指导阅图方法，突出函数思想，本文主要内容关键词为：函数论文,思想论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一次函数图象信息题中，有一类紧密联系学生生活、学习情境的图象信息题，学生在解决这类问题的过程中，需要将文字、情境、图象进行综合分析，以获取信息，从而充分考查学生的阅读理解能力、信息转换能力；同时在解决问题的过程中，还需要具备扎实的一次函数、正比例函数等基础知识以及待定系数法等基本方法，包括数形结合、转化化归、方程思想等基本数学思想.“用一次函数解决实际问题”的数学解题活动经验，能充分考查学生的“四基”，所以这类题型一直是大部分省市中考的常考题.下面以相遇或追击的“双线图”问题为例，来寻找学生对此类问题的困惑所在和解决这类问题的教学方法. 甲、乙两地之间有一条笔直的公路l，小明从甲地出发沿公路l步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路l骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为
米，小亮与甲地的距离为
米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟.
、
与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2. （1）求小亮从乙地到甲地过程中
（米）与x（分钟）之间的函数关系式； （2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式； （3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值.
二、教学过程简述 1.模拟问题情境 任务1：请大家先阅读题目，然后大致描述问题的情境. 阅读两分钟后，几乎没有学生能较好地描述出问题的情境.绝大多数学生表示过程太复杂，不太好讲.鉴于此，要求尝试下面的操作. 任务2：请同桌之间互相协助，先借助两个笔尖在线段图上“走”一遍，然后请两位同学在黑板上演示并进行描述. 上黑板演示的学生在其他学生的少许纠正（主要纠正的是“一个休息一个人走”的情境）下，基本上表达出了整个情境过程. 接下来，让学生自主解决问题.笔者在巡视的过程中，发现学生思路比较混乱，一会儿看图、一会儿读文字，十分钟基本只完成了第（1）问. 对于思考过第（2）问的学生，也基本都是用算术方法进行求解，由于不知从何处获取信息以及时间x（分钟）的多变性，最终没能快速获得结果.于是，笔者提出“下面按照老师提供的思路进行思考，看能不能快速获得结果”. 2.分段对情境 任务3：请大家先确定小亮、小明与甲地的距离分别对应的图象，再将图象分段，并将它与实际情境对应，说说每段图象表达的意义. 根据题意学生基本都得到结果：小亮与甲地的距离对应的图象是AB、BE、ED、DC，小明与甲地的距离对应的图象是OC.图象分段时有些分歧，一种是分四段（如图1），由虚线BG、EF、NM进行分割，从左向右，第一段为小亮到甲地的过程，第二段为小亮到达甲地停留一段时间，第三段为小亮从甲地返回追上小明的过程，第四段为两人一起走的过程；另一种是分五段，由虚线KL、BG、EF、MN进行分割，把第一段小亮到甲地的过程，分为与小明相遇前和相遇后两段.在此笔者对两种分法都保留，接着往下做，再做选择. 3.阅图找信息 任务4：先把题目文字中的条件找出来，再将一次函数中的自变量、因变量、系数与实际情境中的数量进行对应. 文字中的条件是“小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回”.本题自变量表示时间、因变量表示距离、系数的绝对值就是速度，题目已经给出相关特殊点的坐标，可以根据点的坐标求出相关的时间、距离和速度.这些信息学生基本都能得出. 任务5：对图象的起点、交点、转折点、终点、对应点等特殊点进行分析，尝试根据已知数量求一些特殊点的坐标或根据坐标求实际情境中相关的数量. 学生很快得到：由图象可知C（40，2000），A（0，2000），B（10，0），E（24，0）.根据C（40，2000）可得小明的速度为2000÷40=50（米/分），根据A（0，2000）、B（10，0）可得小亮的速度为2000÷10=200（米/分）. 4.将问题向图象转移 任务6：先确定第（1）问和第（2）问对应的“段”，再将“小明与小亮之间的距离”在图象上表示出来，能用图象上两个点的纵坐标表示吗？ 在提示下，第（1）问学生已经解决，对于第（2）问从图象上可以看出，小亮从甲地返回到与小明相遇的过程是第三段，“小明与小亮之间的距离”在图象上表示出来，就是时间横坐标相同时，图象上的点的纵坐标的差，所以只需对求出的DE和OC对应的函数关系式作差，即可表示出小明与小亮之间的距离.
