直线等分图形周长或面积问题解析，本文主要内容关键词为：等分论文,周长论文,直线论文,图形论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近两年中考悄然出现了一类问题——直线平分三角形或四边形的周长或面积。由于此类问题表面上与教材内容无直接联系，所以有些同学感觉难以寻找出基本的解题思路，本文拟谈谈此类问题的解题要点。
一、等分周长
例1 （09北京）如图1，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)，C(0，
)，延长AC到点D，使
，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E。(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式。
图1
解 (1)如图1，
(2)分析 要求直线BM的解析式，由于B点坐标已知，因此在直线BM上还要确定另一点的坐标，又直线BM平分四边形CDFE的周长，此时可考虑直线BM是否经过某特殊点。
解 由(1)可得点M的坐标为(0，
)，
由DE∥AB，EM=MD，
可得y轴是线段DE的垂直平分线，
所以点C关于直线DE的对称点F在y轴上。
所以ED与CF互相垂直平分，
所以CD=DF=EF=EC，
所以四边形CDFE是菱形，且点M为其对称中心。
作直线BM，如图1，设BM与CD、EF分别交于点S、T，
可证 △FTM≌△CSM，
所以FT=CS。
因为FE=CD，
所以TE=SD，
因为EC=DF，
所以TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS。
所以直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形。由点B(6，0)，点M(0，)在直线y=kx+b上，可得直线BM的解析式为
。（事实上，直线BM还平分四边形CDFE的面积。）
说明 本题得到一个结论：过平行四边形（矩形、菱形、正方形）的中心的直线把此平行四边形分成周长和面积相等的两部分。
二、等分面积
例2 （09年宜宾）如图2，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB，
，点B的坐标为(7，4)。(1)求点A、C的坐标；(2)求经过点O、B、C的抛物线的解析式；(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
图2
解 (1)过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于D。
如图2，因为点B(7，4)，
所以BD=4，OD=7。
过点C与等腰梯形一腰平行的直线把梯形分成面积为16的平行四边形和面积为12的三角形，因此与梯形一腰平行且把梯形分成面积相等的两部分的直线一定与边BC交于异于点C的一点。
答略。
说明 此类问题的解题要点是：以被分图形面积的一半为已知条件，求出有关线段长，再把此线段长与有关点的坐标联系起来，并结合直线的位置关系及所经过的点。
三、同时平分周长和面积
例3 （09年仙桃）如图3，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B出发，沿线段BC向点C做匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A做匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动时间为t秒。
图3
(1)求NC、MC的长（用含t的代数式表示）。(2)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。
解 (1)在直角梯形ABCD中，
因为QN⊥AD，∠ABC=90°，
所以四边形ABNQ是矩形，
所以QD=t，AD=3，
所以BN=AQ=3-t，
所以NC=BC-BN=4-(3-t)=t+1。
因为AB=3，BC=4，∠ABC=90°。
所以AC=5。
因为AB∥QN，所以MN∥AB，
所以不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。
说明 解同时平分图形的周长和面积的问题的基本思路是：先考虑平分周长的情形，用得出的结论去判断是否满足平分面积的情形，或先考虑平分面积的情形，用得出的结论去判断是否满足平分周长的情形。
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