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六、系统思维与发现和提出问题 数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维.系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考查认识对象的一种思维方法.系统思维能极大地简化人们对事物的认知.系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现.同时，提升系统思维水平是培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的关键举措. 中学数学中，数、式及其运算，方程与不等式，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数，等差数列、等比数列，向量，平面几何、立体几何、解析几何，概率、统计，导数、积分等，都是一个个系统.每个数学概念也可以看成一个小系统. 例2 研究“三角形”的系统思维. 精简后的平面几何，主要学习相交线、平行线、三角形、四边形、圆.其中，三角形、圆是两个最重要的平面几何研究对象.对一个平面图形，一般按照这样的线索展开研究：从具体事例中抽象出基本图形（研究对象），给出定义及其表示，并对研究对象进行划分，然后研究图形的性质（判定），在此基础上再研究“特例”，在整个过程中始终注重与相关知识的联系和应用.三角形的研究按如下过程展开： （1）定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形分类.这是获得研究对象的过程. （2）研究基本性质，即研究三角形要素之间的关系，得到“两边之和大于第三边”“内角和等于180°”“大角对大边”“等角对等边”等. （3）研究高、中线、角平分线、外角等相关要素及其关系，如“外角等于不相邻两内角之和”“三条中线（高、角平分线）交于一点”等. （4）三角形的全等.（这是欧氏空间对称性的反映，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”） （5）特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的性质与判定. （6）三角形的相似. （7）直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形. （8）解任意三角形. （（1）～（7）的内容在初中完成，高中阶段解决（8）的内容） 概括起来就是：按“背景—定义、表示—划分（以要素为标准）—性质（要素、相关要素的相互关系）—特例（性质和判定）—联系（应用）”，从定性（相等、不等、对称性等）到定量（面积、勾股定理、相似、解三角形等）地展开研究.这样的研究体现了系统思维方式的结构性. 值得指出的是，这个结构具有普适性.数学教学中，只要紧紧抓住这一结构，再通过横向或纵向的类比与联系，引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系，就能使他们建立起研究数学对象的结构，并形成完整的认识. 下面以几何性质的发现为例，说明如何使学生学会“从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合考察研究对象”. 要使学生独立发现性质，首先应明白“什么是性质”.性质是指事物内部稳定的联系.那么，“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎样表现的？为此我们可以回顾一下三角形的性质：由“三角形的内角和为180°”“三角形两边之和大于第三边”“三角形中，大边对大角，等边对等角”等可以想到，三角形这个对象的“内部”可以是“三角形的组成要素”，而“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”.推广到一般就有“几何对象组成要素之间确定的关系就是性质”. 从“外角等于不相邻两内角的和”“三条高（中线、角平分线）交于一点”“等腰三角形三线合一”等又可想到，如果把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”，推广到一般就有“要素、相关要素之间确定的关系就是性质”. 研究两个几何事物所形成的某种位置关系的性质，例如：两条直线平行，从“同位角相等”“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系.