数学与维特根斯坦的哲学，本文主要内容关键词为：维特根斯坦论文,哲学论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
维特根斯坦由学习数学而引发哲学兴趣，并在研究哲学中一贯关注和研究数学，这是人所共知的史实。然而，维特根斯坦的哲学思想及其发展与数学科学之间的关系究竟如何？似乎没有引起研究者足够的注意，而揭示这种联系，或许不但可以为研究维特根斯坦哲学提供一个新视角，而且能起人们对数学与哲学的关系的新思考。
一
由罗素·摩尔等人开创的分析哲学，其思想先驱可上溯到弗雷格。这几位开创风气的哲学大师，同时又都是数学界中名声显赫的人物，是现代数学和现代逻辑的开创者。1879年，作为数学家的弗雷格出版的《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式》一书，被视作现代逻辑的开端。弗雷格后来回忆说：“我开始是靠数学，在我看来，这门科学急需更好的基础。……语言逻辑的不完善对这种研究是一个障碍。我在《概念文字》中寻求弥补，所以我就从数学转向了逻辑。”([1]P98-99)弗氏这一转向又意味着哲学的转向，因为他不仅由此建立了现代逻辑的第一个系统，而且还以此为思想武器批判日常语言，重新规定哲学任务，要求“使思想从仅仅受到语言表达方式的影响中解放出来。”([1]P3)由是，以探讨对象世界和认识能力为宗旨的传统哲学，就开始向研究思维表述形式的现代形态转变，也就开始了哲学的“语言转折”，从而造成风靡一时的哲学分析运动，这里还值得一提的是弗雷格关于哲学研究起点的看法。在弗雷格看来，逻辑是我们研究哲学的必不可少的工具，应当成为哲学研究的起点。他进而认为人们可以研究哲学的任一部分而不必首先研究认识论。弗氏这一看法为人们涉足哲学打开了新的门径，特别对那些不甚了解传统哲学而深谙逻辑的人具有吸引力。于是，分析哲学就从数学家中得到了自己的哲学家。
正当这些作为数学家的哲学家，以自己的数学研究成果为武器问鼎哲学之时，维特根斯坦以门生弟子的身份往来于欧洲大陆与英伦三岛之间，先后向弗雷格和罗素学习数学。正是对数学的学习，对当代数学成果的了解，使颇有科技天才的维特根斯坦与乃师一样，最终走向了哲学。“以弗雷格和罗素作为两位最有才华的代表的‘新逻辑’，成为维特斯坦进入哲学的入口。”([21]P4)初涉哲学的维特根斯坦从1912年起，不过六年，就完成了分析哲学的奠基之作一《逻辑哲学论》，成为将“哲学的革命推向决定性转折的第一人”（注：石里克《哲学的转变》，转引洪谦主编《逻辑经验主义》上卷，商务印书馆1982年版，第7页。）。当然，追溯维氏的哲学师承，还可以列举哲学家叔本华、语言学家毛特纳、物理学家玻尔兹曼、赫茨、乃至俄国文学家托尔斯泰、陀思妥也夫斯基等等。然而决定性的影响正如维氏自己所言，是弗雷格和罗素，而且“正是弗雷格的概念实在论，使他抛弃了早年的唯心主义观点。”（注：《西方事务哲学家许传续编》，山东人民出版社1986年版，第489页。）正是由他们那里所获的数学营养，维特根斯坦才得以建立《逻辑哲学论》这一哲学里程碑。“罗素和弗雷格对《逻辑哲学论》的影响，事实上遍及全书。”)[1]P389)这种影响细究起来，大致有三：
其一，他们的数学研究使维特根斯坦获得自己独特的哲学研究方向。
