单值 Neutrosophic sets环境下基于参照系数的 VIKOR方法
范建平，刘胜男，吴美琴
(山西大学经济与管理学院，山西 太原 030006)
摘 要： 模糊集的提出极大拓宽了多属性决策理论，但无法处理不一致和不连续信息，单值中智集(single-valued neutrosophic sets)的提出弥补了这一不足。本文把单值中智集的三个参数投影到坐标轴上形成三维空间，并把VIKOR方法拓展到该环境下。为了使得VIKOR方法同时考虑正理想解和负理想解对方案的影响，本文提出参照系数的概念并将其引入到原始VIKOR方法中，并通过参照系数的变动探究不同参照标准对排序及最佳妥协解的影响。通过对比分析验证方法的有效性和可行性。对比结果表明，不同的参照标准下，得到的排序及最佳妥协解不同。最后，把所提方法用到实际问题中。
关键词： VIKOR；单值中智集；参照系数；相对距离权重；多属性决策
1 引言
多属性决策方法是指用定性或定量指标对有限个方案进行决策的方法，在现实生活中的应用极为广泛。VIKOR(VlseKriterijumska Optimizacija IKompromisno Resenje)是一种常用的多属性决策方法，由Opricovic[1]提出，属于多属性决策中最佳妥协解方法，同时可以使得群体效用最大，个体遗憾最小。VIKOR方法自提出后被用来解决一系列实际问题，如方案评估、产业发展等[2-4]。许多学者把VIKOR拓展到模糊环境下，提出一系列的模糊VIKOR方法，并广泛应用到医疗、供应商选择、风险管理等多个领域[5-9]。由于VIKOR涉及减法公式，精确数环境下可以直接利用VIKOR方法。在模糊环境下，Liao Huchang和Xu Zeshui[10]提到犹豫模糊集的减法公式，但公式使用不方便，因此在模糊环境下使用VIKOR方法一般不采用直接做差。现存文献对模糊VIKOR方法的处理有以下几种：(1)通过去模糊化的方式把模糊数转化为精确数[11-12]，但会造成信息不能被完全利用；(2)和其他方法如Choquet积分算子、AHP、模糊集的集结算子等结合消除不便之处[13-16]，但计算过程较为复杂；(3)将距离公式引入VIKOR方法[17-19]，应用较为广泛；(4)其他的方法[20-21]。
模糊环境下的VIKOR方法虽然能解决大部分的决策问题，但仍有不适用的范围，尤其是当信息不确定和不一致时。例如当邀请一个专家判断某一表述的准确性时，他可能会说这句话真实的程度是0.5，错误的程度是0.6，不确定的程度是0.2。这一情况就超出模糊集及其拓展集合的适用范围。
（3）吃得越晚，吃得越少。正常时间吃晚饭，吃七八分饱为宜。想减肥的可以只吃五分饱。有人因为工作的原因，到家都十点了，那么要不要吃晚餐呢？当然要吃！如果不吃晚餐，那头一顿饭和下一顿饭间隔的时间将近十八个小时，肠胃中虽然没有食物，但是消化液却是会分泌的。虽然不多，但是长此以往也足以伤害肠胃健康。
Smarandache[22]提出的中智集(neutrosophic sets, NS)可以很好的解决上述提到的问题，已经与多种传统多属性决策方法结合并被广泛应用到医疗保健、投资等多个领域[23-28]。单值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)是中智集的一类，由于表达形式简便，更易被应用到现实中。Wang Haibin等[29]首次提出单值中智集思想，Ye Jun[30-31]把单值中智集的思想概念化，并提出一些运算及相似度公式。但Peng Juanjuan等[32-33]举例指出，Ye Jun[31]的简单中智集的运算法则等有与理论违背的地方，对此进行了改进。为对两个单值中智数的大小进行比较，Peng Juanjuan等[33]根据直觉模糊数的记分函数、精确函数提出了简单中智数的记分函数、精确函数和确定函数，并据此比较两个单值中智数的大小。Majumdar和Samanta[34]根据模糊集的欧式距离公式，给出了单值中智集的标准欧式距离公式。
以上，我们分析了将多媒体应用到计算教学中的策略，并对多媒体环境下的计算教学进行了反思。如今的教学离不开多媒体，但是如何更有效地利用多媒体来辅助教学，值得我们进一步探索。希望本文的研究能够为数学教师的教学提供一些参考，从而更充分地利用多媒体提高学生的计算能力，为学生今后的数学学习打牢基础。
