提升教学智慧 打造有效课堂——“函数的零点”课例与点评，本文主要内容关键词为：零点论文,函数论文,课堂论文,智慧论文,点评论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、背景描述
前不久，我校与市教育研究中心联手举办了一次“用智慧打造有效课堂”教学研讨活动，吸引了来自苏锡常三地四星级高中近500名教师前来听课观摩和学习交流。这次研讨活动采用了“同课异构”的方式：一方是从我们学校教师中挑选出来的由教学新秀、教学能手和特级教师组成的开课队伍，另一方是邀请无锡市包括江阴、宜兴在内的兄弟学校的特级教师、省市赛课一等奖获得者组成的开课队伍，双方各请一位教师对同一教学内容进行教学展示。面对同一个理念、同一个课题、同一个目标，共同探讨如何提高课堂教学有效性的问题；通过不同的切入点、不同的手段与方法、不同的教学风格，演绎不同的教学精彩。通过分学科对两位老师的教学课堂进行观摩、分析和研讨，老师们直观地感受到教学智慧在课堂教学中的作用，从而引发了大家对如何进行有效课堂教学的进一步思考。
“函数的零点”是宜兴市教研室数学教研员张海强老师在这次研讨活动中为数学老师所上的一节展示课。这节课受到了所有听课老师的一致好评，大家都认为：本节课较好地体现了新课程的理念，在教材的处理、情景的创设、概念的建构和组织学生开展探究活动等方面都具有一定的特色。下面是这节课的教学过程实录以及根据笔者的体会所作的一些分析和点评，供大家参考。
二、过程实录
1.创设情境
（投影显示图片）
师：观察这幅图，你发现了什么？
：发现了3张脸。
师：从左面看，是一个少女，从正面看，是一个老妇人，从侧面看，是一个老头，发现了3张脸。有何启发？
同一幅图，从不同的角度看，得到不同的结果，你从这里能得到怎样的启发？
：我们看问题，要善于从不同的角度进行思考。
师：很好！（投影：从不同的角度看问题）
对y=2x-1，你有怎样的思考？
：是一次函数，它的图象是一条直线。（图1）
师：两种结果了，还有吗？假如让初一的学生看，没学过函数，他将回答是什么？这是一个等式，含有两个未知数x和y的等式，叫什么？
生（齐）：二元一次方程。
师：对y=2x-1，可以理解为是一次函数，也可以理解为是二元一次方程，还可以看作是一条直线。
如果令y=0，可求出x=0.5，对x=0.5，怎样理解？
：可以看作是方程2x-1=0的根。
师：这是从数的角度来对它进行刻画，假如从形的角度来看，0.5又具有怎样的意义呢？
：函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标。
师：这样，0.5既具有数的意义，又具有形的意义。其实，这个0.5还有一个名字，叫函数y=2x-1的零点。这就是我们今天这节课所要研究的问题。
（板书课题——函数的零点）
（投影：
2.建构概念
师：我们把0.5叫函数y=2x-1的零点。为什么要起这个名字？为什么要叫做零点呢？
生（齐）：是由y=0得到的。
师：那么，对于一般的函数y=f(x)，如何来定义它的零点呢？
：方程f(x)=0的根，叫做函数y=f(x)的零点。
师：非常好，跟课本上的定义几乎是一致的。
（投影：函数y=f(x)的零点：使函数y=f(x)的值为零的实数x的值。）
对于这个定义，我们也可以从两个角度来刻画：数的角度和形的角度。从数的角度怎样理解？
：方程f(x)=0的根。
师：形的角度呢？
：函数y=2x=1的图象与x轴交点的横坐标。
师：非常好！
（投影：数的角度——函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根；形的角度——函数y=f(x)的零点就是它的图象与x交点的横坐标）
请大家观察图2并回答下面的问题：你能说明这个函数的零点是什么吗？有两个答案可供选择。
(2)(0,0),(1,0),(2,0)
生（齐）：选(1)。
师：为什么呢？
生（齐）：根据定义，函数的零点是它的图象与x轴交点的横坐标，是一个数，而不是点。
