含参函数最值问题的解法探讨论文_刘杰

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摘 要：最值问题是数学领域中的重要组成部分，更是函数研究中尤为重视的一块分支，基于此，文章结合笔者教学实践，针对函数求最值这一方面进行了相关的探讨,介绍了含参函数求最值的几种方法,以便于广大师生掌握求函数最值的求解方法。

关键词：含参函数；最值；直接赋值；间接赋值

求解函数最值是一类特殊的数学问题,在数学学习中经常出现，也是数学教学的一项重点与难点，在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用。本文将通过“以值代参，特殊赋值”的思想来解决含两个或两个以上参数的一类函数求最值问题，以期简化解题过程，使解法更为简洁、直观、优美。

1.“直接赋值”求含参函数最值问题

在解两个或两个以上含参函数的最值问题时，往往会借助线性(非线性)规划来解题。

有时候，如果能围绕最大(小)值的定义(设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:(1)对任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M。那么，我们称M是函数y＝f(x)(x∈I)的最大值。)，即只需在定义域中取合适的值代入表达式，得到参数满足的必要条件(条件(1))，接下来只需验证这个最值的充分性即可(条件(2))。下面举例加以说明。

问题1 设函数f(x)＝ax2－2ax＋2－2b(a，b∈R)，当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则a＋2b的最大值是。

解析 由f(x)＝(x2－2x)a＋2－2b，令x2－2x＝－1，可得x＝1，显然1∈[－2，2]，因f(x)≥0恒成立，故f(1)＝a－2a＋2－2b≥0，即a＋2b≤2，由此便证明了a＋2b小于等于2的必要性；接下来只需验取到最值的充分性，即最大值2能取到即可。可以验证:当a＝2，b＝0时，满足题设要求，即a＋2b可以取到最大值2。

评注:此题中是将a＋2b看作当x取定义域内某个特殊值时所得到的一个确定的函数值，笔者把这种思想在下文中简称为“以值代参，特殊赋值”，故此题只需令x＝1，即可得到a＋2b的形式。事实上，当a＋2b＝2时，f(x)＝ax2－2ax＋a＝a(x－1)2，故只需a取大于等于0的任何实数都能满足题设条件，所以此题中满足a＋2b取到最大值2的(a，b)有无数多对。从线性规划解题角度来理解，当a＋2b取到最大值2时，目标函数a＋2b＝Z所表示的直线正好与可行域中一条边界重合，故满足题设条件的(a，b)有无数多对。

评注:此题在问题5的基础上增加了一个x项系数的条件，即限定了最值能取到的条件，从而决定了应该对x赋值－1，1，而不是随意赋值。比如，若考虑|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，则2M(a，b)≥|f(1)|＋|f(0)|≥|1＋a＋b－b|＝|1＋a|≥3，所以M(a，b)≥。造成这种错误的原因就是没注意“＝”取到的条件。

问题7 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)，当x∈[－1，1]时总有|f(x)|≤1，求|a|＋|b|＋|c|＋|d|的最大值。

从以上几个问题可以看出，题目所给参数形式不是只要能够凑到就可以随意配凑，在对定义域中x进行赋值过程中必须注意满足最值取到的条件才能得到正确结论。

3 结束语

总之，在数学学习的过程中,求最值的问题十分重要。灵活的运用函数最值的解法是至关重要的，通过它解决的不仅是学业上的课题，而且它将在解决实际问题中扮演着一个至关重要的角色。 因此,我们数学老师在具体的教学过程中一定要突出这一重点。以上是本文整理出的有关于求含参函数最值问题的几种解法，供参考。

参考文献：

[1]袁显明.一类含参函数最值问题的最优解法[J].数理化解题研究, 2015(4).

[2]王仰东.应用导数求解一类函数最值问题[J].中学数学教学参考, 2015(24).

论文作者:刘杰

论文发表刊物:《文化研究》2017年6月

论文发表时间:2017/9/19

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