本文用单值中智集的正确值、不确定值和谬误值表示不同的坐标轴，构建三维空间，并把传统VIKOR方法拓展到该环境下。传统VIKOR方法根据方案与正理想解的贴近度进行妥协排序，在一维空间中是合理的。但在一维以上空间中，仅考虑方案与正理想解的贴近度而忽略方案与负理想解的贴近度会造成信息的缺失，得到的评价结果不合理。因此，为综合考虑正、负理想解对方法的影响，本文通过设置“参照系数”把方案与负理想解的贴近度引入到VIKOR方法中，使得决策者可以通过改变参数的大小选择不同的参照标准。另外，本文建立最大化“相对距离”模型求解权重值，使得在该权重下每个方法的相对实力都最好。
2 单值中智集
现实生活的不确定性使得不是所有的属性值都可以用精确数表示，尤其是定性指标。更多情况下会用不精确数或语言变量对属性进行描述。Zadeh[35]于1965年首次提出模糊集的概念，用以表示不确定信息。为使模糊集进一步完善，Atanassov[36]于1986年提出了直觉模糊集，比模糊集的适用范围更广。之后，又出现区间模糊集[37]、区间直觉模糊集[38]、犹豫模糊集[39]等拓展集合，为决策带来更大的空间。但是仍有局限性，例如无法解决信息的不连续和不一致情况。中智集的提出解决了这一问题。以下给出中智集、单值中智集的定义，单值中智集的运算及相关性质。
定义1[22]令X 是一个对象(点)集，X 中的元素记为x 。X 上的中智集A 由事物的真实值T A (x )，不确定值I A (x )，谬误值F A (x )组成，是[0-,1+]中的非标准子集，即T A (x ):X →[0-,1+]，I A (x ):X →[0-,1+]，F A (x ):X →[0-,1+]。由于T A (x )、I A (x )、F A (x )的和没有限制，因此满足关系0-≤supTA (x) + supI A (x)+supF A (x)≤3+。
为使中智集的思想更好的用到现实生活中，Ye Jun[30-31]提出简单中智集的概念及一些运算。
萎缩性阴道炎这一疾病发生的主要原因在于患者卵巢功能衰退，致使患者局部抵抗能力减弱，在遭受到病菌倾入，就容易引发炎症。对该疾病进行有效治疗，就需要准确选择药物，以取得较好的治疗效果，减少不良反应情况发生。
定义2[30]令X 是一个对象(点)集，X 中的元素记为x 。当T A (x )、I A (x )、F A (x )退化成[0,1]中的标准子集时，即T A (x ):X →[0,1]，I A (x ):X →[0,1]，F A (x ):X →[0,1]，其和满足0≤T A (x )+I A (x )+F A (x )≤3，称为简单中智集。记为A ={〈x ,T A (x ),I A (x ),F A (x )〉|x ∈X }。
定理2 [33]A ，B 为两个单值中智数：
从中国成品油市场发展的阶段和现状看，中国成品油市场化改革的条件基本具备，改革的核心是实现成品油价格全面市场化，真正实现市场决定价格，这将对成品油企业和行业的发展以及国家能源安全起到积极作用。
定义3[32-33]对单值中智集A =〈T A (x ),I A (x ),F A (x )〉,B =〈T B (x ),I B (x ),F B (x )〉，有：
由室内考种表可见，使用免耕机械处理的产量明显高于对照，亩增产46.4kg。虫食率下降1.4个百分点，单株荚数增加9.5个，单株粒数增加15.2个，增产率为30.5%
(1)A ⊕B =〈T A (x )+T B (x )-T A (x )T B (x ),I A (x )I B (x ),F A (x )F B (x )〉；
(2)A ⊗B =〈T A (x )T B (x ),I A (x )+I B (x )-I A (x )I B (x ),F A (x )+F B (x )-F A (x )F B (x )〉；
(3)λA =〈1-
,
,
〉,λ >0
(4)A λ =〈
,1-
,1-
〉λ >0。
定理1 [32-33]对单值中智集A ,B ,C ，性质如下：
(1)A ⊕B =B ⊕A
(2)A ⊗B =B ⊗A
(3)λ (A ⊕B )=λA ⊕λB ,λ >0
(4)
=A λ ⊗B λ ,λ >0
(5)λ 1A ⊕λ 2A =(λ 1+λ 2)A ,λ 1>0,λ 2>0
(6)A λ1 ⊗A λ2 =A (λ1+λ 2),λ 1>0,λ 2>0
定义4[33]对单值中智数A =〈T A ,I A ,F A 〉，其记分函数s (A )、精确函数a (A )和确定函数c (A )定义如下：
(1)s (A )=(T A +1-I A +1-F A )/3
(2)a (A )=T A -F A
