引导自学 问题探究——“离散型随机变量的期望”课堂教学案例，本文主要内容关键词为：变量论文,课堂论文,教学案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新一轮课程改革拉开了序幕，新课程理念倡导自主学习、动手探究、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。我们学校数学教研组在这一理念指导下进行了大胆的尝试与实践，下面是基于自学探究理念指导下的“离散型随机变量的期望”课堂教学设计。
一、情景设计
展示幻灯片：幻灯片左上方是2004年奥运冠军朱启男在男子10米气步枪决赛中打最后一枪的照片，右上方是神奇小子朱启男的简介。
师：同学们，这是你们的大哥哥朱启男在2004年奥运会上男子10米气步枪决赛中打出的最后一枪，也打下了他个人的第一块奥运金牌，在预赛中，他以59枪10环、1枪9环共599环的最好成绩进入决赛。历史已经成为过去，我们更关心的是他的未来，下面是朱启男的个人技术统计资料（在幻灯片下方展示朱启男个人技术统计资料，该资料是根据他的一些比赛成绩计算出来的，仅供学习用），你能根据这些资料预测他在2008年北京奥运会预赛乃至决赛的成绩吗？学习了今天的内容“离散型随机变量的期望”就不难做到。
展示课题“离散型随机变量的期望”，布置任务：请大家翻开课本（全日制普通高级中学教科书《数学》第三册选修2）从第9页看到第10页倒数第4行，边看边思考，有什么问题请记下来。
二、新课学习
师：大家看完了，有什么问题吗？
生1:0.02n，0.04n…这些表示什么意思？
生2：这表示在n次射击中命中4环大约是0.02n次，比如在射击中，某人的命中率为0.2，他射击10次大约命中2次。
师：谁还有问题没有？没有，请哪个同学说说什么是数学期望？
生3：期望就是随机变量的值与对应的概率乘积之和。
师：哪个同学举例说说期望的实际意义？
生4：就书上这个例子来说，期望就是平均每枪打中几环。实际上，期望就是随机变量各个取值的平均值。
生5：期望不是随机变量各个取值的平均值，要是这样，我们把随机变量的几个值加起来再除以几不就完了，它反映的是随机变量取值的平均水平。取值的平均水平和各个取值的平均值是有区别的，就书上的例子而言，随机变量取值的平均值应该是4+5+…+10再除以7，出于各环的命中率不一样，在射击过程中9环可能就相对多些，4环就相对少些，期望表示在射击过程中平均每枪打中几环。（下面的同学不自觉的鼓起了掌声，课堂气氛活跃）
师：刚才同学的回答很好，大家看看，期望这个概念不是我们人为制造出来的，而是从现实生活中抽象出来的，联系实际是学好数学的必要条件。
三、基本训练，巩固概念
请同学们完成下面两个问题，并归纳求期望的步骤。（展示幻灯片上的问题）
1)随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的期望。（完整的过程）
2)篮球罚蓝一次，投进了得1分，没有投进得0分，姚明罚球罚进的概率是0.81，求姚明罚球一次得分ξ的期望，并说明实际意义，
3)根据提供的技术统计资料预测朱启男在2008年奥运会预赛的成绩，并把你的预测写在课本的封面上，等2008年高考结束后，大家看奥运比赛时再与比赛成绩进行对照。
四、应用新知，解决问题
例1 有一批数量很大的产品，其次品率为15％，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数ξ的期望。（结果保留三个有效数字）
师：随机变量ξ可以取哪些值？对应值的概率如何计算？
师：刚才同学说得很好，大家还有问题没有？
过了大约1分钟，有个同学站了起来。
生8：老师，我们在前面学习概率的时候，摸球都是有放回的摸起，保证前后相互独立，这样没有放回，相互不独立，前面抽起的结果对后面有影响，概率的计算不应该这样。