因此，研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手. 当然，几何性质的表现形式有许多，但上述一般思想体现了“几何学是研究几何图形的形状、大小和位置关系的科学”，因此我们已经可以使学生发现大部分几何对象的性质了. 上述一般思想在研究立体图形的性质时也很奏效.例如：关于“棱柱的结构特征”.棱柱的要素、相关要素是：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高等.要素、相关要素之间的关系就是面与面、棱与棱、面与棱等之间的关系，由此容易得出棱柱的结构特征是：有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻的两个平行四边形的公共边都互相平行. 七、发挥核心概念及其反映的数学思想方法的引领作用 数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点. 把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉. 核心概念所反映的数学思想方法具有数学方法论的基础地位，反映了数学的本质和基本思想，是探索大自然中各种各样问题以及数学规律的指导思想，从中可以生发出解决问题的策略和方法. 发挥数学核心概念及其反映的思想方法的引领作用至关重要. 例3 向量与“向量法”的本质. 向量是近代数学的基本概念和重要表示方法，是沟通代数与几何的工具.向量的教学，要在学生对向量法的特点有基本而完整的认识的基础上与相关知识建立联系. 向量法的本质，首先是用符号表示方向，这是非常重要的，由此才有
，数学中称之为夏尔（或译为沙尔）定理，夏尔本人（Michel Chasles，19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号.F.克莱因指出：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处.初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括.”中学的内容里，这几个“一般定理”就是向量加法法则（向量回路）、向量数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为0），以及平面（空间）向量基本定理等四条基本法则.与平面几何、立体几何有大量公理和定理比较，向量法仅用这四条法则，确实体现了向量法简捷的特色，同时这四条法则也体现了向量法的本质特点. 在知识的联系性上，向量回路与“三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所成的封闭图形”是一致的，而三角形是最基本、最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础.所以，用好
对于体现向量法的优势具有根本的重要性.另外，从向量数乘与三角形相似的紧密联系，平面向量基本定理与平行四边形的性质的一致性，平面向量数量积与余弦定理等价等，都可以反映出向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发点解决问题，由此可以把众多的知识串联起来，形成有机联系的整体.同时，向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算，根据图形列出向量等式，使计算与图形融为一体，这是体现向量法解题特点的关键. 按照上述观点看当前我国的向量教学，可以发现，最主要的问题在于有些教师对向量的核心思想理解不透，导致教学中没有反映向量法的本质，披着向量法的外衣，实际上还是综合几何的方法；把向量法中的代数化曲解为“坐标运算”，不仅窄化了向量法的应用范围，丧失了几何的直观性，而且由复杂的运算引起学生对向量法的怀疑. 从几何课程改革趋势看，发达国家普遍重视向量.向量具有很好的发展性，在现代数学研究中发挥着重要作用，在信息技术中也是关键工具.因此我们应提高对向量的认识.从向量概念的核心看，“大小”与综合几何的内涵一致，而“方向”则是它独有的.因此，教学中要加深对“方向”的重要性的认识，要加强从四个“一般定理”出发思考和解决问题的教学，加强“代数运算”和“图形运算”的结合. 八、要使学生掌握研究一个数学对象的具体方法 以上主要是宏观性思考.思考清楚这些问题，可以让我们看清数学育人的大势，掌握课堂教学的大方向.如果不能站在这样的高度俯视具体的教学内容，那么课堂教学就很有可能走弯路，甚至做出违背数学教育基本规律的事情.