早在1879年发表的《概念文字》一书中，弗雷格通过自己的数学研究而发现：“当我致力于满足这种最严格的要求时，我发现语言的不完善是一种障碍，在现有各种最笨拙的表达中都能表现这种不完善性，关系越复杂，就越不能达到我的目的所要求的精确性。”([3]P2)他认为：“为了追求简短，在数学语言中引入许多不精确的表达，而这些表达反过来使思想变得含混不清并产生错误的定义。数学本应是逻辑清晰的典范，……人们绝不应该为了表达的简短而牺牲逻辑的正确性。因此，创造一种集尽可能简短与最严格精确乎一身的数学语言则更为重要。”([3]P52-53)为了实现这一理想，弗雷格打破自然语言的束缚，用表示逻辑关系的符合补充数学固有的形式语言，最终创造出他的“概念语言”。在他看来，这种新型数学语言还可用于其他领域，“对思维形式的一种直观描述毕竟有了一种超出数学范围的意义，因此哲学家们也想重视这个问题。”([3]P43)
如果说，弗雷格对语言不完善性的批判和对形式语言的建构等工作在当时还不广为人知（维特根斯坦是比较了解的。）那么，罗素对集合论悖论的发现和克服则是数学史上尽皆知的重大事件。这一悖论的发现带来了数学天空上的乌云，严重动摇了整个数学的基础，开始了数学的第三个危机时期。而罗素对之进行的分析和克服，不仅有力推进了数学基础的研究，同时也展示了作为思维方式的哲学的魅力。维特根斯坦就是从弗雷格、罗素诸人的数学研究中，天才地领悟到哲学中语言问题的重要性，从而以自己的领先研究，开辟了哲学研究的新方向。从他早期的哲学理论中，对语言的精确性的要求、对理想语言即逻辑语言的追求、对可说与不可说的界限的划分，都不难看出研习数学留给他的强烈的影响。
其二，罗素的类型论理论的建立，直接引发了维特根斯坦的《逻辑哲学论》的基本理论——语言界限论。
罗素的类型论理论本是为解决自己所发现的数学集合论悖论的，即“一个以所有集合为元素的集合，是否为它自身的集合。”罗素将它形象地喻为希腊智者恩披美尼克的“理发师悖论”。罗素对这一悖论的分析表明，它出现的原因在于其“自身相关”（“自我缠绕”）。为了解决这一悖论，罗素提出了分支类型论，主张将各种集合将性质的不同分作若干层级的类型，在每一类型之内不得谈论该类型的集合整体，这一整体只能在更高层次的类型中谈论。罗素认为以此可以克服“自我相关”而消解集合论悖论。罗素的研究表明：语言和语言的使用存在着不完善性，它不仅造成数学上的麻烦，而且也会引起思维和哲学上的混乱。带着这种认识，维特根斯坦一进入哲学领域，就宣称自己的任务是进行语言分析工作，以此来消除人们思维上的混乱，也就是由于误用语言而造成的哲学问题。《逻辑哲学论》的根本理论是语言界限理论，即“凡是能说的都应该说清楚，而凡不能说的就应该保持沉默。”这一理论从其来源，可以说是罗素数学研究工作在哲学中的重视，当然，维特根斯坦作为富有创新精神的哲学奇才，他不是简单地将数学理论及方法搬进领域中硬套，而是在具体研究中进行了一系列的改造，使之具有全新的面目。
其三，罗素和怀特海致力于集合论合理化的工作，激发了维特根斯坦对自己哲学努力的雄心。
类型论理论的建立使罗素深信，在数学研究中悖论是可以避免的。这就在于按照类型论的原则，从逻辑出发在逐步构建各具体的数学理论。这一雄心勃勃的设想就体现在罗素与怀特海共同撰写的《数学原理》一书上。从逻辑中展开数学工作，赋予整个数学以坚实的基础，罗素与怀特海这种将数学化归为逻辑的努力，启发了维特根斯坦的哲学灵感，使他找到了哲学研究的“阿基米德点”。他在笔记中写道：“我的工作已经由逻辑的基础扩展到世界的本质。”([4]P45)这也就是说，他要以数学和逻辑分析为工具，去探索研究世界，要象罗素和怀特海为数学奠定基础一样，为哲学奠定牢固的基础。这一努力的成果，便是《逻辑哲学论》的问世。这部哲学名著正象它的名字那样，不仅是哲学的而且也是逻辑分析的。它七大部分环环相扣，有着严密的逻辑秩序，把数学思维的严谨性，精确性的要求化作一种新颖的哲学思维。