(3)c (A )=T A
简单中智集可简写为A =〈T A (x ),I A (x ),F A (x )〉。当T A (x ),I A (x ),F A (x )，均为[0,1]之间的子区间时，简单中智集退化成区间中智集(interval neutrosophic sets, INS)；当T A (x )，I A (x )，F A (x )均为[0,1]之间的一个精确数时，简单中智集退化成单值中智集(single-valued neutrosophic sets, SVNS)。特别的，当X 中仅有一个元素时，A =〈T A (x ),I A (x ),F A (x )〉是一个单值中智数，记为A =〈T A ,I A ,F A 〉。本文用单值中智数表示多属性决策问题的属性值。
(1)若s (A )>s (B )，那么A 比B 大，即A >B ；
(2)若s (A )=s (B ),a (A )>a (B )，那么A 比B 大，即A >B ；
(3)若s (A )=s (B ),a (A )=a (B ),c (A )>c (B )，
那么A 比B 大，即A >B ；
(4)若s (A )=s (B ),a (A )=a (B ),c (A )=c (B )，那么A 等于B ，即A =B 。
步骤6. 对妥协解进行检验，假设A 为妥协
3 单值中智集环境下的 VIKOR方法
VIKOR方法根据准则函数进行评估，根据方案与正理想解的贴近度进行妥协排序，妥协排序的多准则测量是从L p 测度发展来的，是妥协方法的集结函数：
条件1：可接受优势。若B 是排在第二位的方案，那么Q (B )-Q (A )≥DQ 。其中M 为方案的总数，
图1 精确数空间
在模糊环境下，方案的属性值由模糊数表示。Yang Yingjie和Chiclana[40]用隶属度、非隶属度及犹豫度建立坐标系，在二维及三维空间中考虑模糊数的性质。在该情况下，方案与正理想解的距离越小，不代表其与负理想解的距离越大。如图2所示，A ,B 为两个备选方案，属性值由直觉模糊数表示。此时，得到的最佳妥协解不满足与正理想解的距离最小同时与负理想解的距离最大。
图2 直觉模糊集空间
3.1 最大化“相对距离”的权重获取模型
不同参照系数下的排序结果及妥协解如表3和图5所示。表3最后一列为λ =1时，即原始VIKOR方法，文献[42]的结果。从结果可以看出，当λ =1，即仅考虑方案与正理想解的贴近度时，排序结果为A 1>A 4>A 2>A 3，最佳妥协解为A 1和A 4；当λ =0，即仅考虑方案与负理想解的贴近度时，排序结果为A 2>A 4>A 1>A 3，最佳妥协解为A 2和A 4。即参照标准不同，得到的排序和最佳妥协解完全不同。而当0.1≤λ ≤0.9，即决策者同时考虑正、负理想解对方案的影响时，排序结果均为A 4>A 2>A 1>A 3，最佳妥协解为A 2和A 4。这说明，在单值中智集构成的三维空间中，正、负理想解对最佳妥协解的产生都有影响，且决策者的偏好不同，得到的最佳妥协解也不一样。因此，在VIKOR方法中同时考虑方案与正、负理想解的贴近度得到的最佳妥协解更为合理，即引入参照系数是有效的。决策者可以根据自身偏好改变参照系数的大小，从而得到满意的最佳妥协解。图5能更直观的反映这一变化。
在单值中智集环境下，假设有m 个方案，n 个属性，属性值均为单值中智数，ω j (j =1,2,…,n )为属性j 的权重。根据定义4和定理2确定正、负理想解，根据定义5确定每个方案与正、负理想解的距离
那么
表示方案i 在属性j 下的相对距离，于是
表示方案i 的整体加权相对距离。那么，z i 越大说明方案的相对实力越好。最大化m 个方案的加权相对距离总和就得到目标函数，模型如下：
0≤ω j ≤1,j =1,2,…,n
1）二十世纪六十年代末，S.P.Corder（1981:10-11）最早在英语教学和应用语言学领域中提出错误在语言学习当中的重要性，与此同时，他还认为认识到学习者的错误有重要的意义：一是错误可以让老师知道学生取得的进步与教学的距离，以及要实现这些教学目标还需要的努力；二是错误能够使得学生了解他们的不足之处和犯错误的原因，从而调整自己的学习策略；三是错误可以被当作是学习者为了提高学习的一种工具。错误分析的理论基础是中介语理论，这个理论在语音、词汇、语法、语义、语用等方面有独特的分析理论，人们既重视语际干扰导致错误地产生，又注意到语内干扰这一重要的因素（刘志伟）。
(1)