目前出现的严重的“教学投机性”，大量使用课前导学案，不重视概念教学，试图通过大量做题提高考试分数的做法，就是突出表现.不客气地说，有些教师在数学课上教的并不是真正的数学. 有了数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导，课堂教学的高立意就有了基本保证.在实施课堂教学时，则还需要有可操作性的具体方法.好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，能把思想转化成学生面对问题时可以实施的行动.一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程. 例4 关于函数专题复习. 在高三复习阶段，针对函数专题，教师都会带领学生整理研究函数的内容、过程和方法，这样可以使学生掌握函数专题的知识结构，同时也明确研究函数的基本思路.但当他们面对一个具体的函数时，这些东西是否能派上用场？例如，高考试卷中往往会让学生研究一些基本初等函数经过运算、复合后的新函数，但考试的结果往往是学生表现不佳.所以，把思想落实在行动中还是很重要的. 例如，函数
的性质，作为高三复习课，要以导数为研究工具，以三次函数图象的形状特征为主线，探索三次函数的单调性、极值、零点个数等问题.其中需要确定研究的问题，构建研究的思路，设计研究的方法，获得三次函数的图象与性质.在此过程中，体会数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法.因此，本课的教学重点是在研究三次函数性质的过程中，进一步理解导数思想，切实掌握用导数研究函数性质的方法.具体研究中，要借助已有的研究基本初等函数的经验，以研究函数图象与性质的一般过程与方法为指导，通过对具体的三次函数图象与性质的研究，归纳三次函数的一般性质（如三次项系数的正负对图象的影响，有三个单调区间的条件，有i（i=1，2，3）个零点的条件，等等），把从定性到定量、从特殊到一般、从宏观到微观等思维方法的培养落实下来. 九、数学方法因解决问题的需要而产生 解决一个数学问题，无非是两种途径：一是调动已有知识解决之；二是创造一种新的方法解决之.我们在数学教学中的习惯做法通常是先告诉学生解题方法和步骤，然后让学生模仿解答.这样的做法对于培养学生的创造性思维是非常不利的，特别是要教的就是一种数学方法时，先告诉方法然后模仿，那么学生会感到非常无趣.这时，应创设一种情境，让学生感受到已有方法不能解决，并形成研究新方法的冲动，然后调动学生相关的经验（不只是数学经验），得出相应的方法. 例5 数学归纳法教学如何体现“归纳”. 这里要解决的问题是“证明一个依赖于自然数n的命题p（n）”，而用学生现有的逻辑推理方法如分析法、综合法、反证法等是无法证明的，由此可以引发认知冲突.显然，没有恰当的引导，学生无法独自创造出数学归纳法，所以需要设置恰当的问题情境，调动学生的已有经验，把生活中的经验抽象为数学表达，进而得到数学归纳法. 我们来看一下华罗庚先生在《数学归纳法》中的做法：先“以识数为例”，指出小孩子会数（shǔ）任何数是因为“他领悟了下一个数的表达方式，可以由上一个数来决定”；再以“从袋子里摸球”为例，指出如果保证“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西，也一定是红玻璃球”，那么“只要第一次摸出来的确实是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确结论：‘袋子里的东西，全部是红玻璃球’”；然后有一个过渡：“我们采用形式上的讲法，就是：有一批编了号的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第k号命题正确的时候，第k+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确”；接着以“前n个正整数的立方和”为例，“亦步亦趋”地指出第1号、第k号、第k+1号命题各是什么，并明确“下一步就是要在第k号命题成立的前提下，证明第k+1号命题也成立”；最后再给出含有“假设当n=k时……那么当n=k+1时……”的形式化表达.华罗庚先生的做法其实就是引导学生逐步理解数学归纳法本质的一个绝妙的教学设计思路.我们只要按照他采用的“先形象化，再形式化”“先日常语言，再符号化语言”的路线，并且明确地指出：用数学归纳法证明“p（n）真，n∈N”，要完成两个命题的证明，第一个是证明（验证）p（1）真，即证明n=1时成立；第二步是证明命题“p（k）真
p（k+1）真”，即以“p（k）真”为条件，证明结论“p（k+1）真”. 因此，“数学归纳法”的过程设计，要围绕：理解两个步骤的含义，特别是第二步是证明一个命题“p（k）真
