例谈问题表征对数学解题的影响及教学对策，本文主要内容关键词为：表征论文,对策论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解题是数学学习的重要方式，是提高学生数学素质的主要手段.数学解题研究是数学教师的重要任务.通过研究数学解题的一般规律以提高解题教学的效率，从而提高学生的数学解题能力.数学解题的第一步是问题表征，即根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间，是把外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程[1].问题表征是一种对问题理解和内化的过程，也是理解后在大脑中呈现的形式.胥兴春等提出了许多不同问题的表征方式及对数学问题解决的影响[2].高层次的问题表征对数学问题的灵活解决能产生积极的影响[3].本文结合中学数学中的若干典型题目就问题表征对数学解题的影响进行分析，同时提出相应的教学对策. 一、视觉表征有助于提高学生对数学问题的理解水平 有学者研究认为：在许多数学问题中，视觉表征能帮助学生提高对问题知觉的理解性，对数学问题的成功解决非常重要[4].中学数学中涉及函数图象、几何图形的问题很多，有很多学生在阅读题目时更多地借助头脑中形成的表象理解问题，很容易出现理解偏差，抓不住解决问题的关键.在草稿纸上画出图形对提高数学问题的理解水平十分有益. 例1 （2013年江苏模拟试卷（四）第13题）椭圆的方程为
（a＞b＞0），过右焦点且不与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，若在椭圆的右准线上存在点R，使△PQR为正三角形，则椭圆的离心率的取值范围是多少？ 分析：显然正确表征“在椭圆的右准线上存在点R，使△PQR为正三角形”是成功解题的关键.而不借助图形准确表征上述语句就十分困难.很多学生读题后首先设过焦点F的直线方程为：y=k（x-c），试图代入方程求｜PQ｜.误认为椭圆是确定的，而过焦点的直线是变化的，故而出现了参数k.抓住问题中的关键语句并画出草图（如图1），直线PQ过椭圆的右焦点F，点M为PQ的中点，点R在椭圆的右准线上，设△PQR为正三角形，过点M作椭圆右准线的垂线，垂足为点G，则点R存在的充要条件是｜MR｜＞｜MG｜（显然椭圆在变化，过焦点的直线及点R的位置随椭圆的变化而变化，有了变量a、b就不需要再出现新的参数k）.这就给出了求椭圆离心率范围的关键表达式，简要解答过程如下：
教学对策： 追求解题速度是应试的必然要求.然而教学“欲速则不达”，解题速度与解题正确率往往不成正比，相当多的错误其根源在于问题表征不准确.可以用示意图（或图象、图形）进行表征的问题要求学生认真画图，必要时尽可能准确画图，将可能的情况都画出来，这对准确理解题意、形成正确的解题策略很有帮助，这也就是人们通常所说的“磨刀不误砍柴工”. 当然，视觉表征的最终目的是提高学生对数学问题知觉的理解性水平上.在知觉过程中，人们总是根据已有的知识经验来解释当前知觉的对象，作出最合适的说明，使它具有一定的意义，知觉的这一特性就是理解性[5].视觉表征更有利于调动学生已有的经验，也有利于挖掘问题中的隐含信息.但如果学生仅仅停留在视觉上，而不能使视觉活动与问题的真实结构相对应，那么对问题的解决也不会有帮助.例1中，画出点R的位置，如何正确表征才能使其与问题结构“存在这样的椭圆使以不垂直于x轴且过右焦点的线段PQ为边的正三角形的一顶点R在椭圆的右准线上”相对应呢？显然，由于MR⊥PQ，故MR不垂直于准线l，即｜MR｜＞｜MG｜，这是表征问题的关键所在. 二、原理表征有利于学生选择问题解决的最佳策略 Dixon和Moore在研究直觉表征对问题解决中数学策略选择的影响时提出了原理表征，认为原理表征就是按照一套特殊原理来表征问题的领域，其中每个原理都表明一套模糊的潜在答案.数学原理的掌握和使用是学生选择数学策略的前提，原理表征方式能够促进学生对策略的理解和加工[6]. 例2 已知椭圆
的两条半径OA、OB互相垂直，求△AOB面积的最大值与最小值. 分析：如图2，要表征△AOB的面积，学生头脑中呈现出的基本原理是求出OA、OB的长.要求OA、OB的长，关键是如何选择表示A、B两点的坐标？用直角坐标则从OA与OB的垂直关系出发可设出直线OA与OB的方程，求出直线与椭圆的交点坐标即A、B两点的坐标；也可用极坐标的方式直接表达OA与OB的长.简单估计一下采用第二种方案计算量会小一些，也可避开OA、OB垂直于坐标轴时斜率不存在的情况.