模型(1)是一个条件约束问题，可以通过构造Lagrange函数求解。设λ 为Lagrange乘数，那么Lagrange函数为：
(2)
等式(2)对ω 和λ 求导得：
我第一次见到朱炳仁，是在他的作品在北京展出的时候。我对他展示的各种各样的作品感到有点困惑。我意识到，如果你想了解这种艺术手法，就需要从多方面了解这个艺术家。我们开始交谈，很快就开始谈论技术和技巧，我们俩都被技巧所吸引。他邀请我去吃晚饭，在那里我们聊得更久更深入。
(3)
等式(3)是关于ω j (j =1,2,…,n )和λ 的方程，联立方程得到权重值，并对权重值进行标准化处理。
3.2 基于“参照系数”的VIKOR方法
用单值中智集的正确值、不确定值和缪误值建立做坐标系，把单值中智集投影到三维空间中图3所示。在该环境下，B ,C ,D 表示3个备选方案，随着备选方案与正理想解的距离缩小的同时，其与负理想解的距离也在缩小。因此，以正理想解为参照对象得到的最佳妥协解与以负理想解为参照对象得到的最佳妥协解也是不同的。故在单值中智集环境下仅考虑方案与正理想解的贴近度不能全面的反映方案的优劣。
本文的基本思想是：分别以方案与正理想解的贴近度和方案与负理想解的贴近度为参照对象，得到方案的群体效用S 正,S 负和个体遗憾R 正,R 负。通过在S 正和S 负，R 正和R 负之间引入参照系数得到最终的群体效用值和个体遗憾值。需
图3 单值中智集空间
要注意的是，以方案与正理想解的贴近度为参照对象时，结果越小越好；以方案与负理想解的贴近度为参照对象时，结果则越大越好。因此，为保持排序的同步性，采用S 负和R 负的倒数进行整合。框架如图4所示。
假设方案i 在指标j 下的属性值由单值中智数表示，指标的权重根据模型(1)得到。具体步骤如下：
步骤1. 根据定义4、定理2确定正理想解
负理想解
步骤2. 分别以正、负理想解为参照对象计算方案i 的S 和R ；
(4)
(5)
图4 基于参照系数的VIKOR方法框架图
这里，
分别表示每个方案与正理想解、负理想解的距离。通过定义5中的距离公式计算。
Step 3. 计算方案i 的S 值和R 值；
(6)
其中，λ ∈[0,1]为参照系数，代表决策者更注重方案与正理想解的贴近度还是方案与负理想解的贴近度，参照系数不同则参照标准不同。λ >0.5表示决策者更注重方案与正理想解的贴近度；λ <0.5表示决策者更注重方案与负理想解的贴近度；λ =0.5表示决策者态度居中。
总的来说，学者们从不同的理论视角对生态文明的定义进行了多方面的阐述。虽然阐述的重点与视角有所不同，但对生态文明的内涵的理解有着基本的一致性。综合参考学界的主要观点，笔者认为，生态文明是指人类在自然和人类社会发展的动态过程中，遵循其客观规律，正确处理人与人、人与自然、人与社会三重关系所取得的一切物质、精神、文化和制度成果，是与物质文明、政治文明、精神文明相并列的一种文明形式，是继原始文明、农业文明和工业文明之后的一种新的文明形态，标志着人类文明发展的新理念、新方向。
步骤4. 计算方案i 的Q 值；
(7)
其中S +=maxS i ,S -=minS i ,R +=maxR i ,R -=minR i 。根据S 、R 、Q 值确定排序结果。v 可以被认为是一个权重，v >0.5表示决策者更注重群体效用，即满足大多数人的意见；v <0.5表示决策者更注重个体遗憾，即这里折中取v =0.5。
步骤5. 根据Q 的升序对结果排序。
定义5[34]令A ={〈T A (x 1),I A (x 1),F A (x 1)〉〈T A (x 2),I A (x 2),F A (x 2)〉,…,〈T A (x n ),I A (x n ),F A (x n )〉},B ={〈T B (x 1),I B (x 1),F B (x 1)〉，〈T B (x 2),I B (x 1),F B (x 2)〉,…,〈T B (x n ),I B (x n ),F B (x n )〉为两个简单中智集，那么A ，B 之间的标准欧式距离为：
为验证对原始VIKOR方法修正的有效性，用本文提出的基于参照系数的VIKOR方法对Zhang Nian和Wei Guiwu[42]中的算例进行求解。文献[42]通过犹豫模糊集的距离公式把VIKOR和TOPSIS拓展到犹豫模糊环境下，并对两个结果进行对比。具体结果如下所示，表1给出分别以正、负理想解为参照对象时方案的S 和R 。不同参照系数取值下的结果如表2所示。
对动脉期进行扫描时，在注射造影剂的20～25s后可开始扫描，注射造影剂后的40～45s可开始门脉期扫描，并将扫描数据传送至工作站中进行容积重建、最大密度投影、任意层面重建等处理。
