挖掘精华产生奇怪的效果，双直线模型巧妙地解决问题_数学论文

挖掘本质出奇效，双直模型巧解题——由一则教师说题案例设计说起，本文主要内容关键词为：奇效论文,模型论文,本质论文,案例论文,教师论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      波利亚有句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题”.而对于解题教学，如果能够注重探究问题的根本，挖掘并领悟问题的本质，就会在应用时得心应手.作为数学教育工作者，教会学生解题可以看做是教会学生思考，通过深层次的思考悟出真知的过程.教师通过解题教学帮助并引导学生从题中挖掘本质并归纳出解题的通法，从而使学生达到“做一题，会一类，通一片”的效果.近年来，教师说题活动作为研究解题教学的一个平台，已越来越被广大教育工作者所关注.在暑期初中数学教师专业培训中，笔者所在区骨干年轻教师沈莹琪老师的说题设计过程给笔者留下了深刻的印象.本文就结合沈老师的说题过程谈谈自己的体会和思考，与同仁共勉.

      二、题目呈现

      如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.

      

      （1）求证：EF=EG.

      （2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变.（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

      （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求

的值.

      

      试题点评：该题为2011年临沂市中考第25题，梯度合理、设问巧妙、立意高远，综合性较强，知识覆盖面广.主要涉及的核心知识点有：正方形和矩形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，运用到了转化、类比、数形结合、从特殊到一般等重要数学思想，突出对能力立意和数学思维的考查.该题作为本次教师说题比赛的素材非常适合，通过每位教师的说题情况可以清楚地反映出现今教师的“解题教学”能力.

      三、案例评析

      （一）题前引入，起点较低

      同学们是否发现过这样一个现象：如图4，将一把三角尺的直角顶点与某个正方形的顶点重合之后，感觉图中有特殊之处，请问同学们：问题1：最特殊的地方在哪里？（一对直角的顶点重合）问题2：图中有特别的等量关系吗？（AF=AG）归纳小结：共顶点的两直角（下称“双直模型”）中蕴含着一个特殊的结论——能形成一对相等的角，如图5，∠1=∠3.该基本图形模型将在接下来的题目中等待你的挖掘.

      

      评析：沈老师通过一个特殊发现作为本题的题前引入，起点较低，能面向全体学生，并通过引导学生发现特殊之处必有突破之口，来揭示其本质——“双直模型”构成的等角，最终得出结论：AF=AG.由此，不仅顺理成章地引出了整个原题，还将学生的注意力以及状态快速地调整到解题之中.

      （二）思维引导，层层递进

      对于（1），沈老师采用以下一组问题串做思维引导.问题1：证明两条线段相等的方法有哪些？问题2：此题用哪种方法解决比较合适？（证全等三角形）问题3：证三角形全等的条件够了吗？还缺什么条件？（“双直模型”构成的等角）

      对于（2），同样是一组问题串的思维引导.问题1：与图1形状类似，能否类似地用全等来证明？（强调类比思想的运用）问题2：找不到所要求的三角形怎么办？（作辅助线，如图6）问题3：与图1相比，有类似的地方吗？还缺了什么？（“双直模型”构成的等角）

      

      第（3）题的难度明显提升，知识背景由正方形换成了矩形，知识点也由全等升级为相似，继续利用问题串做思维引导.问题1：遇到比例问题，你想到了什么？（相似）问题2：与EF、EG、AB和BC有关的相似三角形存在吗？（不存在）问题3：怎么搭建桥梁，构造相似三角形？（作辅助线，如图7）问题4：EH与EK的比与AB和BC的比有什么联系？（相等）

      

      评析：有题前引入作为铺垫，再加上问题串的思维引导，学生就不难想到可以借助“双直模型”这一基本图形来解决问题了.从说题设计过程可以看出：沈老师并非直接给出解题思路，而是通过“问题串”进行思维引导，将学生的思维逐步引向解决问题的方向.设计的“问题串”层层递进，由浅入深，由表及里，条理分明地进行，符合学生的认知规律，凸显教师的引导作用，同时也不弱化学生的主体地位.

      （三）多解拓展，精彩纷呈

      1.一题多解，增加思维宽度

      我们知道，一题多解探究可以拓宽学生的思路，培养他们思维的发散性和融合性，使学生思维的角度更多，思维的范围更广，真正做到增加思维宽度，达到连线成面的效果.沈老师除了给出刚才的解法，还引导学生得出以下解法.

