平抛运动中几个重要结论的证明及应用，本文主要内容关键词为：几个论文,结论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
平抛运动是匀变速曲线运动中的常见运动，它可以看做由匀速直线运动和自由落体合成，因此也是两个直线运动合成后为曲线运动的典型实例，其基本规律和处理方法一直是各类考试的热点。下面介绍平抛运动中的几个重要结论及应用，供大家参考。
结论1：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点
证明：设平抛运动的初速度为v[，0]，经时间t后的水平位移为x，如图1所示，D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有：
图1
水平方向位移：x=v[，0]t，竖直方向：v[，y]=gt和y=（1/2）gt[2]。由图1可知，三角形△ABC与三角形△ADE相似，则有：（v[，0]/ v[，y]）=（
/y）联立以上各式可得：=（x/2）
该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。
结论应用：
例1 如图2所示，与水平面的夹角为θ的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度v[，0]从三角形木块的顶点上水平抛下，试求质点距斜面的最远距离。
图2
解析：当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成θ角。如图3所示，图中A为末速度的反向延长线与水平位移的交点，AB即为所求的最远距离。根据平抛运动规律有：
图3
v[，y]=gt、x=v[，0]t和（υ[，y]/r[，0]）=tanθ
例2 如图4所示，带电粒子在没有电场和磁场的空间以v[，0]从坐标原点O沿x轴方向做匀速直线运动，若空间只存在垂直xOy平面的匀强磁场时，粒子通过P点时的动能为E[，k]；当空间只存在平行于y轴的匀强电场时，则粒子通过P点时动能为：
图4
A.E[，k]B.2E[，k]C.4E[，k]D.5E[，k]
解析：只有磁场时，粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，设粒子初速为v[，0]，则粒子通过P点时的动能为E[，k]=（1/2）mv[，0][2]
当只有电场时，粒子做类平抛运动，其轨迹及位移和速度如图5所示。由结论1可知速度v[，p]的反向延长线交x轴于（5，0）根据图5中几何关系有：
图5
所以则粒子通过P点时动能为：E[，kP]=（1/2）mv[，P][2]=5E[，k]，选项D正确。
结论2：平抛运动的物体经时间t后，其速度v[，t]与水平方向的夹角为α，位移s与水平方向的夹角为β，则有tanα=2tanβ。
证明：设平抛运动的初速度为v[，0]，经时间t后到达A点的水平位移为x、速度为v[，t]，如图6所示，根据平抛运动规律和几何关系：
图6
在速度三角形中有：tanα=（v[，y]/ v[，0]）=（gt/v[，0]）
在位移三角形中有：tanβ=（y/x）=（gt[2]/2v[，0]t）=（gt/2v[，0]）
由上面两式可得：tanα=2tanβ
结论应用：
例3 一质量为m的小物体从倾角为30°的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上B点，若物体到达B点时的动能为35J，试求小物体抛出时的初动能为多大？（不计运动过程中的空气阻力）
解析：由题意作出图7，根据结论2可得：
图7
tanα=2tanβ=2tan30°，所以tanα=2
由三角知识可得：
cosα=
又因为v[，t]=（v[，0]/cosα），所以初动能E[，kA]=（1/2）mv[，0][2]×（9/21）=E[，kB]=15J
结论3：平抛运动的物体经时间t后，位移s与水平方向的夹角为β，则此时的动能与初动能的关系为E[，kt]=E[，k0]（1+4tan[2]β）。
证明：设质量为m的小球以v[，0]的水平初速度从A点抛出，经时间t到达B点，其速度v[，t]与水平方向的夹角为α，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图8所示。
图8
由上面结论2可知：tanα=2tanβ
从图8中看出：v[，y]= v[，0]tanα=2v[，0]tanβ
小球到达B点的速度为：v[，t]=
所以B点的动能为：E[，kB]=（1/2）mv[，t][2]=（1/2）mv[，0][2]（1+4tan[2]β）=E[，k0]（1+4tan[2]β）
结论应用：
例4 如图9所示，从倾角为30°的斜面顶端平抛一个物体，阻力不计，物体的初动能为9J。当物体与斜面距离最远时，重力势能减少了多少焦耳？
图9
解析：当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成30°角。如图9所示，由tanα=2tanβ可得tanβ=（1/2）tanα
所以当物体距斜面的距离最远时的动能为：
E[，kt]=E[，k0]（1+4tan[2]β）=9×（1+tan[2]30°）J=12J
根据物体在做平抛运动时机械能守恒有：△E[，P]=△E[，k]=（12-9）J=3J，即重力势能减少了3焦耳。
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷，若掌握这些结论的来龙去脉，在解决某些平抛问题时就可以避免繁琐的计算，提高效率。因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力。