师：说得好，从这里，大家可以体会到，定义是解题的重要依据。下面，我们来研究二次函数的零点。
问题1 确定二次函数
的零点个数。（投影显示）
从数和形两个角度来理解。如果从数的角度，你能用另一种方式叙述这个问题吗？
：方程
的根的个数。
师：很好！从数的角度看，就是方程的根的个数，问题就化归到确定方程的根的个数的问题，你准备用什么方法来解决它？
生（齐）：计算△，△＞0，有两个根。
师：△＞0，说明二次函数有两个零点。从形的角度如何来处理呢？
：看函数的图象与x轴交点的个数。
师：这位同学表达得非常好！接下来要做什么工作了？
生（齐）：画图象。
师：画出图象，用描点法（投影显示），发现函数图象与x轴有两个交点，也说明二次函数有两个零点。到此，我们从数和形两个不同的角度对同一个问题进行了研究，得到的结果是一样的，可谓是殊途同归。在这个过程中，我们也提示了数与形两者之间的内在联系。从数的角度看，△＞0，表现在图形上，二次函数的图象与x轴有两个交点；反之，二次函数的图象与x轴有两个交点，△＞0，两者之间存在着一定的联系。现在请大家用类似的方法研究下面的问题：
问题2 确定函数
的零点个数。（投影显示）。
：从数的角度看，△=0，有一个零点；从形的角度看，图象与x轴只有一个交点，也说明这个函数只有一个零点。
师：下面大家再看一个问题：
问题3 确定函数
的零点个数。（投影显示）。
生（齐）：从数的角度看，△＜0，没有零点；从形的角度看，图象与x轴没有交点，也说明这个函数没有零点。
师：通过上面的讨论，我们可以得到一般的二次函数的图象、二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。
（投影图表，师生一起探讨表中揭示的关系）
师：从上面的探究，我们得到解决这个问题的两种方法，一是求根法，二是图象法。结合上面作出的函数图象，你能将这个问题的结果用符号语言刻划出来吗？
生：（学生深思，没有回应，有同学翻书，想从课本上寻求答案）
师：不要看书，自己去想，我们完全有这个能力解决它。为了便于大家思考，我们再来看一下观察图象。提示一下：我们已经知道，函数在(2,3)上有一个零点，在(1,2)上有零点吗？(3,4)上呢？为什么？
：都没有。因为在(1,2)上，函数值都小于零，在(3,4)上，函数值都大于零。
而在(2,3)上的函数值有正有负，并且图象是不间断的。
师：现在大家能用符号语言来刻画上面问题的结论了吗？
:f(2)＜0，且f(3)＞0，并且图象是不间断的。
师：你们认为怎么样？说得是不是非常好？她的表示已经和课本上差不多了。其实，让我们来分析一下，确实是这样，函数值从负的变到正的，又是不间断的，必定要跨越过为零的情况。就像郭晶晶跳水，从水上跳到水下，不经过水面，可能吗？
（学生会心地笑了）
这样，我们就可以用符号语言来表达上面的图形特征：如果
并且图象是不间断的，我们就能得到函数在(2，3)上有一个零点。
同学们，这是从符号、数的角度对图形来进行刻画，可以说，形的直观和数的清晰，在这里互为印证，相得益彰。
好，接下来，请同学们动手做一下，函数
的另一个零点在哪一个区间上，然后用刚才的结论验证一下，是不是正确？
：另一个零点在(-1,0)上，满足f(-1)＞0，f(0)＜0，并且图象是不间断的。
师：很好，综合上面的讨论，我们能不能得出一个关于函数有零点的更一般的结论？（投影图象图3）。
师：能不能把两种情况统一起来？
生（齐）：能。可以表示为“如果f(a)·f(b)＜0，并且图象是不间断的，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点。
师：到此，我们得到了一个很完美的结论，这就是我们今天这节课要学习的第二个内容：零点存在性定理。（投影显示）
下面让我们对上面得到的定理作一个反思：
(1)“不间断”这一条件能去掉吗？
(2)这个条件下，得到的零点唯一吗？请大家试着将区间(a,b)的范围改变一下，动到什么状态时就不是一个了？
