回到概念：做有价值的教学研究，本文主要内容关键词为：教学研究论文,有价值论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
目前，许多教师不注重对概念的深入研究，在教学中既缺乏以数学概念的抽象过程为载体的学生认知过程分析，照本宣科地“灌输”概念，又缺乏以数学对象本质属性的揭示过程为载体的思维探究活动设计，依样画葫芦地“假探究”性质，而对概念的机械性记忆和性质的程式化训练乐此不疲.“这样的教学丧失了‘使学生经历研究一个数学对象的基本过程’的机会，浪费了一个培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的好素材.探究过程中没有实质性的数学思考，致使培养学生的逻辑推理能力、发展学生的几何直观能力等都落空了.”[1] 概念是思维的细胞，思维教学必须回到概念.下面以“图形的旋转”的教学为例，从“三个理解”视域，重点谈谈如何回到概念，做数学教育研究. 一、回到概念，从理解数学视域搞透“是什么”，实现目标导学 为师者，做明白之人，方能使人明白.思维教学立意的高度取决于对数学理解的深度.理解数学，就是理解数学对象的数学地位、内容结构、概念和性质，对数学对象形成从表面到本质、从具体到抽象、从孤立到系统的认识，挖掘其中蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源. 1.“图形的旋转”的数学地位和内容结构 图形的旋转是继图形的平移、图形的翻折后的又一种全等变换，许多图形的运动包含了图形的旋转；从数学内部来看，“图形的旋转”是研究中心对称图形（如平行四边形、圆等）和图形运动的重要工具，从生活实际来看，“图形的旋转”广泛应用于认识和解决现实问题. “图形的旋转”的内容结构是：概念和性质—特例（性质）—应用（数学内部、实际问题），其中，“概念和性质”是基础，是重中之重. 2.“图形的旋转”的概念 《义务教育数学课程标准（2011年版）》现行各版本教材图形的旋转概念中，具有代表性的描述有以下4种. 人教版：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. 苏科版：将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角. 浙教版：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心. 华东师大版：如图1，单摆上的小球由位置P转到位置P′，显然它是绕上面的悬挂点在一个平面上转动.像这样的运动，就叫做旋转.这一悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心.
我们发现，各版本的描述具有三个共同点（“三要素”的生长点）： （1）用“转动”描述“旋转”. （2）绕“一个定点”. （3）转动“一个角度”. 我们也发现，各版本教材的描述具有的差异： （1）人教版、北师大版、华东师大版、湘教版、冀教版教材强调“在平面内”，而其他版本没有. （2）北师大版、浙教版、冀教版教材强调“按某个（同一个）方向”，而人教版、湘教版和苏科版教材并没有把“旋转的方向”单独作为旋转要素. （3）人教版、苏科版、浙教版教材定义为“图形的旋转”，而其他版教材定义为“旋转”. （4）华东师大版、浙教版教材认为图形的旋转由“旋转中心”“旋转的角度”和“旋转的方向”所决定，而其他版本均将“旋转的角度”取代为“旋转角”. 3.“图形的旋转”的性质 图形的旋转具有下列性质： （1）旋转前、后的图形全等（对应线段相等，对应角相等）. （2）对应点到旋转中心的距离相等. （3）各点与旋转中心的连线所转过的角等于旋转角. 大量的生活事例和经验告诉我们，转动具有下列属性： （1）绕“一个定点”（保心）.运动物体上所有点都绕一个固定的点转动，这个固定的点叫做旋转中心. （2）作“圆周运动”（保距）.一个圆确定一个平面，因此作圆周运动必定是在同一个平面内，运动物体上各点到旋转中心的距离保持不变. （3）作“刚体运动”（保形）.作为一个整体，运动物体上各点都绕旋转中心作等角速度运动，而不改变相对位置. 转动的这些属性是图形的旋转的性质的生长点. 二、回到概念，从理解学生视域搞清“学什么”，实现以学定教 为师者，理解学生，方能知学生所需，为学生施教.理解学生，就是理解学生的认知需求和认知规律，理解当前的数学对象与学生的生活经验和已有数学经验的联系，以及当前数学知识与学生已有认知结构的“距离”. 1.学生对转动和旋转的认知经验 （1）转动和旋转是人们生活体验中常见的物体运动（时针、自行车轮、摩天轮等运动），学生对它们的特征有初步、直观的感受. （2）学生可以在大脑中对图形进行模拟旋转，也可以通过画图表述旋转，并进行简单的合情认知与推理. （3）学生已有学习图形的平移、图形的翻折的经验，熟悉研究图形运动的基本路径和方法，他们对图形的旋转有探究的欲望. 2.学生已有经验到“图形的旋转”的认知提升 （1）从“实物的旋转”抽象出“图形的旋转”，形成由具体到抽象的认知提升. （2）从实物的旋转初步、直观的感受，到揭示并认识图形的旋转的“三要素”的本质特征，形成由现象到本质的认知提升. （3）从实物的旋转中简单的合情推理，到图形的旋转的性质探究，形成由感性到理性的认知提升. 3.