在精确数环境下，方案的属性值由精确数表示。该情况可以看成是由一系列精确数形成的一维空间。一维空间下，若方案与正理想解的距离越小，那么与负理想解的距离就越大。此时，仅考虑方案与正理想解的贴近度得到的最佳妥协解就可以满足距离正理想解最近同时距离负理想解距离最远，如图1所示。
“Hairpin 扁平线定子装配线是我们特有的给德国大众、德国宝马等一线整车厂提供交钥匙工程项目，技术实力、创新能力、质量保证是我们格劳博的优势；圆线电动机方面，以新能源汽车驱动电动机为代表的多线并绕定子绕嵌生产线和电动机装配线，以及EPS 电动机，斜槽电动机生产线是格劳博的特长，具有多项专利技术的保障。”据格劳博机床（中国）有限公司总经理任宏志先生介绍，格劳博已经在电动汽车领域取得了众多新的成就，其中最新的Hairpin电动机装配线生产技术已经在2018年CWIEME上海展上首次展示，2019年3月格劳博将继续在此展会上携最新产品和技术亮相。
条件2：决策过程中可接受的稳定性，即根据S 或(和)R 的值，A 也是最好的方案。
4 对比分析
解，那么Q 的值应满足以下两个条件：
表1 分别以正理想解和负理想解为参照对象的结果
表2 不同取值下的结果
Cao Qingwei等[41]以最大化每个方案与负理想解的加权距离为目标函数建立模型，得到每个指标的权重，使得在该权重下每个方案与负理想解的距离都最大。本文提出“相对距离”的概念，即把每个方案与负理想解、正理想解距离的差值最大化作为目标函数，通过线性模型求解得到权重，可以使得在该权重下每个方案的相对实力是最好的。
图5 Q值波动图
5 实例
考虑企业选择合作伙伴的问题，现有一个企业，要从4家公司中选择其中一个作为自己的合作伙伴。记A 1,A 2,A 3,A 4，从C 1创新能力，C 2管理能力，C 3服务水平和C 4发展潜力4个方面对4家公司进行评价。通过专家赋值的方式给出4家公司在每个指标下的指标值，结果由单值中智数表示。如表4。
表3 不同参照系数下的排序结果
表4 单值中智集环境下的决策矩阵
根据定义4和定理2得到正、负理想解为：
A +=〈(0.8 0.3 0.40), (0.60 0.10 0.1), (0.4 0.5 0.25), (0.60 0.20 0.10)〉;
A -=〈(0.60 0.2 0.4), (0.50 0 0.50), (0.2 0.50 0.20), (0.50 0.20 0.20)〉
乡镇山洪灾害防御预案的编制内容主要包括区域内的自然和经济社会基本情况，历年山洪灾害的类型及损失情况，山洪灾害的成因及特点；乡镇、行政村防御组织机构人员及职责；充分利用已有的监测及通信设施、设备，制定实时监测及通信预警方案，确定预警程序及方式，根据预报及时发布山洪灾害预警信息；确定转移安置的人员、路线、方法等，拟定抢险救灾、灾后重建等各项措施，安排日常的宣传、演练等工作。
根据定义5得到方案与正、负理想解的距离及相对距离，如表5。将相对距离带入模型(1)，根据(2)和(3)得到指标的权重值为：ω 1=0.3008,ω 2=0.2064,ω 3=0.2451,ω 4=0.2477。根据(4)和(5)得到分别以正、负理想解为参照标准时方案的S 和R ，如表6所示。选取不同的参照系数值，根据(6)和(7)得到S ,R 和Q 值，如表7所示。根据Q 值对方案进行排序，结果如表8和图6所示。
表5 方案的相对距离
表6 分别以正理想解和负理想解为参照对象的结果
表7 不同参照系数取值下的结果
表8 不同参照系数取值下的排序及妥协解
图6 Q值波动图
从表8可以看出，参照系数的改变会引起排序结果改变。当参照系数λ ≤0.7时，排序结果A 2>A 3>A 1>A 4，最佳妥协解为A 2和A 3，公司2和公司3均为最佳合作伙伴；当参照系数λ 增大为0.8、0.9时，排序结果为A 3>A 2>A 1>A 4，最佳妥协解仍为A 2和A 3；当参照系数λ =1时，排序结果为A 1>A 3>A 2>A 4，最佳妥协解为A 1和A 3，即公司1和公司3均为最佳合作伙伴。因此，决策者选择不同的参照标准，选择的合作伙伴是不一样的，同时考虑正、负理想解对方案的影响得到的结果更能满足决策者的偏好。但公司3在整个过程中均为最佳妥协解，因此该公司可以仅选择公司3为合作伙伴。