师：哦，这个问题我们还真的没有考虑呢！那我们该怎么办？谁有办法？说说看。
生9：以我看，这批产品数量很大，前面抽起一个正品对后面的抽起是有影响，但这个影响不大，我们完全可以忽略，用这种方法计算出来的结果是个很接近的近似值，所以我们这样计算还是有道理的。
师：刚才两位同学回答得很好，我们在解决问题时既要注意公式的应用条件，也要关注题目的条件，利用问题的条件进行近似估计是很重要的能力。
例2课本例4（略）。
五、再掀波澜，勇于探究
师：请大家利用今天学到的知识解决下面问题。（幻灯片展示）
问题 一次英语单元测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中只有1个答案正确，学生甲选对任一题正确的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择项中随机的选择1个，设学生甲和乙答对的题目数分别为
，求的期望。
问题布置下去之后，绝大多数同学开始动手准备计算，少数学生眉头紧皱，一副无奈的样子。
师：看同学们的样子，好像很为难，大家难在何处？
学生异口同声：计算量太大。
师：同学们，当年高斯的老师有个下午最后一节课临时有事情，离开了教室，等他再次回到教室，发现几乎所有学生都在讲话，老师非常恼火，给学生们布置了一个大家都知道的问题——从1加到100，并且规定谁先完成谁先回家，全班人除了高斯之外都埋头计算，希望能早点回家，只有高斯在用心观察和思考，结果高斯发现了规律，从而将99步加法计算转化成1步乘法运算，老师看到高斯的解答非常高兴，让所有同学都按时放学回家。今天我们遇到了计算难题该怎么办呢？
2分钟后……
生10：老师，这个分布是二项分布，二项分布是有规律的，我猜想它的期望也应该有规律。
师：你是怎么想到的？能给出证明吗？
生12：前面那个问题要找出规律才能解决，第二个问题计算起来也很复杂，我想两个随机变量有关系，它们的期望也许有某种联系，我在书上找找看，果然有联系。这个证明比较简单，书上的每一步都很清楚。
师：好的，能够这样联想不愁学不好数学，我们一起看看书上的证明。
六、课堂小结，畅所欲言
师：同学们，这节课快要结束了，有些同学想发言没有机会，下面还有几分钟的时间，请大家就今天这节课的学习体会谈谈自己的看法。
生13：老师，今天这节课主要内容用一句话就可以概括：一个概念，两条规律……
生14：我们平常很喜欢体育、新闻等方面的内容，今天这节课，你前面的那张幻灯片，一下子吸引了我，我兴致很高。
生15：高斯做从1加到100，我们小时候就听说了，今天你讲出来给我的感觉不一样，以往只是对故事本身比较好奇，今天听你讲这个故事有点像数学里从一般到特殊，以退为进，对我们思考问题有些启发……
七、课后反思
这节课是我们学校数学教研组活动的一节观摩课，在准备阶段构思了几种方案，最后确定以引导自学，问题探究为主，由于准备比较充分，课堂上可能出现的情况基本上都在预料之中，但是也有没有预计到的问题，比如学生4对期望意义理解的偏差和学生5的及时纠正。整节课下来，我们觉得有几个地方的处理与教材不一致：1)在情景创设时充分利用学生的心理，吸引了学生注意力；2)教材上是先讲E(aξ+b)=aEξ+b和二项分布的期望之后，再在例题中应用，我们认为不符合学生的认知心理，所以在观摩课中是先设置问题，造成学生解决问题的障碍，引起认知冲突，再巧妙的利用数学家的故事启发学生的解题策略；3)新课程标准提倡多种学习方式，在课堂上学生之间、师生之间的交流比较充分，看书自学、问题探究等多种学习方式并行。整节课下来最大的遗憾是还不敢大胆的放开手脚，让学生能够充分表达自己的想法，比如学生5对期望的解释还有部分学生不理解，出于害怕时间紧，没有让学生深入讨论，以至课后还有学生对这个问题心存疑问。