由随机差分方程确定的Markov过程，本文主要内容关键词为：方程论文,过程论文,差分论文,Markov论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
随着数字计算机的发展，数值分析及计算方法无论在理论上还是在实践上都是不可或缺的。在由微分方程描述的动力系统的数值方法中，系统都可以由相应的差分方程来逼近。换言之，差分方程在研究中扮演十分重要的角色。近年来，非随机的差分方程的研究已经取得丰富的成果，并已广泛的应用到现实世界的具体问题中。而相应的随机差分方程，特别是非线性随机差分方程的研究还很不充分。本文将着重讨论由随机差分方程确定的若干Markov过程及其强Markov性质。
设（Ω，
，P）是一个完全概率空间；F[,k]， k＝0，1，2，…是F的σ－子代数流。本文所讨论的随机变量都是定义在（Ω，
，P）上的，所有的随机过程都是F[,k]适应的。令｛M（x，k）｝k≥0，x∈R[d]是带有空间参数x∈R[d]的
适应过程。考虑一般的随机差分方程：
Y[,k+1]＝M（Y[,k]，k+1）（1）
Y[,0]＝y[,0]∈R[d]，k＝0，1，…，
用归纳方法，容易得到方程（1）的解的存在唯一性定理。 即对任何初值y[,0]∈R[d]，方程（1）确定唯一的
适应的随机过程｛Y[,k]｝[,k≥0]。 同样方法可得下面带有一个Markov转换的随机差分方程的解的存在唯一性定理，
Y[,k+1]（ω）＝M（Y[,k]，θ[,k+1]，k+1，ω）
（2） Y[,0]（ω）＝y[,0]∈R[d]，
这里｛M（x，s，k）｝[,k≥0]是具有参数x∈R[d]，s∈N的适应过程，同时是
可测的。｛θ[,k]｝[,k≥0]是一个Markov链。一般说来， 上述两个方程的形式过于一般，所以解的性质不易讨论。为此，我们考虑下述形式的方程：
Y[,k+1]（ω）＝Y[,k]+M（Y[,k]，k+1）－M（Y[,k]，k） （3）
Y[,0]（ω）＝y[,0]∈R[d]
及下面的带有一个Markov转换的随机差分方程：
Y[,k+1]（ω）＝Y[,k]+M（Y[,k]，θ[,k]，k+1，ω）－M（Y[,k]，θ[,k]，k，ω） （4）
Y[,0]（ω）＝y[,0]∈R[d]，
这里｛M（x，s，k）｝[,k≥0]是具有参数x∈R[d]，s∈N的适应过程，同时是
可测的。｛θ[,k]｝[,k≥0]是一个Markov链。方程（3）和（4）解在存在唯一性的证明是平凡的， 故省略。与方程（3）形式上类似的线性差分方程的讨论见[2]， 特别是与时间序列模型有关的随机线性差分方程在[2]得到了充分的研究。例如AR（1）模型：
例1.1
Y[,k]＝ψY[,k-1]+ε[,k]（5）
其中｛ε[,k]｝是独立同分布的随机变量序列。当ψ＝1时， 方程（5）变为
Y[,k]＝Y[,k-1]+ε[,k]（6）
其解为
其中A是实常数，由初始条件确定。若设初值为Y[,0]＝0，可得
Y[,k]＝ε[,k]+ψε[,k-1]+…+ψ[k-1]ε[,1]，│ψ│＜1，或ψ＝1。
不难看出｛Y[,k]｝是Markov过程。关于｛Y[,k]｝的平稳性的详细讨论，见[2]。这里我们仅看下述的特殊情形ψ＝1，ε[,i]是N（0，1）的随机变量。此时，有EY[,k]＝0，Cov（Y[,k]，Y[,k+j]）＝k，所以Y[,k]不是二阶平稳的。关于其强Markov性，可以在下一节得到。
一、强Markov性质
本节讨论解的强Markov性。
定理2.1方程（3）的解｛Y[,k]｝[,k≥0]是一个Markov过程。
事实上，对任何的Borel集合
，有
P｛Y[,k+1]∈B│y[,0]，Y[,1]，…Y[,k]｝
＝P｛Y[,k]+M（Y[,k]，k+1）－M（Y[,k]，k）∈B│y[,0]，Y[,1]，…Y[,k]｝
＝P｛Y[,k]+M（Y[,k]，k+1）－M（Y[,k]，k）∈B│Y[,k]｝