从图6可以看出，方案4的Q 值在整个参照系数λ 的变化过程中始终处于较高水平，即排名始终处于最后一位；方案1的Q 值在参照系数λ 的变化过程中有缓慢降低的趋势，在λ 取1时，达到最低点。这意味着，若决策者仅考虑方案与正理想解的贴近度，方案1会排在第一位。反之则排名靠后；方案3的Q 值在前期缓慢下降，最后明显上升。但在整个过程中，方案3始终处于前两位；方案2在λ <1时，Q 值较小，但λ 取1时迅速上升。这说明，若决策者仅考虑方案与正理想解的贴近度，方案2仅排在第3位。反之，则方案2排在第一位。
6 结语
单值中智集作为中智集中一种特殊的集合，已经被逐渐应用到决策的各个领域。本文根据单值中智集的相关性质，提出基于“相对距离”获得权重的方法，并把VIKOR方法拓展到单值中智集环境下的。同时通过设置参照系数把方案与负理想解的贴近度引入VIKOR方法。经对比分析，决策者以方案与正理想解的贴近度为基准得到的排序及最佳妥协解，和决策者以方案与负理想解的贴近度为基准得到的排序及最佳妥协解是不同的。而当决策者同时考虑方案与正、负理想解的贴近度时，决策者的偏好不同，方案的最终得分也不一样，得到的排序结果和最佳妥协解也可能会发生变化。实例分析部分也表明，决策者综合考虑不同偏好水平下的排序结果及妥协解得到的最佳妥协解更为合理。
21世纪，节能环保和倡导绿色生活已成为新时代的主题。随着世界各国经济的发展，工业化和城市化进程的加快，人们对能源的需求越来越大。大量化学燃料的使用，导致了能源的迅速短缺和环境污染日益突出[1]。
本文具有以下创新点：(1)把传统VIKOR方法拓展到单值中智集环境下，比传统VIKOR和模糊VIKOR的适用范围更广，尤其是当信息不连续和不一致时；(2)建立最大化“相对距离”的权重获取模型，使得在该权重下每个方案的相对实力都是最好的；(3)通过设置参照系数把方案与负理想解的贴近度引入到传统的VIKOR方法中，使得决策者可以通过改变参照系数的取值选取不同的参照标准。
游戏为学生创造了一番愉快的天地，它是培养学生良好行为习惯和优秀品德的重要形式之一。德国著名学前教育家福禄培尔特别强调游戏对儿童教育的重要性。他认为游戏是人类童年时代生活中最为快乐的一种现象，是儿童本能的表现，富有浓厚的生活气息、充满儿童情趣的游戏是启人心智的力量。在活动设计时，教师不妨从儿童喜闻乐见的游戏中找找灵感，或许能使课堂趣味盎然。
本文所选的对比分析案例及实例的排序结果的波动都不是很大，且均有一个方案始终属于妥协解。这种情况下，决策者可以通过该方法得到的结果明确的选取一个方案做为最佳妥协解。但当决策者选取的参照标准不同，排序结果波动较大且妥协解的变动很大时，也会造成决策者的迷茫。因此，进一步研究可以考虑如何把方案与正、负理想解的贴近度整合为一个确定的公式，从而得到一个“相对的”最佳妥协解，消除由于偏好不同所造成的决策迷茫问题。
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VIKOR Method Based on the Reference Coefficient under Single -valued Neutrosophic Environment
FAN Jian -ping ,LIU Sheng -nan ,WU Mei -qin
(School of Economic and Management, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)
Abstract ： The proposed single-valued neutrosophic sets make up for the shortcomings of fuzzy sets that cannot handle inconsistent and discontinuous information. The study regards three parameters of single-valued neutrosophic sets as three coordinates to generate a 3D dimension, and extends VIKOR method to single-valued neutrosophic sets environment. The ranking of original VIKOR method is based on the closeness between alternatives and the positive ideal solution(PIS). Namely the optimal compromise