p（k+1）真”；理解“两步缺一不可”.设计时应注意到： 第一，“引入”要使学生感受学习新方法的必要性，为此，以一个数学问题开头是必需的，例如“如果
，如何证明
”； 第二，要让学生经历“形象
抽象”“日常语言
符号语言”的过程，逐步抽象出数学归纳法； 第三，使用生活实例时，要像华罗庚先生那样，用形象的语言帮助学生建立数学归纳法的“直观模型”，用“有一批编了号的数学命题……”引导学生认识其中的“数学内涵”，为归纳两个步骤、领悟数学归纳法的精神实质做好铺垫； 第四，要引导学生分析无穷多个递推过程“p（1）真
p（2）真”“p（2）真
p（3）真”“p（3）真
p（4）真”……的结构特征，从中归纳出一般结构“p（k）真
p（k+1）真”.例如，第一步“引入”中的问题，要让学生仔细地、逐步地写出：
最后归纳出具有一般性的结构：
第五，要明确地指出，第二步的目的是证明一个新的命题（递推关系）：p（k）真
p（k+1）真，即以“p（k）真”为前提，证明“p（k+1）真”； 第六，要通过典型实例（主要是反例），使学生领悟为什么“两个步骤缺一不可”； 第七，要让学生“亦步亦趋”地说明，第1号、第k号、第k+1号命题各是什么.也就是要把“结论成立”具体化，写出n=k时成立的内容，还要写出n=k+1时，要证明的具体内容. 上述几条中，第五条和第六条是体现“归纳”的关键.从教学实践看，许多教师并没有让学生充分经历这两个步骤，因此学生对数学归纳法的本质、为什么叫“归纳法”等问题都是非常模糊的. 另外，本课的教学，从直观、简单、有利于从中抽象出数学意义（两个步骤）等考虑，“多米诺骨牌”和“从口袋中摸球”不失为好例子.在引入课题时，选择“无穷递推数列”，以引发“一一验证不可行，能否找到别的方法”的需求；在说明“两个步骤缺一不可”时，要使用一些简明易懂的反例，如数学史上知名数学家在归纳数学结论时犯的错误，或明显荒谬的命题（如“所有正整数都相等”）的证明等；在应用阶段，要注意用当前知识解释、证明已有知识的活动，如思考等差（比）数列通项公式、前n项和公式等是否已经证明（实际上只是“找到”了，但没有严格证明）、如何利用数学归纳法作严格证明等；为了培养学生灵活应用数学归纳法的能力，还应当有“先退后进”的例子. 十、要使学生学会用数学语言思考和表达 面对一个数学问题，用代数的语言、几何的语言进行刻画和表达，这是数学学习的基本任务.完成这个任务，实际上也是进行“数学的思考和解决问题”的教学. 例6 “函数的单调性”的教学，就是使学生在初中掌握“定性刻画”的基础上，进一步学习用符号化语言“定量刻画”. 我们都知道这是概念课、性质课，但这里的核心是要让学生学会用严格的代数语言刻画“在区间D上，当x增大时，相应的f（x）也随着增大”.这样，教学中就要引导学生借助具体函数，经历从图象直观到定性刻画，再到用严格的数学语言刻画的过程.教学设计中，关键是要思考如何采取有效措施突破x在区间D上的任意取值这一难点.
问题：你是怎样理解“y随x的增大而增大”的？你能用自己的语言表述吗？可以
为例. 意图：具体化.学生一般会转述为“x增大了，对应的函数值y也增大.” 追问1：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y也增大”又该如何表示？可以
为例. 预设：一般地，学生会从我们提供的表格中看到具体数值的变化规律，如： 1→2，f（1）=1→f（2）=4；2→3，f（2）=4→f（3）=9；…
追问2：（1）能写得完吗？怎么办？ （2）你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共同点吗？
追问3：这里对
有什么要求？只取（0，+∞）上的某些数是否可以？你能举例说明吗？
追问4：所以，更严格的表达应该是……
总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与“无限”相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量.其中，任取
