以学生为导向,引导学生体验知识发现的过程--三角函数归纳公式的教学与思考(一)_数学论文

以生为本,引导学生体验知识发现过程——“三角函数的诱导公式(1)”的教学与反思,本文主要内容关键词为:为本论文,诱导论文,引导学生论文,公式论文,函数论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。

一、学情分析

上课班级高一(6)班是无锡市第一中学与清华大学合办的“成志班”.学生基础很好,思维活跃,对数学学习有浓厚的兴趣.在知识上已经掌握了角的概念的扩充、弧度制、任意角的三角函数概念、同角三角函数的基本关系以及三角函数线等内容;在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力;在思想方法上已经初步掌握了数形结合、类比、特殊到一般等数学思想的运用.

二、教材解读

“三角函数诱导公式”第1课时是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4第1.2.3节,主要内容是三角函数诱导公式中的公式一至公式六.在此之前,学生已学习了任意角的三角函数,掌握了三角函数定义、单位圆中的三角函数线等内容,这为过渡到本节的学习起到了铺垫作用.在此基础上,学习诱导公式一、二、三、四(第1课时)以及诱导公式五、六这六组公式(第2课时),体会发现过程,由未知到已知的转化过程,为以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础.

(1)掌握三角函数的诱导公式,能正确地运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值,以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明.

(2)借助单位圆中的对称关系,观察推导出诱导公式,通过公式的应用,了解未知到已知、简单到复杂、陌生到熟悉的转化过程,从而提高分析问题和解决问题的能力.

(3)学会提出问题,体验解决问题的过程,养成积极探索、科学研究的良好习惯.

通过终边相同角的三角函数关系推出公式一,借助单位圆数形结合引导学生自己推导诱导公式二、三、四.

发现圆的几何性质(特别是对称性)与三角函数的联系,角π±α,-α的终边与角α的终边的关系以及它们的三角函数值之间的关系.

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法和数学意识;让学生亲身体验公式的“发现”过程,获得学习的成功感,进而增强信心.因此本节课的教学,除了让学生理解公式的来龙去脉、推导过程外,还要使学生学会用联系的观点,把单位圆的性质与三角函数联系起来,通过数形结合研究诱导公式,引导学生思考“可以研究什么问题,用什么方法研究这个问题”,把数学思想方法的学习渗透其中,从而加深对诱导公式的理解与记忆,提高分析运用和解决问题的能力.

三、过程实录

1.复习引入

师:正弦函数、余弦函数和正切函数的定义是什么?

学生回答后教师板书:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则

师:终边相同的角的三角函数值有什么关系?

学生回答,引出

公式一 sin(2kπ+α)=sinα,cos(2k π+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z).

师:公式一的用途?

引导学生总结:公式一可以把求任意角的三角函数值转化为求[0,2π)范围的角的三角函数值问题.我们对[范围内角的三角函数值很熟悉,若把[0,2π)内角的三角函数值转化为内角的三角函数值,那么任意角的三角函数值就可以求出,这就是我们这节课要解决的问题.

2.探求新知

师:对于任意一个[0,2π)内的角β,我们能否利用π,2π等特殊角,让它和一个内的角α产生联系?

经过学生讨论和回答,发现有四种情形:

因此我们只需研究π-α,π+α,2π-α与α的三角函数关系.

师:观察单位圆(图1),回答下列问题:(1)角α与π+α的终边有怎样的对称关系?(2)角α与π+α的终边与单位圆的交点P,,之间有怎样的对称关系?(3)P与的坐标有怎样的关系?

生:(1)角α与π+α的终边关于原点对称;(2)角α与π+α的终边与单位圆的交点P,关于原点对称;(3)P与的纵坐标、横坐标都互为相反数.

师:能不能根据角α与π+α的终边的位置关系推导出两者三角函数值之间的关系?

生:π+α与α的终边的位置关系还是关于原点对称,所以结论仍旧成立.

师:观察单位圆(图2),让角α的终边绕单位圆旋转,回答问题:(1)角α的终边与-α的终边有怎样的对称关系?(2)角α的终边与-α的终边与单位圆的交点P,之间有怎样的对称关系?(3)P与的坐标有怎样的关系?

生:(1)角α与-α的终边关于x轴对称;(2)角α与-α的终边与单位圆的交点P,关于x轴对称;(3)P与的横坐标相等,纵坐标互为相反数.

师:能不能根据角α与-α的终边的位置关系推导出两者三角函数值之间的关系?

公式三 sin(-α)=sinaα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.

师:进一步可以分析,因为角-α与2kπ-α的终边相同,故其同名三角函数值也相等,即

sin(2kπ-α)=sin(-α)=-sinα

cos(2kπ-α)=cos(-α)=cosα

tan(2kπ-α)=tan(-α)=-tanα

师:设角α的终边与单位圆交于点P,π-α的终边与单位圆交于(下页图3),当α为任意角时:(1)角α的终边与π-α的终边有怎样的对称关系?(2)P与的坐标有怎样的关系?

生:(1)角α与π-α的终边关于y轴对称;(2)P,关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数.