二
正当《逻辑哲学论》的影响与日俱增之时，维特根斯坦却悄然离开哲学界，其原因正如他向其同窗，著名经济学家凯恩斯所说：“因为我对这项工作已不再有强烈的渴望，我实在必须要说的已全部说过了，因此源泉已经干涸”。([5]P12)然而，事隔十年，维特根斯坦又重返剑桥的哲学教席，并坦然承认：“当十六年前，我重新回到哲学思考上来时，我一开始就被迫认识到我在第一本书中犯了严重错误。”([6]P4)维特根斯坦的哲学转向催生了日常语言学派，使分析哲学运动更显得多姿多彩。因此，这种转向的原因也就引起人们的注意。基于主旨，本文着眼的是与数学相关的一些因素。
对此，维特根斯坦曾承认：“在这一点上，我得感谢R·兰姆赛先生对我思想所作的批评，因为他在一生的最后两年内，跟我在多次交谈中谈到这些错误。”([6]P4)据载，这种批评已涉及到数学基础问题。([5]P12)二十年代在维也纳小组，维氏曾和汉斯·哈恩等数学家讨论过《逻辑哲学论》。1928年春，他听了直觉主义数学家布劳威尔的《数学·科学和语言》的演讲，受到极大启发。据费格尔说：“看到维特根斯坦那晚的变化真是使人着迷……他变得极为健谈，开始简略地叙述一些思想，这些思想是他后期著作的发韧……那一晚标志着维特根斯坦恢复了强烈的哲学兴趣和哲学活动。”（注：穆尼茨《当代分析哲学》，复旦大学出版社1986年版，第323页。）数学之所以再次触发他的哲学兴趣，首先在于他是由数学入手而研究哲学，所以数学中的哲理尤能引发他的哲学之思，其次，数学的进展尤其是以布劳威尔为代表的直觉主义的崛起，对维特根斯坦早期的哲学思想是有力的冲击。直觉主义认为数学源于人类心灵的构造性直觉，是心灵构造的约定，他们反对把数学化归为逻辑，认为不是逻辑决定语言的结构而是语言的运用确定逻辑的法则。这些看法与逻辑主义大相径庭，恰好成为维氏思想转轨的“它山之石”。
在重返哲学的时期里，维特根斯坦在1925-1932年和1936年—1938年的两年时间里，认真从事数学研究，主要是关于数学基础的研究，写了大量关于数学和逻辑学的笔记，并在剑桥开设关于数学基础的讲座。这种研究认真而艰难，正如他自我评价所说：“我背着鼓胀的哲学背包，只能缓慢地在数学山上攀爬。”（注：维特根斯坦《文化与价值》，清华大学出版社1987年版，第2页。）在这种研究中，直觉主义学派大尤其布劳威尔对维特根斯坦的影响较大。范·玻伊森指出：“布劳威尔有关数学基础的观点对维特根斯坦来说，甚至在逻辑学中都起过激发性的暗示作用。”（注：范玻伊森《维特根斯坦哲学导论》，四川人民出版社1988年版，第13页。）雷欧·阿德勒也指出：“布劳威尔以其新创的数学摇撼了维特根斯坦的哲学基础，以至由于布劳威尔报告所起的决定性的影响，《逻辑哲学论》所阐述的哲学之结束变成了《哲学研究》一书所表述的无结束的哲学。”（注：雷欧·阿德勒《维特根斯坦：一个悲惨的存在》，《现代外国哲学》第6期。）从维特根斯坦后期哲学的理论内容看，布劳威尔的影响似乎有这几方面：