任务7：你能在第（2）问的启示下解决第（3）问吗？ 学生基本能获得思路.因为整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数是两个一次函数的差，所以整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数是一次函数.要补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，至此，回应上面的两种分法，可知需要把图象分五段，并求出段与段之间的界点的时间. 第一段（AK段）：显然a表示小亮从乙地出发与小明从甲地出发第一次相遇的时间，即根据第（2）问求出的速度，可得a=2000÷（200+50）=8（分钟）； 第二段（KG段）：相遇后到小亮到甲地，这段时间是2分钟，总时间是10分钟，当x=10时，s=2×（50+200）=500，对应的时间是8≤x≤10； 第三段（GF段）：小亮到甲地后休息了14分钟，总时间是24分钟，相距的距离是小明走的路程，即当x=24时，s=24×50=1200，对应的时间是10≤x≤24； 第四段（FM段）：小亮在甲地休息完到追上小明，这时s=0，代入s=-150x+4800，可求得x=32，对应的时间是24≤x≤32； 第五段（MC段）：这时s都为0，对应的时间是32≤x≤40. 根据以上信息可描出相应的点就可以补全图象，如图3.
5.归纳与小结 引导学生对上述过程进行总结，可简单归纳为：看题想情境，分段对情境，对比“五种点”，问题上图形，多与点联系，常用关系式. 三、教学思考 纵观学生在解决与实际生活密切联系的一次函数图象信息题时，可发现其主要的困惑有：（1）根本不知道先去想像实际情境，也不能还原实际场景，导致不知道题目说的是什么意思；（2）不知道从图象上何处获取信息，怎样获取信息；（3）习惯用算术方法，不知道利用函数“工具”解决问题，对于过程比较复杂，量的变化比较多的题目，无法理顺这些量之间的关系.鉴于此，教学可以从以下三个方面入手进行尝试. 1.让学生学会模拟背景情境 解决与实际生活密切联系的一次函数图象信息题时，首先要让学生学会将题目中文字表达与生活情境对接.对于行程问题，可以借助线段图，利用手中的笔，让笔尖代表两个对象，按照题目的文字描述在线段图上“走”一遍.在“走”的过程中，要求在线段图上标出一些特殊点，起点、终点、相遇点、拐弯点等，同时根据“走”的过程，把整个“过程”分成块，并对每一块涉及的数量进行初步分析，如起点的时间是否相同，过程中的时间、速度、路程之间有怎样的变化和关系等.通过这种笔尖的模拟活动帮助学生体验生活情境，从而较好地帮助学生理解题意.平时的教学中，要经常自主地去设计一些生活化情境，让学生适当练习，从而丰富学生的生活经验. 2.让学生经历阅读图象的过程 教学时，不能忽视学生阅读和理解函数图象的过程，不能题目一出来，教师一分析，学生一代入就讲完了.我们要让学生知道如何分析函数图象，如何将实际生活情境与图象进行对接，并教会学生阅读图象的一般方法，从图象的什么地方去获取信息等.基于这样的思考，笔者设计三个步骤：（1）分段对情境，在简单模拟过实际生活情境后，将实际情境与图象结合，把图象分段并与实际情境对应，将整体分解，这样利于根据情境来探索图象表达的意义，获取信息，再利用获取的信息解决问题；（2）对比“五种点”就是对图象的起点、交点、转折点、终点、对应点等特殊点进行分析，将一次函数中的自变量、因变量、系数与实际情境中的数量进行对应，尝试根据已知数量求一些特殊点的坐标或根据坐标求实际情境中相关的数量；（3）问题上图形就是将实际问题转移到图象上，问题中涉及的量转化为图象上的点，利于图象的上下位置、方向、转折等形象信息，尝试求出相关图象的函数关系式，利用函数关系式解决问题.以上三个步骤都要设计相应的问题，通过问题的引导让学生经历图象的阅读过程，掌握阅读函数图象的一般方法，积累经验. 3.培养利用函数思想解决问题的意识 解决一次函数图象问题，除了从函数视角思考外，可以利用算术方法，也可以利用相似.有的教师看到一次函数图象题，就讲首选相似、全等，再用解析式.但对于本题，由于运动过程复杂，涉及的数量多变，用算术方法进行分析显然很烦琐，而利用图象结合函数关系式则一目了然，对于两人的相距问题，其实就是在横坐标相同时，图象上的点的纵坐标之差，利用函数关系式可快速得到结果，既直观又简便.要通过对比让学生体会用函数的观点解决问题的优越性.
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