数学教学的三种水平及其理论分析，本文主要内容关键词为：三种论文,数学教学论文,水平论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在数学教学实践中，从教学指导思想定位、教学目标设定、教学内容呈现、教学模式选择、教学策略运用、教学组织形式构架、教学评价实施等方面考量，不同水平的教师作出的教学设计和教学实施都存在明显的差异，这些差异会直接导致教学效果和教学效率的不同.本文以教学实践中存在的这种事实为前提，提出一种数学教学的分层构想，并对不同教学层次的依据作出分析.
笔者认为，数学教学可以分为三个层次：基本型教学、智慧型教学和创新型教学，三个层次所达到的教学效果和体现的教学功能由低到高依次提升.当然，这种分层只是一种相对的描述，三个层次并不是完全独立的，如基本型教学中可能存在智慧因素，智慧型教学中也可能存在创新因素.
基本型教学指教师在了解学生已有知识的基础上，在忠实于教材的前提下，根据教学目标制订教学计划和组织教学内容；教师在教学中能遵循数学教学原则，选择适当的教学方法，讲授合乎数学学科的逻辑性、严谨性；能组织有效考试对学生的学习效果进行准确评价.基本型教学能够完成教学任务，达到使学生掌握基础知识、形成基本技能的目标.
智慧型教学指教师在基本型教学基础上，能根据不同的教学内容正确处理预成目标与生成目标的关系，能洞察学生学习中出现的困难和理解的偏差，采取及时补救措施；能使用有效的教学组织形式，构建利于学生学习的优良环境，能突出数学思想方法，注重举一反三、触类旁通，能采用多种方式对学生学业成就、行为变化、情感态度进行恰当评价.智慧型教学不仅可以达到发展学生“双基”的目的，而且能有效地促进学生数学能力的增长，发展学生的情感、态度和价值观.
创新型教学指教师在智慧型教学基础上，把握教学的宏观层面，遵循数学教育科学性与人文性并重的理念，正确处理数学教学中的基本矛盾，打破常规教学思路，设计新颖、独特、有效的教学程序，并能将教学实践与教学研究有机结合，把教学建立在教学研究的基础之上.创新型教学不仅注重发展学生的认知能力，提升学生的非智力水平，而且强调培养学生的创新意识和创新精神.
一般说来，把教学分为基本型、智慧型和创新型对各学科的教学都是可行的，然而，除了满足一般教学规律之外，不同学科有自身的教学特殊性，也就是说，产生教学三种不同形态所依托的基础是不一样的，因为不同学科的知识来源、知识形态、知识结构不完全一样，更深层次地看，不同学科所蕴涵的思想方法、文化元素也大相径庭.笔者认为，对于数学教学而言，教师囿于个人基本知识结构的教学对应基本型教学，教师在知识结构基础上形成优良的学科教学能力（PCA）所形成的教学对应于智慧型教学，教师在前两者基础上融入创新意识和创新能力形成的教学对应创新型教学.需要指出的是，教学的三个层次并不是完全独立的，因而它们所对应的基础也不完全独立，这种对应关系的结构用图1表述.
一、基本型教学层面分析
（一）数学教师的基本知识结构
关于教师的知识，国内外学者的主要观点如下.舒尔曼（L.S.Shulman）把教师知识分为七类：学科内容知识、一般教学法知识、课程的知识、学科教学知识、学生知识、教育环境知识、其他学科知识.格罗斯曼（P.L.Grossman）的分法：内容知识、学习者与学习的知识、一般教学法知识、课程知识、教育环境知识.伯利纳（D.C.Berliner）的分法：学科专长、课堂管理专长、教学专长、诊断专长.普特南和博克（Putnam&Borker）的分法：一般教学法知识、学科知识、学科教学法知识.艾尔贝兹（F.Elbaz）的分法：学科知识、课程知识、教学法知识、关于自我的知识.[1]
事实上，舒尔曼在提出教师的七类知识之前就提出了学科教学知识（pedagogical content knowledge，简称PCK）的概念，所谓PCK，是指用专业学科知识与教育学知识的综合去理解特定主题的教学是如何组织、呈现以适应学生不同兴趣和能力的知识，[2]即教师在面对特定的主题时，如何针对学生的不同兴趣与能力，将学科知识加以组织、调整与呈现来进行教学的知识.此后关于PCK的研究持续不断，例如，格罗斯曼对PCK作了更详细的简述，认为PCK包括四个部分：（1）教师关于一门学科教学目的的统领性观念——关于学科性质的知识、关于学生学习哪些重要内容的知识或观念；（2）学生对某一课题理解和误解的知识；（3）课程和教材的知识，它主要指关于教材和其他可用于特定主题教学的各种教学媒体和材料的知识，还包括了学科内特定主题如何在横向和纵向上组织与结构的知识；（4）特定主题教学策略和表征的知识.[3]
分析上述观点可见：（1）这些学者对于教师知识的描述，包括对PCK的描述都是静态的，基本上沿用的是因素分析思路，将教师的知识视为由静态知识组成的体系；（2）即使采用了成分分析方法，但分解仍是不细致的，不利于实践层面操作.