第一，反逻辑主义。与逻辑主义者强烈推重逻辑的态度相反，布劳威尔认为逻辑法则的有效性并非是普遍而必然的。它在数学上的应用，由于不能保证相应构造的可实现性，不可能总是有效的。因此，逻辑也就不可能是数学的基础，而只能是它的一个部分。后期维特根斯坦也不再相信逻辑是数学的基础，相反却质问：“（数学）为什么要追求逻辑呢？”([7]P271)他认为“（逻辑）仅仅是数学的辅助工具”，([8]P145)逻辑只是与数学有关的语言游戏，将它当作数学的基础就象将涂刷木胶当作制造家俱的工艺主体一样不可取。([8]P146)后期维特根斯坦不仅反对将数学化归为逻辑，而且要求摆脱那种企图将数学一劳永逸地确定在某一绝对基础上的思维方式。这一对逻辑主义的突破明显带有布劳威尔反逻辑主义的影响。
对排中律的批驳是布劳威尔反逻辑主义的突出表现。他曾由“依据π的小数展开式中是否有连续排列的十个数字‘77……7’来定义一个数P”一例，来证明排中律在数学中的应用并非普遍有效，无独有偶，维特根斯坦在《关于数学基础的评论》一书中，也引用这个例子，来批评数学中有限论与无限论之争。在此影响下，维特根斯坦对数学悖论的态度发生了根本变化，他认为“数学必须是无矛盾的，这是对数学的‘哲学要求’”([8]P170)在他看来，这种“哲学要求”既不合理，也无法达到。矛盾不是绝对的错误，“仅仅是不适于这种使用。”([8]P168)他批评数学家在矛盾面前表现出的“迷信般的恐惧”([9]P)进而质问：“数学中发现了悖论的那些分支难道就不再是数学了吗？如果如此这般，目前还有什么系统可以放心称为数学呢？”“为什么一定非得要绝对清除悖论呢？也许将来悖论会成为数学中‘常用工具’的语言技术。”([8]P169)他还预言：“总会有一天会出现包含着矛盾的数学演算研究，人们将会感到真正的自豪，因为他们把自己从不相容的束缚下解放出来。”([9]P)这些对数学的看法标志着维特根斯坦由早年逻辑主义的无矛盾的理想主义走向思想解放的矛盾辩证法，是他哲学发展的内在动力。
第二，反柏拉图主义。数学中的柏拉图主义源于贝尔奈斯对数学哲学的实在论的称呼。柏拉图哲学认为：每一感性事物均由理念作为本质，并经由理念而获得真实存在。它反映在数学理论上，就是认为数学所研究的点、线、面、体以及各种数字都是客观存在的实体。如数字"3"就是一个并非感官觉察到的而靠思维把握的理论实体，感觉到的只是某三个具体物。这种数学实在论或柏拉图主义虽承认数学的客观基础，但却过于简单地将数学等同于一般客观外部世界，它没有看到作为一种思维运动，数学同时也含有人的主观能动性。正是从这一不足之处出发，逻辑主义才将逻辑视为独立实体，认为存在着概念世界（弗雷格）或逻辑事物（罗素）。直觉主义则针锋相对地进行了批判，他们认为逻辑和数学不是独立实体，而是人心智活动的产物，即直觉的构造。布劳威尔从康德的先天直观形式理论出发，把数学基本直觉建立在“内直觉”的纯形式的先验时间基础上，得出所谓“二·一性直觉”，由此导出自然数序列、线拉连续统以及几何等等。当然，布劳威尔否认数形概念源于客观世界是错误的。但他正确指出数学研究中人的主观因素的重要性，而这正是对数学柏拉图主义的有力批评。早期维特根斯坦以“图象论”为主张，认为语言是世界的图画，与客观存在物相对应，其看法极富柏拉图主义色彩。后期则以“游戏说”主张语言是人发明的心智游戏，其转变契机与直觉主义的批评不无相关。他说：“罗素和我都试图以逻辑分析的方法找出“第一要素”或“简单个体”，并由此发现可能存在的原子命题……这表现出一个关于逻辑分析的错误观念：逻辑分析被当作化学分析。”([10]P11)这一与逻辑主义决裂的自我检讨，标志着维特根斯坦数学观的根本改变，他说：“我们最好把数学发现称作数学发明”([8]P22)因为在他看来，“数学家是发明者而不是发现者”([8]P22)这样，随着数学研究由客观世界向主体的转移，也就相应产生从“图象论”到“游戏说”的哲学变化，两者的一致是思维逻辑发展的必然。
