PCK理论指导下三角函数诱导公式的教学及其反思，本文主要内容关键词为：诱导论文,指导下论文,公式论文,函数论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
学科教学知识(PCK)是20世纪80年代美国斯坦福大学教授舒尔曼(Shulman)提出来的一个概念。它定位于“学科知识”与“一般教育知识”之间的交叉之处，其核心内涵在于将学科知识转化为学生可接受的形式。在2010年第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，由刘洪璐所展示的“三角函数的诱导公式”（第1课时）受到好评并获得一等奖。在经历自我设计、数次磨课、专家指导、优化调整、实际生成和赛后反思等诸多环节之后，笔者感触颇多。回顾反省，笔者认为成功的关键是运用了学科教学知识(PCK)的相关理论来指导教学设计。下面，笔者把本次赛课的一些思考作为专业成长的案例整理出来，希望得到同行的批评指正。
一、教学过程简述
1.问题提出
教师说：在前面的学习中大家已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，而且也已经知道了任意角三角函数的定义，那么，任意角的三角函数值怎样去求呢？具体地，要求学生思考问题1：(1)求390°的正弦值、余弦值。提问学生：你是怎么想的？学生回答：画出坐标系和单位圆，根据三角函数定义，可以知道390°角和30°角的终边相同，因此它的正弦值、余弦值和30°角相同。进一步提问：(2)和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？学生经过思考肯定地点头，并得到以下结论：一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同名三角函数值相等，即有sin（α+k·360°）=sinα，cos（α+k·360°）=cosα，tan（α+k·360°）=tanα，k∈Z。教师进一步总结出这组公式用弧度制可以表示为：sin（α+k·2π）=sinα，cos（α+k·2π）=cosα，tan（α+k·2π）=tanα，k∈Z。有了这组公式，我们可以把任意角的三角函数值转化诱导为0°～360°之间的角的三角函数值，所以这组公式被称之为三角函数的“诱导公式”，编号为公式一。教师板书课题名称。
2.尝试推导
教师抛出问题2：由公式一可以知道终边相同的角的同一三角函数值一定相等。反过来呢？如果两个角的三角函数值相等，它们的终边一定相同吗？考虑到学生思考这个问题有一定的难度，稍过片刻，教师搭建脚手架，提出一个具体的问题：你能找出和30°角正弦值相等但是终边不同的角吗？经过学生思考和讨论，教师提问：你是怎么想的？学生回答：30°角和形如150°+k·360°的角都是终边不同但是正弦值相同。教师于是要求学生考虑150°角与30°角的情况，学生回答：它们的终边分别与单位圆交于点P、P′，若点P的坐标为(x，y)，则P′(-x，y)，于是sin 150°=sin 30°=sin（180°-30°）。也就是说它们的终边不同，但是正弦值相同。于是教师启发学生：这两个角的终边有什么位置关系？学生说关于y轴对称。教师指着上面的公式问：这里非30°不可吗？换一个角α行不行？为什么？有的学生认为任意角都可以，有的将信将疑。教师于是给出一般的公式sin（180°-α）=sinα，请学生思考成立与否。之后，一名学生根据几何图形以角α为例说明了角α和180°-α的终边关于y轴对称。教师乘机利用“几何画板”演示对于任意的角α和180°-α，它们的纵坐标都相等。教师启发学生思考，在单位圆中，这两个角的正弦也就是它们各自和单位圆交点的纵坐标，因此上述公式成立。教师接着问：它们的余弦值有什么关系？为什么？基于上述经验，学生自然知道。教师再提问：正切呢？学生说只要将正弦和余弦相除就可以了。经过总结，学生得到以下公式：sin（180°-α）=sinα，cos（180°-α）=-cosα，tan（180°-α）=-tanα，编号为公式二。教师启发学生回顾并归纳刚才的探索过程，总结出公式二的研究路线图：
3.自主探究
教师提问：刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y轴对称的角α与π-α的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？学生自然想到终边关于x轴对称和关于坐标原点对称的情况。教师于是提出问题3：两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？教师提示：你准备怎么研究？学生有了公式二的探索经历，经过思考、交流和教师的指导，很快得出相关结论，教师请两名学生上台展示自己的探索结果，适当点评并再次强调研究线路图，指明研究的思路和方法。
4.简单应用
教师总结指出上述四组公式均称为三角函数的诱导公式，接着给出了以下的问题4，并请学生上黑板板演，求下列各三角函数的值：(1)