＝P｛Y[,k+1]∈B│Y[,k]｝ （7）
对于某些简单情形，可直接计算其转移概率。
例2.1令
，是独立同分布的随机变量序列，P（ξ[,i]＝±1 ）＝1／2。则M（x，k）是带有空间参数x∈R的鞅。由方程（3）有
所以，一步转移概率为
P｛Y[,k+1]∈B│Y[,k]＝x｝＝P｛Y[,k]+Y[2][,k]ξ[,k+1]∈Y[,k]＝x｝＝P（x+x[2]ξ[,k+1]∈B）
即
对于方程（4），一般说来它的解不是Markov过程，然而我们有下面的结论。
定理2.2 若Y[,k]的方程（4）的解，θ[,k]是一个F[,k] 适应的Markov链，则联合过程（Y[,k]，θ[,k]）是一个Markov过程。
事实上，对任何Borel集合
，j∈N，有
P｛（Y[,k+1]，θ[,k+1]）∈B×（j）／（Y[,i]，θ[,i]），i＝0，…，k｝
＝P｛Y[,k]+M（y[,k]，θ[,k]，k+1）－M（Y[,k]，θ[,k]，k ），θ[,k+1]｝∈B×（j）／（y[,0]，θ[,0]），（Y[,1]，θ[,1]）…（Y[,k]，θ[,k]）
＝P｛（Y[,k]+M（y[,k]，θ[,k,k+1]）－M（Y[,k]，θ[,k]，k），θ[,k+1]）∈B×（j）／（Y[,k]，θ[,k]）｝ ＝P｛（Y[,k+1]，θ[,k+1]）∈B×（j）／（Y[,k]，θ[,k]）｝（9）
因此定理的结论成立。
对于简单情形，我们仍然可以计算它的转移概率，例如取
，这里ξ[,i]同上面的例子。θ[,k]是一个状态空间为S＝｛0，1，2｝，转移矩阵为
┌1
1
1 ┐
│ ────── │
│3
3
3 │
│1
1 │
（P[,ij]）[,3×3]＝│ ── 0 ── │
│2
2 │
│1
2 │
│ ── 0 ── │
└3
3 ┘
由方程（4），有
同上面的例子类似地计算其转移核。限于篇幅我们将其省略。下面的定理是关于强Markov性质的。
定理2.3 若鞅差M（x，k+1）－M（x，k）的分布不依赖于k， 则（3）的解具有平稳的转移核。因此具有强Markov性。
事实上已经知道｛Y[,k]｝是Markov过程，设A是R[d] 中任意Borel集合，则转移核为P[,k，k+1]（x，A）。由定理的条件可得：
P[,k，k+1]（x，A）＝P｛Y[,k+1]∈A│Y[,k]＝x｝
＝P｛Y[,k]+M（Y[,k]，k+1）－M（Y[,k]， k）∈A│Y[,k]＝x｝
＝P｛x+M（x，k+1）－M（x， k）∈A｝
＝P｛x+M（x，k+1）－M（x， k）∈A｝
＝P｛x+M（x，1）－M（x，0）∈A｝
＝P（x，A）（11）
即｛Y[,k]｝具有平稳的转移核，再由[1]中定理2.Ⅵ.3可得到强Markov性。
我们重新考虑例1.1中AR（1）模型当ψ＝1时的特殊情形
Y[,k]＝Y[,k-1]+ε[,k]，
已经知道此时Y[,k]不是二阶平稳的。由于（6）又是（3）的退化情形， 从定理2.3可知， Y[,k]具有平稳的转移核， 所以亦具有强Markov性。
设｛Y[,k]｝是方程（4）的解，为讨论联合过程（Y[,k]，θ[,k]）的强Markov性，引入下面的停时：
T[,A]＝inf｛n≥1∶Y[,n]∈A｝
若R[d]上有测度ψ具有性质：
则称｛Y[,k]｝是ψ－不可约的。关于ψ－不可约性，我们有：
性质2.1设定理2.3中条件成立且M（x，0）≡0，若测度ψ使得
则｛Y[,k]｝是ψ－不可约的。
同（3）解的强Markov性的讨论类似地，我们有下述强Markov 性质定理：
定理2.4若性质2.1中条件成立，且θ[,k]是平稳Markov链，则联合过程（Y[,k]，θ[,k]）具有平稳分布核P（（x，s），A×（j））。因此（Y[,k]，θ[,k]）具有强Markov性。
我们还可以讨论其它的随机性质，如瞬过，常返等将在另文给出。
标签：差分方程论文;