师:能不能根据角α与π-α的终边的位置关系推导出两者三角函数值之间的关系?

师:把四组公式放到一起,大家能看出什么规律吗?

生:所有的式子左右两边函数名都相同;式子右边有的和左边符号相同,有的和左边符号不同.

师:什么时候左右符号相同,什么时候符号不同有规律吗?

学生议论纷纷,但都没能给出一个比较统一的规律性的说法.

师:引导并总结:2kπ±α(k∈Z),-α,π±α的三角函数,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

3.数学应用

变式练习:判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=1-cosx;(2)g(x)=x-Sinx.

解(1)因为f(x)的定义域为R,f(-x)=1-cos(-x)=1-cosx=f(x),所以f(x)为偶函数.

(2)因为g(x)的定义域为R,g(-x)=(-x)-sin(-x)=-x+sinx=-g(x),所以g(x)为奇函数.

4.课堂小结(略)

四、教学感悟

1.以生为本

“以学生为本”是新课程的一个重要理念.学生是学习的主人,是课堂上主动求知和探索的主体.教学活动的本质是以学生为核心的特殊的学习活动,教师工作的着力点是组织好这一特殊的学习活动.要提高教学的有效性,就必须从学生的实际出发,从关注学生做起,根据学生的实际情况设计教学方案,组织教学活动.在课堂教学中,要舍得让学生说,例如在把[0,2π)内的角化成内角的三角函数值时,不要一开始就用四种情形框死学生,要让学生充分发表意见,例如钝角时学生可能会说出+α甚至+α等办法,不一定是π-α的办法,学生讨论到一定时候老师再拉回来.在让学生总结口诀时,应该多给学生点时间看看几组公式的特点,让学生发现,让学生讨论,老师不要包办代替.本节课一些地方选择了演绎法,好处是系统性很强,缺点是探索性不够,要注重知识的发生过程,数学是有价值的,要让学生明白这一点.课堂小结要让学生讲,最后要问问学生还有没有疑问,要培养学生的总结能力.

2.体验发现

课标要求教学内容的呈现应注意反映数学发展的规律,以及学生的认知规律,体现从具体到抽象、特殊到一般的原则.在教学设计中,要注意创设恰当的问题情境,展现数学知识的发生和发展的过程,使学生能够自己从中发现问题,提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉,引导学生积极参与概念的建构过程,定理、公式的发现和证明过程.本节课中,通过精心设置的问题系列,引发学生积极思考,课堂上师生的真实生动的探究,促进学生对数学知识的理解,让每位学生主动、积极地参与教学活动,帮助学生建立良好的认知结构,学生有效地经历了知识发生和发展的过程,真正地将“重视学生主体地位”落到了实处.本节课在这几方面存在着一些不足之处,例如:引出课题还不太自然,可以一开始有个实际问题的情境入手,这样更容易使学生感到亲切,例如“大风车”的背景.不要推着学生走,问题的跨度可大一些,“π-α”的地方让学生谈,再上黑板画,课上最好能有不预设的亮点.

3.培养能力

《普通高中数学课程标准(实验)》指出:数学教学就是要教给学生能借助已有的知识去获取新知的能力,并使学习成为一种思维活动.数学教学改革的根本出路在于为培养学生自身的学习能力、创造能力和自我发展能力创设一个广阔的空间.数学课堂教学要通过教师的有效启发引导,让学生在主动参与的过程中积极思考,获取知识,在掌握知识的过程中发展自己的思维能力.本节课的研究背景是无计算器时,求任意角的三角函数值可以“化成锐角的三角函数值”,要让学生了解这个背景,认识转化对于数学学习和解决数学问题的重要意义.要强调多角度地思考问题,培养学生数形结合,一般到特殊、特殊到一般的数学思想.要及时进行提炼概括,培养学生从图形语言到数学语言到符号语言的能力.

4.注重细节

教学细节是发生在课堂教学过程中的充满思辨与灵性的课堂场景.细节虽小,但在教学过程中的功能和作用,在促进学生发展中的意义与价值却不可小觑.关注课堂细节,其实质是精致教学流程,突出教学重点,提高教学效益,绽放个性和魅力.细节决定成败,精彩的教学细节不仅可以使教学过程具体、丰富而充实,也可以使教学过程充满智慧和创造,甚至会给我们带来意外的惊喜和收获.教师在组织学习活动时,应该时刻关注细节问题.就本节课而言,以下几个方面的细节值得进一步地加以完善:应该去掉PPT的解答过程,写板书,也可以考虑在课上使用实物平台展示学生丰富多彩的想法;公式都要留在黑板上,例1老师自己在黑板上板书,板书设计要进一步加强,老师批学生的板演可用彩色粉笔;课上课本一定要用,书上的课堂练习布置成作业不妥;要有用公式推公式的意识,对公式要有标注,推导公式的方法要小结;整个过程中角的表示最好尽量用弧度制,不用角度制,因为三角函数式是建立在实数集上的;在推导-α那组公式时,可以利用y=sinx是奇函数和y=cosx是偶函数的特性.

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