，把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程 上述设计，主要是要通过体现“单调性”本质的问题，引导学生以具体函数为载体，思考函数变化的一般规律和结构，并用数学符号予以表达. 十一、加强用数学解决实际问题的教学 加强用数学解决实际问题的教学，是将数学知识转化为认识世界、革新创造的智慧的关键环节.学以致用才能体现出学习者的智慧.我们的课堂教学，解答数学内部的、结构良好的题目占据主要地位，而用数学解决实际问题的教学还相当薄弱. 我认为，数学应用课，选择合适的内容是需要考虑的，而在具体实施中，关键是要让学生经历完整的发现和提出问题、分析和解决问题的过程. 例7 “两个变量的线性相关”的教学思考. 这个内容的教学，要采用案例的方式，要让学生经历完整的数据处理过程.我们知道，统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，统计的目的在于从数据中提取信息，探索总体的数量规律性，其特点之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质.因此，通过教学应引导学生认识到： （1）样本的质量决定了统计结果能否客观反映总体，为了尽量保证样本的随机性，应根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，为此，应掌握一定的抽样方法. （2）为了从样本数据中提取需要的数字特征，对总体做出估计，应该有一定的数据整理、分析方法，这就要用确定性的数学知识探索样本数据中的数量规律. （3）用样本估计总体是统计的核心思想，样本是随机的，所以统计结果也是随机的，因此统计结果只能以好坏区分，不能以对错区分，这样，统计推断就有可能犯错误. 我们应认真领会“课标”提出的“统计教学必须通过案例来进行.教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题”的要求.因此，两个变量的线性相关一课要设计成一个完整的“统计案例”教学，要求选择合适的统计问题，让学生经历一次“发现统计问题—收集数据—画散点图—确定线性回归方程—做出统计推断”的完整过程，学习线性回归的基本方法，体会用样本估计总体的思想，体会统计思维与确定性思维的差异.教学设计时要注意到： （1）可以直接给出数据，但要说明“这是通过抽样收集到的一组数据”. （2）要让学生分析表格的含义，然后再画坐标系，作出散点图（这里已经开始用函数观点看问题了）. （3）要鼓励学生思考“哪条直线能够代表这些数据？”“这些点集中在直线的附近是什么意思？”“你觉得可以用什么方法确定这条直线？”“样本点集中在直线的附近如何用数学的方法来刻画？”“样本点到直线的整体距离最小的含义是什么？”“你觉得可以用哪些数学方法来表示这个最小距离？”（从“最小一乘法”到“最小二乘法”，用精确的数学知识刻画直观、定性的方法） （4）对大多数学生而言，推导线性回归方程系数公式不太重要，重要的是体会最小二乘法思想，知道线性回归方程是对总体的一个估计，并能用它进行统计推断.（体现统计观念——为决策提供依据，但结果具有随机性，因此可能出错） 实际上，这个过程就是“建立数学模型，解决现实问题”.所以它对于一般的数学应用教学也是适用的. 十二、在探寻前人解决问题的足迹中增长智慧 当前，数学史融入数学教学的研究方兴未艾.这一研究对数学教育的发展意义重大，我们可以从中获得发展学生思维能力，把数学知识转化为学生认识世界、革新创造的智慧的启发和思路. 首先，融入数学史的数学教学对于激发学生的数学情感、认识数学的价值作用很大，这是大家公认的.例如，在解决天文、物理、化学、生物等其他学科提出的问题中发展出新的数学理论（如微积分），在解决数学名题的过程中发展出的数学新理论、新方法（如勾股定理及其推广、概率统计中问题等），数学内部的发展需要而引发的数学家思想的冲突、交流、失误，乃至数学家的突发灵感而推动数学发展的事实等，都是重要的教学素材. 其实，融入数学史的数学教学对于学生掌握“双基”、理解数学的思想与方法也是非常有帮助的.如果能在教学中恰当地展现数学核心概念的产生背景与发展过程（乃至某些数学术语、符号的文化内涵）以及由此而发展出的数学理论，对学生整体把握相应的数学内容将很有好处.同时，数学发展进程中积淀了数学家的思想和方法，在课堂上展示“数学家是怎么想的”，能让学生深切感受数学思维的丰富、灵活，在古今不同思想方法的对比思考中，可以启迪学生的数学思维，发展他们解决问题的能力. 例如，圆周率的计算是数学史上的重大问题.这一课题的教学，要在使学生明确问题的基础上，设计多种方法，如“割圆术”、建立函数模型、概率方法、级数理论等，通过编写计算机程序、利用微积分知识等求出圆周率.这是一个体现数学史融入数学教学思想的好素材，可以展示人类生产生活对圆周率的需要，数学家们为了获得精度更高的圆周率而不断创造新的数学方法，随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式.直到现在，人们还在为验证计算机的运算能力（有的是完全出于兴趣）而研究圆周率的算法.显然，在这一内容的教学中，学生的数学知识、技能和解决数学问题的能力都会有所提高. 