solution is the closest to PIS. However, in the 3D space consists of single-valued neutrosophic sets, the closest distance between the alternative and PIS does not mean that it is the farthest from the negative ideal solution(NIS). That is, the ranking and the optimal compromise solution are different when take the closeness between alternatives and PIS as baseline compared with the closeness between alternatives and NIS. Different preference of decision makers for reference standard lead to different results which cause confusion in the decision making. The existing research does not propose some advices to solve the problem. For this reason, the concept of reference coefficient(RC) is proposed and the closeness between alternatives and NIS is introduced into original VIKOR method and the influence of different RC is explored on the ranking and the optimal compromise solution. In order to verify the effectiveness of the improved method, the result of the paper are compared with those of the existing literature. The result shows that the changes of RC have an impact on the ranking and the optimal compromise solution. It is more reasonable for decision makers to consider the results of different RC comprehensively. VIKOR method based on the reference coefficient amends the use of original VIKOR method under the imprecision environment which is an extension of VIKOR method. The research result shows that it is a reasonable ranking method.
Key words ： VIKOR; single-valued neutrosophic sets; reference coefficient; relative distance weights
中图分类号： C934
文献标识码： A
文章编号： 1003-207( 2019) 06-0136-10
DOI: 10.16381/ j.cnki.issn1003-207x.2019.06.013
收稿日期： 2017-06-29； 修订日期： 2018-05-25
基金项目： 山西省“1331工程”重点创新团队建设计划(2017)；山西省“服务产业创新学科群建设计划”：智慧物流管理服务产业创新学科群项目(2018)
通讯作者简介： 范建平(1975-)，男(汉族)，山西武乡人，山西大学经济与管理学院，副院长，副教授，博士，研究方向：决策科学与技术，E-mail: fjp@sxu.edu.cn.
标签：VIKOR论文; 单值中智集论文; 参照系数论文; 相对距离权重论文; 多属性决策论文; 山西大学经济与管理学院论文;