以上心理活动过程就是一种原理表征过程，学生根据题目给出的条件运用相应原理表征问题，解题的速度与质量完全决定于数学原理的灵活掌握.如果学生对极坐标的原理理解不透就不会选择第二种解决方案，那后果从下面的过程不难发现.
即求出了三角形面积的最小值，而三角形面积的最大值是显然的.上述过程看似简洁，实际上需要相当娴熟的运算技巧及较高水平的等式变形能力，对解题者元认知水平的要求也非常高.
根据上式容易得到相应结论.很显然方案二运算量小不易出错，且思路较直接，对解题者而言思维负荷较小.比较两种解题方案，显然方案二较佳. 教学对策： 问题表征的过程是解题者根据题目提供的信息构建自己的问题空间的过程，一个基本数学原理往往对应一个问题空间，同一个题目根据不同的数学原理往往与若干个等价的问题空间相对应.但不同的问题空间相应的解题繁难程度不同，这就需要解题者应具备一定的直觉洞察力.而直觉洞察力是建立在学生对数学原理掌握的基础上的.数学原理教学应揭示原理产生的过程.在中学数学教学中，不少教师重解题训练，将教材中呈现的基本原理或让学生自习，或简单说明，最大限度地压缩了原理形成过程的教学.用张奠宙先生的话说就是“掐头去尾烧中段”.通常所说的数学知识包括数学原理，一般认为数学知识分为陈述性知识、程序性知识与过程性知识陈述性知识的获得需经历“新的意义构建”、“保持新建构的观念”、“形成图式与运用”三个阶段；程序性知识分为智慧技能与认知策略两类，其获得都要经历若干阶段，与学生的反省认知发展水平及动机水平等因素有关；而过程性知识是伴随数学活动过程的体验性知识，其获得需要学生对知识的产生、发展、结果与应用进行体验[7].如果原理教学不注重学生对原理产生过程与应用的体验，学生是很难真正掌握数学原理的.学生如果没有对数学原理的透彻理解，在解决数学问题时就无法形成明晰的与相应原理相匹配的数学问题空间. 三、图式表征能帮助学生捕捉数学问题中的关键信息 认知心理学家皮亚杰认为，图式是主体内部的一种动态的、可变的认知结构.例如，平面上三向量
当终点A、B、C共线时，学生通过探究形成了用其中两向量表示另一向量的表达式：
.在平面向量问题中所形成的有关三点共线时向量表示的方式等知识结构就是一种图式.当然这种认知结构随着主体的认识程度的加深也会发生变化.图式表征是指对问题的空间关系进行编码的方式[8].即根据问题中的关键信息搜寻相关图式，再运用相应图式对数学问题进行分解、比照、组合，在此基础上形成相应的解题策略.图式表征是解决数学问题的一种比较有效的方式.何海东等人的研究表明，如果能够识别（表征）构成物体的部件以及确定其间的空间关系，就可以实现对物体的整体识别和理解[9].数学问题的关键信息是图式表征问题的切入点.
正是由于认知主体已具备了相应的图式，才可能对问题的关键信息进行编码、改造、重组，从而运用改造后的图式表征问题，使问题顺利获解. 本题题设比较简单，关键信息直接明了，对稍复杂的问题运用图式表征的优越性则更为明显. 教学对策： 数学问题中的关键信息对形成解题策略至关重要.上述研究表明：图式表征能帮助学生捕捉问题中的关键信息.根据皮亚杰的理论，图式是存在于认知主体内部的认知结构.数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑中的反映，它是学习者在学习过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统[10].这些观念系统的形成需要一个科学的形成过程，绝不是教师的直接给予.比如平面向量中终点共线的向量表达问题应引导学生经历“问题的提出——探究——观察——归纳概括”的过程.如果仅仅是教师的直接告之，那么这种“知识块”很难与学生头脑中的其他知识发生良好的联系，其所形成的认识结构就不具备可变性与动态性，学生就不能像上述例3一样对关键信息进行改造.在数学学习中常常发生“懂而不会”现象，即学生上课时能听懂教师讲的内容，课后却不会灵活运用，其原因在于学生对数学知识的理解停留在“工具性理解”上[11].学生能灵活运用图式表征问题的标志是学生头脑中与问题相关的认知结构是优良的.优良的认知结构应该是层次分明的观念网络结构[12]，即学生对相应知识的理解已经从“工具性理解”上升至“关系性理解”进而上升至“观念性理解”的层次[13].注重数学知识形成过程的教学是达到这一目的的主要途径. 数学问题表征的形式还是很多，并非任何表征形式都有助于数学问题的解决，但实践表明，适时变换问题表征的方式有助于提高解决问题的成功率
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