现代认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识，其中程序性知识包括智慧技能和认知策略，这种广义的知识分类把能力作为一种知识看待.[4]基于这种理论并结合数学学科特点，我们将数学教师的知识分为基本知识（包括PCK）和学科教学能力（pedagogical content ability简称PCA）两个相对独立部分.
1.图2反映的数学教师基本知识结构不是指外显的知识结构，而是指教师个体把外显的知识内化为自己头脑中的知识，是一种认知结构，即教师的基本知识结构是一种认知结构表征的对象.
3.在每一板块中，底部的A，B，C可视为教师必备的知识，每一个大矩形上面部分的矩形可视为一个容器，向这些容器中注入溶液，以溶液量的多少表示知识量的多少，容器中溶液上方的空间即是各种知识的发展空间.教师之间教学水平的差异，一个因素是教师的基本知识不同引起的，直观上可用不同教师不同认知结构的容器中溶液量的差异来反映.
4.
即PCK，是数学教师知识的核心要素.
对于图2描述的教师知识结构，我们作了系列实证研究，验证了结构的合理性，并得到各因素对教学影响的差异参数.[6]
（二）基于教师基本知识的数学教学
图2反映出的知识成分，是数学教师必备的知识基础.不同层次的教师，其数学学科知识基础是不相同的，面对不同年龄的学生不同层次教师所具备的教育学和心理学知识也有一定的差异，但是，作为教师具备这三类知识是必要条件.
从图2的结构来看，教师的基本知识有几个基本特征.
第一，知识的静态性.数学知识、教育学知识、心理学知识作为客观知识，体现出人类思维的结果性特质，它抹去了人们创造这些知识的过程，呈现出静态形式.当人们在学习这些知识时，通过理解将外在的知识结果形式内化为个体的主观知识，这种以同化、顺应等心理过程建立的心理知识结构即认知结构也同样保留了知识的静态性质.
第二，知识的陈述性.教师的基本知识是陈述性知识，即“是什么的知识”.从心理学角度看，这些知识的表征是命题网络形式，知识既有个性也有相互的关联性.
第三，知识的发展性.作为知识的每种成分，都有一个发展的空间（图2中的矩形容器），即使是数学学科知识，教师也不可能停滞在职前教育学习的数学知识水平，因为随着数学学科本身的发展会产生新的数学知识，时代进步对公民的数学素养又有不同诉求，于是教学内容就有替代和更新的自然要求，当然教师的数学知识也就存在被不断充实的必然.同样，教育学、心理学理论在不断发展，要求教师持续学习新的思想和新的理论.所谓对教师的“充电”就是指教师的知识发展过程.
第四，个体知识的差异性.教师基本知识结构中的每一种子成分的发展是不平衡的，有的知识增长快，有的知识增长慢甚至没有增长.发展的不平衡性源于教师自身的认知水平、认知风格、兴趣、爱好、动机、师德、敬业精神等多种因素的个体差异.
教师知识结构的这些基本特征，在一定程度上限制和规范了教师的教学行为.如果完全囿于基本知识结构的教学，在知识的静态性特征支持下，教师往往会把数学知识作为结果的、静态的东西看待，把教学过程理解为一种完成传递物件的任务，即把结果性知识准确无误地传递给学生，“讲授—接受”的教学范式成为主流.在知识的陈述性特征支持下，教学中教师对数学知识的解读主要围绕“是什么”，而不对“为什么”作出深究，以论证、推理等强势手段要学生相信和接受知识的真理性；教师对自己知识结构中的教育学和心理学知识，可能会停留在知道条例而不能根据具体教学情境灵活运用这些条例的层面，缺乏一种中间机制将数学知识、教育学知识、心理学知识有机结合，形成动态性、程序性的知识.在知识的发展性特征支持下，造成教师的专业发展就是数学知识、教育学知识和心理学知识量的增长的误区，事实上，即使教师的知识结构得到不断丰满，但如果不能有效运用这些知识，其教学水平也很难突破“基本型”范畴.在个体知识的差异性特征支持下，教师可能会出现三类知识发展的不平衡，为什么有的教师数学专业水平很高但教学效果平平，其中的一个原因可能是在他的知识结构中，数学知识突出，教育学心理学知识欠缺.