学生可能形成的疑惑和疏忽 （1）旋转与转动有什么异同？为什么要用转动来描述旋转的概念？ （2）图形的旋转为什么具有“三要素”？ （3）图形的旋转的性质应从哪些角度来研究？为什么要从这些角度来研究？许多教师也只重视结果灌输，疏忽过程探究. 三、回到概念，从理解教学视域搞明“怎么教”，实现教学一致 为师者，理解教学，方能使学生获得最大的学习效益.理解教学，就是在理解数学、理解学生的基础上，以学生的认知需求确定教学内容，以学生的认知规律选择教学策略. 1.关注对概念抽象概括的定向设计 图形的旋转是从若干典型、具体的物体的旋转中抽象得到的，物体的旋转具有可操作性，而图形的旋转只能依赖抽象建构或模拟操作. 概念孕育于问题情境.教材总是从“尝试”“操作”“观察与思考”出发，将学生的认知从熟悉的、动态的“物体的旋转”提升到纸上的、静态的“图形的旋转”.教学中，教师应关注概念的“生长点”和“延伸点”，可以组织学生借用硬纸板或透明纸片在桌面（或黑板）上操作，在操作过程中不断把注意力引到物体的轮廓，进而想像轮廓的旋转，让学生亲历转动、观察与比较的过程，并逐步概括图形的旋转的概念.这种定向活动有利于学生在操作中学会思考、学会概括，也为抽象“三要素”和揭示性质作必要的铺垫. 2.关注对概念核心关键词的通透解读 （1）“转动”与“旋转”. 根据多年教学和听课经验发现，在概括“图形的旋转”的概念时，如果教师没有特别引导（学生也没预习），那么九成以上的学生会这样概括“在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这种图形运动称为图形的旋转”.如果教师追问“什么是‘旋转’呢？”学生往往无言以对（其实许多老师自己也说不清）. 转动是“机械运动的一种形式.当一点以另一固定点为中心作圆周运动时，亦称该点在绕中心点转动.”[2]《辞海》中无“旋转”词义解释，只有“旋”字义，“旋：转动”[2].旋转是“物体围绕一个点或一个轴做圆周运动”[3].初中几何主要研究平面图形关于旋转中心的旋转， 转动只强调“转（zhuàn）”，即回还的运动方式，旋转不仅强调这种运动方式，还强调图形位置的转（zhuǎn）移，换言之，转动只要求图形以一固定点为中心作圆周运动，而旋转除要求图形以一固定点为中心作圆周运动外，还要求图形有唯一确定的前、后位置.所以，转动是旋转的运动方式（过程），而转动停止后的状态是旋转的结果. 明白了这个道理，我们就不难理解教材为什么用“转动”来描述“旋转”了. （2）“三要素”的确定. 图形的平移具有“两要素”——平移方向和距离，就是说只有当平移方向和距离都确定时，平移后的图形（即对应点的位置）才唯一确定；同样，图形的翻折具有“一要素”——对称轴，只有当对称轴确定时，翻折后的图形才唯一确定.图形的旋转同样具有“唯一确定性”，学生自然会想：图形的旋转具有哪几个要素呢？ 理解了“旋转除要求图形以一固定点为中心作圆周运动外，还要求图形有唯一确定的前、后位置”，我们就不难发现，图形的旋转除具有一个固定的旋转中心外，还要具有确定的旋转方向和旋转的角度（缺一不可）.由于角度是向量，因此旋转方向蕴涵于旋转的角度之中，这也是人教版、湘教版和苏科版教材并没有把“旋转的方向”单独作为旋转要素的原因. 在教学中，教师可以设计问题串，引导学生仿照物理学中控制变量的实验方法，通过操作感受“三要素”的必要性.“三要素”也是性质的根结点，如果对“三要素”理解不到位，后续教学将思维紊乱，不堪重负. 3.关注对性质实质性探究的角度探寻 （1）图形的旋转的性质指的是什么？ 图形运动的性质，就是指在图形运动前后，图形的整体或部分具有的变中不变的本质特征.具体地说，图形的旋转的性质就是指在旋转前后，整个图形以及对应的点、线所具有的形状、大小和位置关系. （2）应该从哪些角度探究性质？ 我们可以从两个维度探究：一是形“图形→线段→点”，二是量“形状、大小和位置关系”（如表1）.回到概念，图形的旋转是以转动为运动方式，因此它具有转动的属性.
由此，我们可以从多个角度提出若干个探究话题，得到若干性质，归结起来不外乎三点：整个图形的全等关系、对应点到旋转中心的距离关系、对应点转动的角度关系. 性质的理解不是难点，难点是怎么想到从这三个角度来探究的，这正是概念教学中最本源、最有思维价值的问题.所以，在教学中，我们要给学生自我选择角度提问题的机会，让学生参与实质性的数学思考，培养逻辑思维能力和数学思维方式. 四、对教材修订的建议 （1）义务教育阶段未学习向量，因此“旋转的方向”还是从“旋转的角度”中分离出来为宜，以免在抽象“三要素”的过程中形成障碍. （2）“图形的旋转”应规定为专有名词.旋转不限于平面图形（如地球绕地轴旋转等），是学生生活经验中的既有概念，与普通名词“旋转”相比，“图形的旋转”内涵更丰富、要求更具体.若不作规定，会有两方面不足：一是“图形的旋转”容易与既有的“旋转”混淆，二是容易陷入用旋转定义旋转的境地，违背“定义概念中不能直接或间接包含被定义概念”[2]的基本规则. （3）概念的表述须精准无误.“旋转的角度”并非“旋转角”，旋转的角度是量（向量），而旋转角是形；“转动的角叫做旋转角”“对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角”等说法都有歧义.
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