第三，主张潜无穷，反对实无穷。在数学研究中存在着两种不同的无限观，即“潜无穷”和“实无穷”。“潜无穷”论者将无限当作一个不断演进的过程，而“实无穷”论者则视无限为一已形成的存在。直觉主义对实无穷论持根本排斥的态度，从“存在必须等同于被构造”的宗旨出发，布劳威尔力陈全体自然数的整体存在无法证明，而潜无穷与实无穷的概念相混淆是造成数学悖论的祸因。因此，他主张以自然数理论而不是集合论为基础，采取构造性方法来展开数学理论。德国数学家L·克隆尼克更认为：“上帝创造了自然数，其余的一切都是人创造的。”（注：夏基松，郑毓信《西方数学哲学》，人民出版社1986年，第77页。）自然数及其运算构成数学的合适基础，我们可以由此出发依据构造性标准去建造全部数学理论。
直觉主义者的上述主张，也极大影响了维特根斯坦。在后期哲学中，他主张以放弃追求理想的人工语言的主张，转而认为“日常语言在本质上是清楚的”，“说在哲学中我们考察一种与日常语言相反的理想语言，这一说法是错误的”（注：Willgenstein"The BlueAnd Brown Books",Basil Blalkwell,1969,P28.）；他之所以在其论著中大量采用日常语言的分析，以致催生了日常语言分析学派，他之所以采用初等数学和极简单数学例证阐述其后期哲学，都出于直觉学派主张的影响。甚至，他一反前期严谨有序的文风，用散文式和对话式写法，将后期论者写得象“漫长迂回的旅途中所作的系列风景素描”，是“一本风景画册”([6]P3)也表明了直觉学派“潜无穷论”的影响。
三
由上可见，维特根斯坦哲学由前期到后期的发展，与其师受的数学薰陶及其数学研究倾向的变化是紧密相关的。对于这一变化可以存疑的是：在现代数学史上，逻辑学派与直觉学派是相互对立的，维特根斯坦何以能由此及彼的如此转向？由于“维特根斯坦的哲学热情同时也是一种前所未有的理智上的诚实”（注：施太格缪勒《当代哲学主流》上卷，商务印书馆1986年，第552页。），这使我们不可能以“无定见”一类假设来解释。对此，除开维特根斯坦脱离哲学近十年的生涯这一重大原因外（注：拙作《维特根斯坦思想演化蠡测》，转见《中国哲学年鉴》1991年，第126页。），他早年数学思想中所存在的康德—叔本华影响也是重要的内在诱因。
维特根斯坦师事弗雷格和罗素是1911年秋季以后，而此前“他青年时期读了叔本华的《作为意志和表象的世界》，而他最初的哲学思想就是叔本华主义的认识论的唯心主义”。([2]P3)叔本华的认识论来源是康德的先验认识论哲学。康德认为：人们的认识从感情开始，人们在感知对象时必然借助空间和时间来安排整理对象。正由于人的观念知觉必然运用空间和时间的形式，所以空间和时间也就成了数学的基础，而空间和时间是纯直观，它们是先天地给经验的东西做基础的，所以它们永远是去不掉的。”([11]P42-43)正是如此，“所以，数学实际上是以先天的纯直观为基础的，这些先天的纯直观使综合的，毫无疑问是有效的数学命题成为可能。”([11]P54)