同时还要意识到，融入数学史的教学设计与教学实践，对数学教师的专业化发展也很重要，特别是对数学知识发生发展过程的认识水平，对数学思想、数学方法产生过程的了解而促进教师对数学思想和方法的理解深度，从数学发展进程中遇到的问题和困难而关照学生的数学认知困难，以及对哪些数学知识处于核心地位的认识等等，都是具有极大启发性的.培根说：“读史使人明智.”在数学史融入数学教学的过程中，不仅可以使学生增长智慧，教师也可以在自身专业结构得到更新、演进和丰富的过程中增长教学智慧. 十三、限制课堂容量，延长知识获得过程，给学生“悟”的时间 前面主要是从数学内容的角度谈的，这里再谈谈教学方式问题. 一段时间以来，赶进度，三年课程两年完成，已经成为高中数学教学的常态.显然，这是为了应对我国社会发展需要、政府对学校的要求以及家长对子女教育的需求而选择的一种方法.以往的政绩考核以GDP为标准，对教育的考核标准是“教育GDP”——升学率，更有甚者，人们心目中的标准实际上已经演化为“上清华北大”.于是，就像经济发展以牺牲环境、消耗资源为代价一样，我们的教学也采取了“能取得高分数”的教学方法，不顾学生的长期利益而搞“速成教育”.其实，广大教师都知道这种方法不对，都知道催熟的东西不好吃，揠苗助长肯定不能造就真正的人才，但理想的追求永远是敌不过现实功利的力量的. 幸运的是，从去年开始，中央已经明确提出不再单纯以GDP为导向，加大了对环境保护、资源消耗等约束性指标的考核，并且对急于求成、盲目举债搞“政绩工程”要追究责任.对应到教育、教学业绩考核，以“升学率”“重点率”为导向的质量观也已经走到尽头.因此，我们必须做出改变.应该把“教育是‘慢’的事业，‘慢’就是快”的理念落在实处.教学中应加强动手、思考和感悟的实践，培养学生渴求知识的感觉.直接告诉知识，可以让学生在短时间内得到更多的知识，但这样做很难让学生得到“如何思考”的智慧.先让学生思考、感悟，经历“猜想—验证”“发现—论证”的过程，然后上升为理性认识.越是看上去简单的知识，越要让学生去亲身感悟，从中获得“如何思考”的体验，这样得到的知识才能转化认识世界的智慧，从而创造力的培养也就蕴涵其中了.真正的学习必须经历“感知—感悟—知识”的过程，“一个定义，三项注意，几个例题，大量练习”的方式不可能使学生把知识变成为认识和解决问题的智慧. 造成数学教学现状的原因其实还有我们的教学观念.教师总怕学生出错，因此常常采用先示范后模仿的方式进行教学，先规定好动作，然后让学生通过反复操练而达到“熟练工”的水平.理由似乎很充分：要跟上进度，同时这样做也可以考出好分数.赶进度，造就速成品，结果是学生成了只会做不会想的解题机器.许多教师都有这样的困惑：学生冥思苦想而不得其解，一经提示就恍然大悟，问题到底出在哪里？我认为，这种“不是做不到，而是想不到”的现象，正是数学素养低、数学能力差的表现.改变这种状态，要让学生不仅能做而且会想，唯一的办法是放手让学生自己先想、自己先做.这就需要限制课堂容量，放慢教学节奏，给学生“悟”的时间，给学生说出自己想法的机会.如果学生学会提出含金量高的想法了，那么离创造也就不远了. 教之道在于“度”，学之道在于“悟”.数学知识的学习是可以举一反三的，研究数学问题是有“基本套路”的.我们要追求“一通百通”，而不是“面面俱到”.数学教学中，为了发展学生智慧，有一些基本问题需要思考.例如： 如何用有趣的问题引发学生兴趣，用反映本质、恰时恰点、直击要害、简明易懂的问题引发学生思考、讨论？ 如何不急不躁，给学生充分的时间思考、讨论，自然而然地为学生构建数学研究路径？（从典型丰富的具体事例着手，开展独立思考、自主探究、合作交流，发现共性、获得猜想、给出证明，使数学知识成为学生独立发现和证明的结果，这是基本回答） 如何提高解题的层次，通过解题，使学生认识一般的数学原理，并且让学生体会“如何做研究”，使思维的训练、创造力的培养蕴涵其中？ 我们必须认识到，“讲解示范—模仿训练”的方式，可以在短时间内向学生传达大量知识，但不利于提高学生的批判性思维水平和想象力，不可能使学生学会发现和鉴别数学事实、对数学现象进行严谨的逻辑分析、形成对数学知识的理性认识. 关键在教师：在理解数学、理解学生的基础上，选取恰当的学习素材，提出适合学生认知水平的、有挑战性的学习任务，用逐步递进的启发性问题，引导学生思考、探究. 教学中应多问学生“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”“还有别的想法吗？”少问“是不是？”“对不对？”更不要“我已经给大家准备好了，下面开始算吧！” 以上是笔者对我国当前数学课程改革，特别是数学课堂教学中存在的问题及其改进措施的一点思考.
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