(3)反过来，有零点一定能推出f(a)·f(b)＜0吗？
(4)如果f(a)·f(b)＞0，就一定没有零点吗？
（学生充分讨论后组织交流）
4.数学应用
师：下面，请大家尝试运用我们所得到的定理来解决一个问题：
问题5 求证：函数
在区间(-2,-1)上存在零点。（投影显示）
（先让学生思考，再由学生口述，教师点评，并投影解题过程）
5.课堂感悟
师：请大家用一句话概括一下，这节课学到了什么？可以互相讨论。
：从多个角度看问题。
：函数与方程的关系。
：函数的零点及其存在的条件
：数形结合的思想。
：反思。
师：说得都很好。只有反思，才能有提升。我也反思，这节课学过以后，能给大家留下什么呢？我送给同学们一句话，仅供参考：一个概念，两种角度，三条途径。能理解吗？一个概念是什么？哪两种角度？哪三条途径？希望同学们课后再做进一步的反思，争取有更大的收获。
三、课例简评
函数的零点是高中数学新课程的新增内容，是在学生学习了“基本初等函数(1)”的基础上，研究函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制与分析，得到函数零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定方法，使学生体会函数与方程的联系，体会从函数的角度去思考方程问题的思想，为进一步学习“用二分法求方程的近似解”奠定基础。这节课的教学内容平淡无奇，教学中很难出新、出彩。如何创造性地运用教材，构建出生动的问题情境，让学生在探索中求知，在思考中生智，在品味中赏美，使课堂充满灵动、演绎精彩，是对教师教学智慧的一个极好的考验和极大的挑战。
张海强老师的这节课，以民主的精神、开放的态度、合作的方式组织教学活动，教学过程是一种双向的交流、动态的建构、成功的愉悦和发展的快乐，课堂成为师生共同活动的舞台。教师是用理智上课，同时也投入了自己的激情，十分尊重学生的主体地位，为学生探索新知创设条件，高度关注学生的感受和见解，鼓励学生自主探究与合作交流。课堂上，张老师用自己的情感激发学生的情感，用自己的智慧启迪学生的智慧，用自己的思维引导学生的思维。学生在课堂上学到的不仅仅是知识、方法、技能，更是生活、思考、习惯、态度和为人，理性思维和精神世界都有实质性的发展和提升，新课标的“促进学生全面、持续、和谐发展”的理念得到了有效的体现。
这节课，虽然缺乏高潮，在应用函数零点存在性定理解决问题的训练上有点薄弱，略显遗憾和不足，但是，它仍不失为一节好课，它有以下几个特点：
(1)有“趣”。尽可能地将数学的“双基”镶嵌在现实的、生活的情境和数学问题之中，创设贴近学生实际的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，经历知识形成的过程，激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣；
(2)有“动”。充分发挥学生的主体作用，给学生足够的时间和空间，使学生在课堂上既有动手操作的实践活动，又有动脑思索和探究的数学思维活动，使学生的手、脑、眼、耳、口多种感官全方位参与学习，让课堂充满生命活力；
(3)有“思”。以问题串的形式层层设疑，机智地引导学生去自主探究、合作交流，逐步完成学习任务，设问方式自然和谐，设计的问题有开放度、有层次性、有思维量，能使学生产生亲切感、好奇心，激发学生的求知欲；
(4)有“情”。把数学内容的情感因素与自身所体验的情感因素融合在一起，使教学的内容变为学生易于学习和乐于接受的东西，不断地给学生以激励与鼓励，为学生的学习创设愉悦的环境，以体现数学教学的情意原理；
(5)有“用”。一方面将数学与日常生活中的各种现象和问题联系起来，帮助学生逐步形成和发展数学应用意识；另一方面，指导学生运用所学的数学知识、思想和思维方法分析问题、解决问题，提高学生的应用能力。
对于打造有效课堂、实施有效教学，我们可以从中得到许多有益的启迪！