叔本华承袭了康德关于数学源于纯直观的思想，认为“直观是一切真理的源泉，是一切科学的基础；它那纯粹的，先验的部份是数学的基础。”([12]P107)“数学所依据的直观是先验的，从而不是依赖于经验的，……这就给数学所本的先验直观带来了一种充分的、无误的正确性。”([12]P123-124)这些反映在叔本华哲学中的数学思想，同其它哲学理论一样，为维特根斯坦的把握并反映出来。所以，艾耶尔指出：“虽然他在《逻辑哲学论》中公开承认使其受益的哲学家只有弗雷格和罗素，但我们也将看到叔本华影响的存在。该书附带地提到了康德，这被一些评论家认为是反映了康德主义的立场。”（注：艾耶尔《维特根斯坦》，中国社会科学出版社1989年，第23页。）日后，当直觉主义以数学基础理论复活康德哲学之时，也正值维特根斯坦从自己非哲学生涯中悟到前期理论错误之时，因而其思想深处早已存有的康德——叔本华影响，就成为他接近直觉主义理论主张的内在基础。
从维特根斯坦哲学与其关于数学基础理论的思想同步变化发展的事实中，可进一步质疑的是：两者之间何以能结成这种关系？就研究对象而言，这是两门极不相同的学科。然而就具体研究内容来看，两者从不同途径共同达到了最高抽象程度的逻辑层次，从而也必然共同涉及人类思维活动及思维规律等方面。其次，从它们的表现形式来看，数学也同哲学一样，需要用语言作为基本表达方式，只不过它用的是特殊的语言符号系统，因而两者又都涉及到人类思维运动的形式。这就决定了两者之间联系的必然性。由认识发展规律使然，近代的前人们尚不能明显见出这种联系，数学和哲学都把自己的研究重心放在客观世界上。近代科学、工业和社会的发展有力推动了人的认识的发展。在哲学上出现的人皆尽知的“认识论的转折”，以主体性研究体现了这种发展。相反，由于数理逻辑等数学发展的取得，数学基础研究也充分发展起来，并同样注意对主体自身的研究，从而对语言这种主体思维的客观形式必给予极大注意。正是在语言这一层面上，两者的研究旨趣达到了某种叠合。
将两者之间的联系以可能性化为现实性的，是分析哲学先驱者的艰苦努力。弗雷格在《算术的基础》中提出哲学应以逻辑为起点的主张，突破了西方古代的形而上学为起点和近代以认识论为起点的传统看法。他认为哲学不掌握逻辑这一工具就不可能取得研究进展，因此认识论并不占有优先地位，他主张人们可以研究数理哲学、科学哲学、形而上学以及其他任一领域，而不必先研究认识论。这一看法不但为哲学的研究另辟蹊径，而且极大鼓励了一代具有良好数学修养的学者问津哲学。由此，我们才不难理解，何以分析哲学的一代学师同时又是成就卓著的数学大师。
在西方哲学中，分析哲学是20世纪的显学。它之所以能引起所谓“语言学的转向”，全在于它反映了十九世纪以来西方社会的总体变化，尤其是人类精神活动的变化。如果说，当时物理学的危机及其革命，以对客观世界图景的新看法而改变了人们的思维，那么，同时发生的第三次数学危机及其变革，则以对人类思维表述形式的看法的改变而改变了人们的思维。分析哲学正是反映了人们精神活动的这类变化，才取得了自己的独特成就。这仿佛是在印证马克思的论断：一门学科只有当它成功地运用数学之时，才能成为真正的科学。维特根斯坦正是由于一贯不断地从数学研究中吸取科学营养，因此他的哲学研究才充满不断前进发展的生机与活力，他的思想理论才展现出绚丽多姿的风采。由此，我们应得到有益的启示。
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