教师的数学教学知识即PCK在基本型教学中起着重要作用，数学教学知识在一定程度上将教育学和心理学知识作了整合并体现在教学设计和教学实施中，但是，在基本型教学层面，教师往往把数学教学知识作为静态知识来认识，是一种“数学教学法知识”层面的认识，于是这种知识就会成为一些僵化的原则和条款，体现不出面对具体教学情境PCK的生成性和灵活性.
基本型教学能够实现部分教学目标，实现数学教育的部分功能，但是，这种教学类型显然存在一定缺陷.为了填补这些缺陷，数学教学就应当走向智慧型教学层面.
二、智慧型教学层面分析
从基本型教学层面走向智慧型教学层面，是教师教学水平的提升过程，这种提升依赖于教师的基本知识结构向PCA形成的升华.
（一）数学教师的PCA
早期对教师PCK的研究是一种静态观，随着研究的深入，有学者开始用动态观点认识PCK.科克伦（Cochran）等发展了PCK理论，他们从强调知识发展动态本质的建构主义观点出发，对学科教学知识概念做了修改和拓展，提出了“学科教学认识（pedagogical content knowing）”即PCKg的概念，PCKg指教师对一般教学法、学科内容、学生特征和学习情境等知识的综合理解.同时，他们还提出了学科教学认识的发展综合模型.[7]科克伦明确地指出应该把“知识”变为认识，强化了PCK是一种动态性知识.
我们赞同对PCK的动态理解，同时也看到PCKg的不足.PCKg在更高的层面上强调了PCK形成过程的动态性和建构性，它意味着PCK不会随着学科知识和一般教学法知识的获得而自然形成，而在很大程度上，它是教师个人在特定情境中不断将一般教学法、学科内容、学生特征和学习情境等四种知识进行整合与探究的过程.但是，PCKg并不涉及如何整合四种知识，整合四种知识需要什么要素作为支撑等问题，而且，PCKg要求整合的只是四种知识，没有涉及教师基本知识中的其他要素.基于这种认识，我们对PCKg作进一步改造，提出PCA的概念.
所谓教师的PCA，是指教师在教学过程中，根据特定的教学内容、特定的学生群体、特定的教学环境，在自身认识信念的支持下，在自我监控的作用下，从自己的基本知识结构中选取、组合、贯通相关知识，用于设计教学进程和解决教学操作中出现的问题的能力.
第一，教师的PCA是一种教学的能力，作为知识看待就是程序性知识.PCA（程序性知识）是教师的基本知识结构（陈述性知识）转化而来，在知道“是什么”的前提下走向知道“怎么做”，表现出面对具体教学情境教师综合利用知识结构的动态过程.从PCA的内在表征来看，它是一个产生式系统，教师在拥有基本知识基础上，头脑中形成了一系列“如果……那么……”.每一条“如果……那么……”即一条产生式，而教学事件又是复杂多变的，出现一个“如果”可能会用多个“那么”应对，也可能出现一个“那么”会有多个“如果”应对的情况，因此，教师的PCA的内在表征是一个复杂的产生式系统.