      解法2：当出现多个直角时，我们可以考虑利用常见的“三垂图形”（或称“K”型基本图形），如图8，原题中的三问可以采用如图9、10、11的解题思路.虽然辅助线添法不一样，但是实质并未发生改变，依旧是利用构造全等三角形来证明线段相等.

      

      解法3：对于（2），我们可以采用另一种构造全等三角形的思路来解决，过点E作EM⊥AC，交CB的延长线于M，如下页图12，可以利用△ECF≌△EMG得出EF=EG.（3）可以用相似三角形类比得出结果，如下页图13.

      

      2.一题多变，揭示问题本质

      一题多变是教学的艺术，在变式中展现问题的本质，在推陈出新中透出教师的功底.沈老师分别从纵向（同一问题的层次性深入拓展）和横向（不同问题但同本质的拓展）两个方向进行演变拓展，在深化教学内容的同时揭示问题的本质，促进思维的变通，最终帮助学生提炼出解决此类题型的通法.

      纵向变式1：如图14所示，若将三角板绕着直角顶点旋转，两条直角边分别交直线BC和直线CD于点G和点F，则（2）和（3）的结论仍然成立吗？

      纵向变式2：若将三角板的直角顶点移到AC的延长线上或者是CA的延长线上，其余条件不变，则（2）和（3）的结论仍然成立吗？

      

      横向变式1：（2012·乐山）如图15，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为

.其中正确结论的个数是（

       ）.

      

      横向变式2：（2013·绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.

      （1）如图16，AC:AB=1:2，EF⊥CB，求证：EF=CD.

      

      （2）如图17，AC:AB=1:

，EF⊥CE，求EF:EG的值.

      

      横向变式3：（2014·绍兴）如图18，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C.

      

      （1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长.

      （2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA:PC的值.

      （3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA:PC的值.

      评析：沈老师在说题的中后阶段展现了非常精彩的一题多解探究及一题多变拓展探究，整个设计呈现出明显的梯度，合理到位，起到了拓宽学生的思路、增加学生思维深度的效果.我们知道，提炼基本图形是学习、研究和理解几何问题的重要手段.许多问题表面上看似不同，实际上本质相通.沈老师通过对多个能利用“双直模型”巧妙求解的中考题的展现，真正达到了“多题归一”的效果，使学生深刻感受到了挖掘本质所带来的奇效，还进一步给学生带来了能继续延伸拓展的空间，充分挖掘并提炼出本类题的解题通法.

      （四）反思感悟，深刻到位

      最后，沈老师引导学生进行解题后的反思感悟.问题：在解决该题的过程中，你体会到了什么？（1）几何证明中，特殊之处必有突破之口；（2）当图形中出现直角时，可以尝试从顶点出发再构造一个直角，建立“双直模型”，再利用三角形全等或相似解决数学问题；（3）当出现线段比例问题时，可以考虑相似；（4）若一次相似难解决，可以考虑多次相似和比例的转化；（5）当出现直角问题时，我们还可以考虑利用常见的另一种基本图形的模型——“三垂图形”（或“K”型图形）来解决问题；（6）在解决问题时，考虑“一题多解”和“一题多变”能拓展思维，提高解题的能力，在解决变式问题时，要学会抓住题目中不变的本质和规律，从而逐步达到“做一题，会一类，通一片”；（7）注重数学思想方法的运用，本题中用到了转化、类比、数形结合以及从特殊到一般等重要数学思想方法.

      评析：古人云：“为学之道，必本与思”.作为教师，应该让学生形成一种观念：解题不是目的，而是一种手段.完成解答过程只是完成了解题任务的一半，解后的反思提升将完善整个解题过程.我们所需要的题后反思提升是有意识地对解题思路、解题方法及相关知识进行再认识、再提高，并加以文字整理和总结的过程.沈老师的题后反思提升均是从之前的解题过程中提炼出来的，深刻、完整且到位.不仅起到了加深理解和进一步巩固基础知识的作用，还让学生明白了解题需抓住本质，才能举一反三，触类旁通，总结出解题方法规律和数学思想方法，最终成为解决难题的“钥匙”.

      对数学问题的解读，从宽度和深度上来说都是没有止境的.罗增儒教授强调要“不断解读问题的深层结构”，意义正在于此.沈老师的精彩说题案例，值得我们广大教师回味与思考，特别是通过对“双直模型”基本图形的深入挖掘，实现巧妙解题的过程.让学生通过对一个问题的深层结构的本质挖掘探究感悟到了对一类难题的解题通法的提炼.相信学生能把这样的学习方法渗透到今后的学习中去，这才是解题教学价值的真正体现.

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