可以说，在所给的条件下，利润率的变化规律完全取决于资本产出弹性的相对大小。如果资本的产出弹性大于（等于，小于）1，则利润率就随资本的增加而上升（不变，下降）。
由(2)式或(1)式可知，利润率究竟是上升还是下降的关键在于产出与资本的关系，即函数q(C)。只有在知道了该函数的具体形式之后，我们才可以求出资本的产出弹性（或者，资本的边际产出和平均产出），并根据资本的产出弹性（或资本的边际产出和平均产出），确定利润率的变化规律。然而，(2)式或(1)式本身却没有告诉我们关于该函数的任何信息。
(2)式和(1)式的另外一个缺点是，式中的产出q没有经过“优化”处理，因而不一定是“最优”的，或者说，不一定是利润最大化的。因此，用它来确定的利润π和利润率π′也不一定是最优的。
为了弥补(2)式和(1)式的不足，下面根据生产函数的性质和利润最大化的要求来推导最优产出、最优利润和最优利润率，并说明最优利润率的变化规律。
三、最优利润率
首先，设整个经济的总生产函数（简称生产函数）为：
q=q(k，l)
其中，k和l分别代表生产资料和劳动的数量。
其次，假定资本C全部用于购买生产资料和劳动。在这种情况下，整个经济的预算约束就是：
C=rk+wl(3)
这里，r和w分别代表生产资料和劳动的价格——假定它们与产品的价格一样也是固定不变的。
于是，整个经济的利润方程可以写成：
π=pq(k，l)-rk-wl(4)
利润方程(4)和预算约束(3)共同构成了完整的利润最大化模型。
利润最大化的一阶条件是：
换句话说，在假定产出和要素的价格均保持不变的条件下，最优利润率随资本变化而变化的规律完全取决于最优的资本边际产出和平均产出的相对大小：如果最优的资本边际产出大于（等于，小于）平均产出，则随着资本的积累，最优利润率将趋于上升（不变，下降）。与前面的(1)式相比，这里的(5)式具有完全相同的形式；唯一的区别是，后者所涉及的相关变量均已经过优化。
同样，(5)式也可以变形为：
其中，
是最优的资本产出弹性。于是，我们又可以说，在假定产出和要素的价格均固定不变的条件下，最优利润率随资本变化而变化的规律完全取决于最优的资本产出弹性：如果最优的资本产出弹性大于（等于，小于）1，则随着资本的积累，最优利润率将趋于上升（不变，下降）。
四、生产函数的类型与最优利润率的变化
现在，我们要根据(6)式来说明在某些类型的生产函数之下最优利润率是如何变化的。其具体步骤是：第一，根据给定的生产函数和约束条件，确定最优的要素；第二，根据最优的要素，确定最优的产出；第三，根据最优的产出，确定最优的资本边际产出；第四，根据最优的资本边际产出，确定最优的资本产出弹性；最后，根据最优的资本产出弹性，确定最优利润率的变化规律。
1.对数生产函数
对数生产函数形如：q=lnk+lnl
相应的利润方程为：π=p(lnk+lnl)-rk-wl
由利润最大化的一阶条件p/k-r=0、p/l-w=0
可得：k/l=w/r
它与预算约束一起决定了最优的要素数量：
由利润最大化的一阶条件
由此可见，在柯布—道格拉斯生产函数条件下，如果α+β＞（=，＜)1，即规模报酬递增（不变，递减），则最优利润率随资本积累而上升（不变，下降）。
3.广义柯布—道格拉斯生产函数
前面我们看到，在柯布—道格拉斯生产函数的条件下，利润率的变化规律完全取决于生产函数中包含的参数之和α+β的大小，而与资本积累的规模无关。如果α+β大于1，则利润率就随资本的积累而上升，反之亦然。
现在来看一个不同的情况——广义柯布—道格拉斯生产函数。与柯布—道格拉斯生产函数不同，在广义柯布—道格拉斯生产函数的情况下，利润率的变化规律不仅取决于生产函数中参数的大小，而且也取决于资本积累的规模。
广义柯布—道格拉斯生产函数形如：
可得：
。
在前面讨论对数生产函数和柯布—道格拉斯生产函数时，我们曾看到，即使资本的有机构成不变，最优的利润率仍然会变化。现在，我们又看到，在广义柯布—道格拉斯生产函数的条件下，最优利润率甚至会不顾资本有机构成的提高而上升。例如，当α／β大于“初始”的资本构成且
时，结果就是如此。
收稿日期：2008-12-20
注释：
①注意，在马克思主义经济学中，资本既包括不变资本，也包括可变资本。它等于购买生产资料和劳动的全部支出。