第二，PCA受三个要素支撑：教师的基本知识结构、自我监控、认识信念.教师的基本知识结构是图2表述的结构，这个知识结构比PCK、PCKg所依托知识结构更丰富，同时更能体现数学学科的特征.PCA的形成是教师个体综合地利用知识的结果，这种综合利用的过程当然要受到自身对思维的监视、调节和控制作用.作为PCA的第三个支撑要素，教师的认识信念起着重要作用.个体认识信念是个体对知识以及知识认知过程的直觉认识，它涉及对知识性质、知识认知、学习性质、学习条件、环境条件等维度的认识.个体认识信念是一个系统，这个系统由知识信念、认知方式信念、学习信念、文化信念、行为表现和自我调节信念组成，这些要素之间相互联系、相互作用而形成一个复杂的结构.[8]对于数学教师而言，对数学知识性质和数学学习性质的理解尤其重要.教师对数学本体的认识不同，就会产生不同的数学观，从而影响到自身的教学行为.譬如，把数学理解为绝对真理而导致视数学为静态的、准确无误的知识，就会忠实于知识的尊严，信奉知识的准确性，教学的任务就是将知识准确无误地传递给学生，形成“结果式”教学模式，学生的学习是以“旁观者”身份被动地接受知识；如果把数学知识理解为是“可误的”，是在修正错误中发展的，就会把数学看成由问题、语言、方法和命题组成的体系，这个体系是一个动态结构：由问题作为教学的逻辑起点，用语言描述问题从而形成数学问题，采用合适的方法解决问题，最后形成数学命题和理论，显然，这种理念迁移到教学中就会形成“过程式”教学模式，学生以“参与者”身份介入学习.可见，教师的认识信念对其教学行为有明显的导向作用.
第三，教师的PCA的特征表现为：（1）个体性.教师必须依托自身的知识结构，结合教学实践中积累的经验逐步形成，一旦形成就是自己拥有的个人知识，不同个体的PCA存在差异.（2）情境性.PCK只能在教学的真实情境中才能产生，情境是整个教学与学习中的重要而有意义的组成成分，情境不同，所产生的教学与学习也不同，从这个意义上说，PCA是因变量，随着教学情境这个自变量的变化而变化.（3）实践性.如果教师拥有的基本知识结构不在教学实践中去运用，这些知识只能是静态的陈述性知识而不可能成为PCA.PCA是一种在实践中生成，同时又能指导教师实践、教学决策、教育行为的知识，是实践形态的知识.
通过以上分析，可以看出教师的PCA是在其PCK、PCKg基础上的拓展概念.
（二）基于教师PCA的数学教学
基于教师PCA的数学教学应该是一种智慧型的教学.
PCA是教师在对自己基本知识融会贯通、触类旁通的基础上，在个体认识信念导向下于具体的教学对象、教学情境中生成的知识，它把教师的智慧融入了知识之中.
在教学的预设阶段，拥有优良PCA的教师会根据具体的教学内容，以适宜的教学理论为基础，以合理的数学观及教学信念为支撑来设计教学过程；在了解学生心理发展规律的基础上，会考虑学生的认知及非认知水平现状设定恰当的教学目标；会预设学生在学习中可能产生的困难，应用心理学相关理论拟订解决学生学习障碍的办法；会针对具体教学内容考虑选择适宜的教学方法、教学组织形式，选用恰当的教学媒体进行教学；会科学设计例题、习题，确定合理的练习量，灵活运用评价方法对学生的学业进行评价；会对同一内容预设多种教学方案，并运用学科教学理论及教学经验对其进行比较以确定最优方案.在教学实施过程中，能够灵活机智地处理各种突发事件，根据具体教学进程灵活修正、补充教学策略，保证教学目标的顺利实现.
例如，在数学概念教学中，基本型教学的设计主要关注的是学生对概念的理解和对概念的应用，采用“展示概念—讲解概念—例题—练习”的模式设计教学，教学的时间主要用在学生的练习方面.智慧型教学设计要考虑概念产生的背景（现实背景或数学背景）、概念发展的路径、概念形成的体系、概念中蕴涵的数学思想与逻辑方法等因素，考虑安排最利于学生学习新概念的“先行组织者”，设计一种让学生可以体验概念发生、发展、应用的情境，使学生在体验中形成和理解概念.
智慧的学问，不是知识数量多、学术程度深就能自然拥有的，而是需要在鲜活的教学实践中探究、在探究的过程中发展的.这是个漫长的过程，也是个与理智、道德、审美的情感体验相伴随的过程.[9]
三、创新型教学层面分析
（一）数学教师的创新能力
我们所说的教师的创新能力，不是指教师在数学学科知识方面的创新，即不是指教师能够创造新的数学知识，而是指教师在数学教学中的创新，有创新的课程思想和教学思想.