；(2)cos（-60°）；(3)tan（-855°）。对于问题(3)，学生1得到如下解答：tan（-855°）=tan（-855°+3×360°）=tan225°=tan（180°+45°）=tan45°=1。学生2得到如下解答：tan（-855°）=tan（-360°×2-135°）=tan（-135°）=-tan135°=tan45°=1，这既体现了不同个体解决问题方式的差异，也揭示了公式之间的联系。
5.回顾反思
教师出示问题5：大家回顾一下是怎样获得诱导公式的？研究的过程中有哪些体会？之后师生一起总结研究路线图，在知识方面，学生学会了四组诱导公式，具体可以用如图所示的知识树（思维图）表示；在思想方法方面，诱导公式体现了将未知转化为已知的化归思想和数形结合的思想；在本质上，诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的一种代数体现。
6.分层作业（问题6）
(1)阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法。
(2)必做题：课本第23页第13题。
(3)选做题：①你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导出另外一组公式吗？②角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系？你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？
二、课后反思体悟
1.对教学目的的认识：学生立场的关注和定位
PCK理论突出对学生的理解，强调教学设计要充分考虑学生的实际情况。实际上，缺少对学生的了解和尊重，缺少对学习主体地位充分体现的设计无论如何都是失败的。数学教学的目的在于数学知识的获取、数学能力的提高、数学思维的养成、数学文化的熏陶——学习主体的数学发展。
在本节课中，从学生认知层面来看，承上，有任意角三角函数的定义、三角函数线等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值、化简，以及研究三角函数的图象与性质等内容。同时，学生在初中就学习过轴对称、中心对称，这些构成了学生的知识基础。在对学习主体地位的关切方面，“数学教学是数学活动的教学”，本节课先后采用了提问、师生对话、小组讨论、合作学习等方式，力求使学生始终处在一种积极的思维活动之中。同时，在教学中，多次通过“你是怎么想的？”“你同意他的意见吗，为什么？”“你有不同的意见需要补充吗？”等问话形式，挖掘学生的思维过程，努力从学生的立场来解释知识、表征知识，尊重学生用自己的语言来阐述知识、交流思想，促进学生对数学知识的理解从工具性(instrumental)理解（将数学当做没有理由的规则）转变为关系性(relational)理解（透视数学知识的本质）。
2.对教学目标的权衡：教材内容的解构与重建
PCK理论涵盖多种综合知识，重视学科知识的运用。PCK的实质是教师将学科知识“转化”成学生有效获得，将数学知识的学术形态转变为教育形态的一种学科教学智能，即教师根据课程理念、目标进行系统思考，把学科知识有效地“转化”成教学任务，又由教学任务有效地“转化”为学生实际获得的智能。
实际上，在数学教育中存在着很多不同的结构：知识结构、认知结构、教材结构、教学结构，等等，这些结构不尽相同，这就要求教师对教材有整体的把握和驾驭，既要对教材进行深入细致的解构，又要针对实际教学进行整合重构。就三角函数的诱导公式来说，在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：(1)两个角的终边有哪些特殊的对称关系？(2)怎样把非第一象限的角的求值问题转化为第一象限的角的求值问题？我们最终选择了第一条路线。主要基于以下两点考虑：第一，尊重教材的编写方式。从对教材的分析来看，“苏教版”教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式。教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，用好教材。第二，切合学生的认知水平。利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理。同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导、理解并直观形象地认识三角函数的诱导公式可以起到事半功倍的效果。基于此，我们仍然按照教材中利用对称这个研究方法贯通课堂，并确定了本节课的教学目标：从“知识与技能”层面来看，在具体问题驱动的基础上能够理解诱导公式，借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；能够正确运用诱导公式，把任意角的三角函数的求值问题转化为锐角三角函数的化简问题。从“过程与方法”层面来看，经历由几何直观（对称）探讨数量关系式（诱导公式）的过程，培养数学发现能力和概括能力；通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高分析问题和解决问题的能力。从“情感、态度、价值观”的层面来看，通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式培养学生团结协作的精神。本节课的教学重点是探求角π-α的诱导公式。π+α和-α的诱导公式在小结π-α的诱导公式的发现过程的基础上，在教师的引导下由学生推出。教学难点是角π+α、-α与α终边位置的几何关系的探讨，以及发现由终边位置关系导致（与单位圆的交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“路线图”。
