数学和计算机信息科学知识教学整合的尝试——《数学建模与算法实现》课程，本文主要内容关键词为：数学论文,建模论文,计算机信息论文,算法论文,科学知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
今春上海市高中新开设了课程《数学建模与算法实现》，尝试通过案例教学的形式，把提高学生数学建模的能力和应用计算机的能力两方面目标结合起来，组织拓展型的课程教学。
在数学教学中应该重视数学知识的应用，是新课程标准的要求，也已经成为广大数学教师的共识。但是会解应用题并不等于会应用数学知识解决实际问题。应该注意在解决实际问题的全过程中培养学生数学建模的能力，其中包括应用题教学所没有的“前期准备”和“后期处理”。这里的“前期准备”指的是研究实际问题情景，分析现象和探索规律，并提出数学问题所必需的假设；“后期处理”指的是数学建模方法要求有数值的结果，必须将数学模型的结果与实际对照，经过实践的检验，还包括必要时编写程序并利用计算机计算出结果。在当今计算机广泛普及和计算机科学飞速发展的时代，计算机的科学计算能力为学生应用数学知识解决实际问题提供了强有力的工具，打开了广阔的天地。但是在学校的教学中两者之间缺少有机的联系。开设《数学建模与算法实现》对数学和计算机信息科学两方面知识的学习及整合作了有意义的探索。
现摘登《数学建模与算法实现》教材中两个简单的例子：
例1 十八世纪中叶，天文学家已经发现的太阳系的行星及其位置从内到外排列如下表所示：行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星距离B
3.9
7.2
10.0
15.2
52.0
95.3
注：其中B是行星到太阳的距离，以地球到太阳距离的
作为单位1。
法国天文学家博德分析和观察上面的数据，对照数学中有关的数学公式，提出了太阳系行星和太阳距离的推算公式，这个公式后来被人称为“博德规律”。现在的问题是：我们是否也能根据上表的信息找出太阳系行星位置的分布规律？
分析假设 不过我们要提示一点，在博德那个年代，太阳系中还有许多行星尚未被发现，而正是基于“存在尚未被发现的行星”的大胆假设，博德才可能提出富有新意的“博德规律”。博德观察数据后相信：行星到太阳的距离和该行星到太阳远近的序列数有关，而这种关系可以用一个简单的数列表示。
这样，我们可以把模型的假设归结为：
1.在已经发现的行星之间或外边，太阳系还存在尚未被发现的行星；
2.把太阳系行星按到太阳的距离由近至远编号排序，则行星到太阳的距离可以用一个简单的数列表示。
这也就是博德模型的基本假设，
我们把上表中的行星编号并列表如下：行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星编号n
1
2
3
4
5
6距离B
3.9
7.2
10.0
15.2
52.0
95.3
为了便于思考，我们画出行星编号n和距离B的关系图。
从图1可以看出，前四颗行星的距离在一条“光滑”的曲线上，而后面行星与前面行星的连线却有明显的波折，不是这条光滑曲线的自然延伸。于是我们进一步假设：前四颗行星之间没有未被发现的行星。
附图
我们将试图找出前四颗行星离太阳的距离和它们序号的数量关系，即找一个适当的数列，使得数列中的项恰与表中的距离接近。我们的问题变成：求
，其中l＜m，它们都是待求的自然数，分别为木星和土星的编号。
模型求解 因为这里要求的数列只是满足一些近似关系，这样的数列有很大的不确定性。我们可以用某些数列尝试求解。历史上博德提出的公式是
附图
这里，n是行星按离太阳的距离从近到远的编号。但是水星例外，计算时上述公式右边的第一项取0。对应的l=6，m=7。这是一个简单的太阳系行星位置的分布规律的数学模型。
讨论验证 博德公式的推算的结果和实际测量的结果如下：
从表中可见，博德公式推算的距离和当时已经发现的行星距离是很符合的。后来在1781年，天文学家威廉·赫歇尔发现了天王星，它离太阳的距离是192，符合博德公式。此后天文学家曾因找不到博德公式中距离为28的行星而焦虑不安。终于在1801年天文学家在火星和木星之间发现了第一颗小行星，它离太阳的距离为27.6，符合博德公式的推测。此后天文学家又发现了大量的小行星，它们的轨道基本介于火星和木星之间。但是后来在1846年发现的海王星和1930年发现的冥王星，实际距离和博德公式推算的距离有很大的差距。这说明博德公式不适合离太阳较远的行星。行星
n
博德推算的距离
实际距离水星
1
4（例外）
3.9金星
2
7
7.2地球
3
10
10.0火星
4
16
15.2小行星*1801
5
28
27.6木星
6
52
52.0土星
7
100
95.3天王星*1781
8
196
192海王星*1846
9
388
301冥王星*1930
10
772
396
表中带*的行星是博德提出他的推算公式以后陆续被发现的，*后的数字是发现该行星的时间。
总之，博德规律和当时已经知道的天文数据相当符合，和后来发现的离太阳较近的行星的数据也很相符。但是对离太阳较远的行星来说，博德规律不再成立。因此，博德的数学模型在一定的范围内是正确的，而历史上这个公式也确实帮助科学家发现了新行星，应该说，这是一个成功的数学模型的例子。
这个例子说明，数学建模是一种创造性的思维活动，需要有一定的数学知识，但更需要敏锐的洞察力、想像力和不受陈规约束的创新精神。
例2 问题提出 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月工资、薪金不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税额。此项税额按下表累进计算。
要求建立由工资、薪金总额计算应缴税款的数学模型并编写程序。
分析假设 以x表示一个人的工资、薪金总额，以y记他的应缴税款。按规定，他的应纳税额为x-800。由累进计算纳税款的方法可知，一个人的应缴税款y是他应纳税额x-800的一个分段函数，因而也可以表示为x的分段函数。为此，我们要分段推导函数的表达式。（略）
全月应纳税额
税率不超过500元部分
5%超过500元不超过2000元部分
10%超过2000元不超过5000元部分
15%超过5000元不超过20000元部分
20%超过20000元至40000元部分
25%超过40000元至60000元部分
30%超过60000元至80000元部分
35%超过80000元至100000元部分
40%超过100000元部分
45%
若以r记相应区间的纳税率，分段函数各区间的纳税率和左端点的应纳税款数可列表如下：
全月工资、薪金
以该点为下端点的编号
应纳税款y（元）
总额x（元）
区间纳税率r(%)1
0
0
02
800
0
53
1300
25
104
2800
175
155
5800
625
206
20800
3625
257
40800
8625
308
60800
14625
359
80800
21625
4010
100800
29625
45
数学建模 y可以表示为x的分段函数如下：
附图
附图
（程序略。）