数学教师的创新能力，是建立几个基础之上的.第一，教师要有相对完备的数学知识结构，有完善的PCA，这是基本的前提.如果基础单薄却空谈创新，无疑是无源之水、无本之木.第二，教师要有反思意识，养成反思习惯.反思包括对自己和他人的教学基本设计、教学实施过程、学生学习效果、课程资源开发等内容的回顾和思考.反思在于学习和鉴赏对象的长处，修正和改造对象的短处，创新能力在反思中萌生与成长.第三，教师要有批判精神.没有批判意识，思维就会受到束缚或制约，特别是被一些所谓典型的案例、榜样的光环所束缚.批判是在反思基础上有依据、有理由的批判，批判的目的在于改造或重构.第四，教师要具备一定的教育科学研究能力.教学是一门艺术又是一门科学，无论是以艺术看待教学还是以科学定位教学，都需要对教学进行研究，没有建立在研究基础之上的教学很难成为创新型教学.
（二）基于教师创新能力的数学教学
创新型教学没有固定的模式可以套用，没有僵化的策略供教师选择，创新型教学只能在教师拥有扎实的知识基础，优良的PCA的前提下，在分析、比较、综合、反思、批判、研究的过程中生成和发展.
创新型教学设计的几个要点如下.
第一，教师要制订富有弹性的教学目标，而不是死板的教学目标，教学目标要预设能够在教学实施过程中扩展或收缩的空间.
第二，教师要深入挖掘内隐的数学课程资源，并有效利用这些资源于教学中.一般说来，内隐的数学课程资源主要由内隐素材性知识和过程性知识组成.内隐素材性资源就是潜藏于数学知识深层的隐性知识，包括数学知识的文化元素、数学知识背景材料知识、数学逻辑知识和数学思想方法.过程性知识是伴随数学学习活动过程的个体的体验性知识，体验分为四个阶段.（1）对知识产生的体验.体会知识产生的缘由，明晰新旧知识之间的关联和因果关系.（2）对知识发展的体验.体悟知识发展的动因，包括数学学科的内部因素和促进知识发展的外部因素.习得探究问题的方法（逻辑的和非逻辑的）和策略.（3）对知识结果的体验.领会蕴含在知识中的数学思想方法，感受数学结构的美.（4）对知识应用的体验.体会数学应用的广泛性，积累解决问题的认知策略和元认知知识，形成自我监控的意识和习惯.充分挖掘和利用内隐素材性知识和过程性知识这两类隐性资源，是创新型教学生长的源泉.
第三，对教材中的知识进行“教育数学”层面的加工，包括对知识结构重组、知识引入方式、知识变式途径、知识拓展引申、知识横向和纵向联系等方面的思考和决策.把“学术的”数学变为“教育的”数学，把“冰冷”的数学变为“火热”的数学、学生乐于学习的数学，使学生亲近数学、热爱数学，从认知因素层面消除学生的学习障碍，从非认知因素层面激发学生的学习热情，从而有效、高效地实现教学目标.
第四，根据具体的教学内容正确把握和处理数学教学中的基本矛盾：知识与文化、理论与应用、结果与过程、论证与实验、演绎与归纳、证实与证伪.特别是随着新课程的实施，这些矛盾的对立性更加突出，矛盾的双方代表不同的教学价值取向，不消解和转化这些矛盾就难以深化课程改革和教学改革，更不可能有创新型的教学设计.例如，为什么我们的教材中只能充斥作为真理的知识和对这些知识进行辩护的说理而不让学生体验寻求真理的艰辛和进入探索问题之门？为什么我们的教学只给学生展示事物真、善、美的一面而不让学生去辨识事物假、恶、丑的一面？在课程设计和教学操作中，表现出对知识的顶礼膜拜导致学生无条件接受而不能以“参与者”的身份对知识持有评价或批评的态度介入学习，对“证实”的过分追求消解了“证伪”的功能，从而固化了学生的思维模式，当然也就谈不上培养有创新意识和创新能力的人才.因此，教学中如何处理证实与证伪的矛盾就成为设计创新型教学中要思考的问题.
第五，对教学过程与学习效果的关系进行研究.采用规范的教育科学研究方法对教学中出现的问题、困惑展开研究，例如，对“同课异构”、“同课异师”、“同法异课”、“同法异生”等问题进行研究，考察产生不同教学效果的原因，创造和寻求更优的教学设计与途径.教学的创新往往产生于教学的研究之中.
标签：数学论文; 教学理论论文; 数学文化论文; 教学过程论文; 数学素养论文; 心理学论文; 基础数学论文; 认知过程论文; 创新理论论文;