3.对教学组织的认识：问题组串的布置和调控
在教学目的和教学目标理清以后，PCK理论就面临着教学内容的组织和教学实践的生成，通过教学任务的完成转化为学生的实际获得。
本节课内容主要涉及代数规律的寻找、归纳、概括、运用和反思，若按知识的逻辑顺序展开，容易把课堂变成教师的满堂灌，而学生只是处在一个被动接受知识的地位。在本节课中，我们将教学设计成问题串的形式，通过这些问题串串起相互关联的数学问题，使学生学习知识，形成能力，发展认知。我们在设计过程中，尽量将问题的难易程度定位在学生的最近发展区内，问题的设计从思维的角度来说具有一定的开放性，使得学生可以从不同的角度来思考；问题的设计从解决的难度来说具有一定的层次性，使得不同的学生尽量愿意提出自己的见解。如果说问题串是本节课的一条具有逻辑意义的明线的话，那么隐藏在这条明线背后的知识链就是本节课的一条暗线（亦即在总结回顾阶段给出的本节课的思维树）。教师通过问题串这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结。实践证明，问题串的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，完整而不破碎。
具体地，本节课中，问题1是引导学生回顾定义，关注终边，从而得到公式，启发学生在研究三角函数求值时抓坐标，抓角终边之间的关系。问题2是问题1的发展，旨在引导学生学会提出问题。我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等。事实上，问题2可以看成是命题“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相等”的逆命题。在此过程中，利用“几何画板”动态演示，使学生感受角α的任意性。同时启发学生从关注坐标到关注角的终边之间的对称关系，从而将对称作为三角函数的一种研究方法来使用，将问题2研究的特殊结果一般化。研究的过程中，体现了运用数形结合的思想，利用单位圆、对称等知识帮助寻找诱导公式。问题3给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的产生过程，从而得出其他公式，并将问题2的研究方法一般化。当然，这里的一般化包括了问题2中对特殊结论的一般化和对研究方法的一般化。问题4旨在让学生巩固反馈，总结提高，感悟在解决问题的过程中如何合理使用诱导公式。当然，公式的熟练使用不是一节课就可以完成的，需要学生在今后的学习中不断体会、总结和概括，进而将诱导公式内化到自己的知识结构中去。在问题4的解决过程中体现化归思想，同时揭示了诱导公式间的联系——对同一个问题的不同解决方法，体现知识之间的内在联系，使学生能够对诱导公式有更深刻的认识，从而形成较稳定的知识结构。问题5是一个开放式小结，不同的学生有不同的学习体验和收获。问题6中，阅读课本旨在培养学生良好的学习习惯。事实上，本节课学完之后，还有几个问题需要研究：这几组公式之间是相互独立的吗？还有哪些对称需要我们研究？以选做题的形式出现，可以促使学生进行课后思考和自主探究。
4.对参加赛课的体悟：教学能力的磨砺与超越
PCK理论要求教师具有广博的知识，出众的能力，以人为本的情怀——这些对任何教师的专业化成长来说都是一个不断完善、自我超越的挑战过程。
对于具有比赛性质的赛课而言，对参赛选手的挑战是巨大的，对于教学设计的好坏和教学效果的评价，也很难得到一致的肯定。但是，经历了多次的磨课之后，我们的确加深了对该课教学的理解，也从很多专家和选手那里获益良多。作为公开课，短短的一节课，三尺讲台，需要承载的东西越来越多。通过赛课，我们认识到对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应力求顺其自然，水到渠成。比如，对角α任意性的理解，我们设置了三个点：(1)问题2中非30°不可吗？角α行不行？（这里不过分强调角α的任意性）(2)“几何画板”拖动演示感受角α的任意性。(3)习题中进一步深化学生认识，随着学生学习的深入。对这个问题还会有进一步的认识。再比如，在对数学思想方法的渗透方面，我们认为进行新授知识是很重要的，而数学思想方法是蕴涵其中的，应该潜移默化地渗透，不能“明目张胆”地贴标签，更不能因为数学思想方法的重要而喧宾夺主地过度渲染。在对教材作用的理解方面，我们认为教学设计时尽量不要离开教材太远，应该充分把握教材编写的思路和风格，不提倡轻易踢开教材另搞一套，否则教学既不经济也对学生的复习巩固带来不便（当然，在认真考虑过后，可以对教材进行教学处理）。
总之，作为青年教师，赛课既是对自身综合教学能力的一种检阅，也是向专家和同行学习请教的难得机遇。教学设计是一个冰山工程，不仅应该追求人们能看到的暴露于水面之上的那部分的光彩，也更应该追求藏在水面之下的那部分的内蕴。
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